课件77张PPT。第七章 平面解析几何第七章 平面解析几何第1课时 直线及其方程重点难点
重点： 理解倾斜角与斜率的对应关系，
熟练利用五种形式求直线方程．
难点：在求直线方程时，条件的转化和
设而不求的运用．基础梳理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)x轴的正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．我们规定直线与x轴平行或重合时的倾斜角为零度角，倾斜角的范围是________________.0°≤α＜180°(2)斜率与倾斜角的关系：当一条直线的倾斜角为α时，斜率可以表示为__________，其中倾斜角α应满足的条件是__________k＝tanαα≠90°.思考探究
1．直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？kAB＝kAC.4．直线方程的几种形式y－y1＝k(x－x1)y＝kx＋bAx＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)思考探究
2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：不一定．(1)若x1＝x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为x＝x1.
(2)若x1≠x2且y1＝y2，直线垂直于y轴，方程为y＝y1.
(3)若x1≠x2且y1≠y2，直线方程可用两点式表示．
课前热身
1．直线x tan30°＋y＋3＝0的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．－30°
答案：C2．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)
三点共线，则x等于( )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
答案：C答案：A4．如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C5．若直线l过点P(－4，－1)，且横截距是纵截距的2倍，则直线l的方程是________．
答案：x－4y＝0或x＋2y＋6＝0考点1 直线的倾斜角与斜率已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.(2)求斜率，也可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 直线l过点P(－1,2)，且与以A
(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．【思路分析】当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[5，＋∞)；法二：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
∵A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，
∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0，变式训练考点2 直线的方程
求直线方程时，首先分析具备什么样的条件，然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．【思路分析】 寻找确定直线的两个独立条件，根据不同的形式建立直线方程．【规律小结】 用待定系数法求直线方程的步骤：
(1)设所求直线方程的某种形式；
(2)由条件建立所求参数的方程(组)；
(3)解这个方程(组)求参数；
(4)把所求的参数值代入所设直线方程．变式训练
2．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．考点3 直线方程的灵活应用
利用直线方程解决问题时，选用适当的直线方程的形式，可以简化运算．已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式；已知截距或两点，选择截距式或两点式．另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长，常选用截距式或点斜式． (2012·肇庆质检)如图，过点P(2,1)作直线l，分别交x、y轴正半轴于A、B两点．(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程．【思路分析】 求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式．由于本题中给出了一点，且直线与x、y轴在正方向上有交点，可用点斜式和截距式．【名师点评】 在研究最值问题时，可以从几何图形入手，找到最值时的情形，也可以从代数角度考虑，构建目标函数，进而转化为研究函数的最值问题，这种方法常常随变量的选择不同而运算的繁简程度不同，解题时要注意选择．互动探究
3．例3条件不变，求|OA|＋|OB|最小时，直线l的方程．方法技巧
1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，牢记直线的倾斜角，斜率与正切函数图象间的关系如图所示：
(3)直线l1：Ax＋By＋C＝0，直线l∥l1时，设l：Ax＋By＋C1＝0；l⊥l1时，设l：Bx－Ay＋C1＝0.(4)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2交于点P，过点P的直线l可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.失误防范
1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．在利用点斜式、斜截式、两点式和截距式求直线方程时，要充分意识到它们自身的局限性，点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴平行或重合的直线，而截距式既不能表示与坐标轴平行或重合的直线也不能表示过坐标系原点的直线．求直线方程也要利用数形结合的思想方法，先结合图形判断符合条件的直线有几条等．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，求直线方程是高考考查的重点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，无论是以何种题型出现，都与其他知识点交汇命题，难度属中、低档，主要考查直线方程的求法，考查学生的运算能力．
预测2013年广东高考还会以求直线方程、两直线平行与垂直为主要考查点，考查直线方程的求法及学生的运算能力．
典例透析 (2010·高考安徽卷)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0【答案】 A
【名师点评】 本题与教材P101的10题(1)题型相同，考查了借助平行关系，求直线方程，若题目中“平行”改为“垂直”，试求之．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．设直线l的方程为x＋ycosθ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A．[0，π) B.
C. D.∪
解析：选C.当cosθ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；当cosθ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－.
∵cosθ∈[－1,1]且cosθ≠0，
∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tanα∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，
∴α∈∪.
综上知倾斜角的范围是，故选C.
2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：选D.设所求直线上任一点为(x，y)，则它关于x＝1对称的点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.故选D.
3．点(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点是( )
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－2,2) D．(2，－2)
解析：选D.法一：设对称点为(x，y)，则
，解之得，
法二：当直线l：Ax＋By＋C＝0的系数满足||＝1时，点A(x0，y0)关于l的对称点B(x，y)的坐标，x＝，y＝.解得所求坐标为(2，－2)．
4．“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y－2＝0与直线mx＋(2m＋2)y＋1＝0相互垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.m＝－2时，两直线－x＋y－2＝0、－2x－2y＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m＋1)＋2m＋2＝0，∴m＝－1或－2，故选A.
5．已知直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5，则该直线的方程为________．
解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k＝tan60°＝，又因为直线在y轴上的截距是5，由斜截式，得直线的方程为y＝x＋5.
答案：y＝x＋5
6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
解析：∵直线的斜率k＝，且直线的倾斜角为钝角，
∴＜0，解得－2＜a＜1.
答案：(－2,1)
7．直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程．
解：设所求直线l的方程为＋＝1，
∵直线l过点P(－5，－4)，∴＋＝1，即4a＋5b＝－ab.
又由已知有|a||b|＝5，即|ab|＝10，
解方程组，得：或.
故所求直线l的方程为：＋＝1，或＋＝1.
即8x－5y＋20＝0，或2x－5y－10＝0.
1．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
解析：选D.由已知直线l恒过定点P(2,1)，若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，∵kPA＝－2，kPB＝，∴－2≤k≤.
2．直线l1在x轴和y轴上的截距分别为3和1，直线l2的方程为x－2y＋2＝0，则直线l1和l2的夹角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
解析：选B.l1：＋＝1，
即y＝－x＋1，其方向向量a＝，
l2：x－2y＋2＝0，即y＝x＋1，
其方向向量b＝，
cos〈a，b〉＝＝，
∴〈a，b〉＝45°或135°.
故两直线l1与l2的夹角为45°.
3．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．
解析：AB所在直线方程为＋＝1，
∴·≤(＋)2＝，
∴xy≤3，当且仅当＝时取等号．
答案：3
4．若三直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＋k＋＝0能围成三角形，则k不等于________．
解析：由得交点P(－1，－2)，
若P点在直线x＋ky＋k＋＝0上，则k＝－.
此时三条直线交于一点；
若k＝或k＝－1时，有两条直线平行．
综上知k≠－，和－1.
答案：－，和－1
5．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，
它在x轴、y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得|(3k＋4)(－－3)|＝6，
解得k1＝－或k2＝－.
所以直线l的方程为
2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，
则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
6．平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，求B点轨迹的方程．
解：线段AC的中点M，设B(x，y)，
则B关于点M的对称点(5－x，－4－y)在直线3x－y＋1＝0上，
∴3(5－x)－(－4－y)＋1＝0，即3x－y－20＝0.
∵A、B、C、D不能共线，∴不能为它与直线AC的交点，即x≠13.
∴B点的轨迹方程为：3x－y－20＝0(x≠13)．
1．已知两点A(－3, )，B(，－1)，则直线AB的斜率是( )
A. B．－
C. D．－
答案：D
2．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为( )
A. B．－
C．3 D．－3
答案：B
3．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
答案：B
4．已知直线(t为参数)，则下列说法错误的是( )
A．直线的倾斜角为arctan
B．直线必经过点
C．直线不经过第二象限
D．当t＝1时，直线上对应点到点(1,2)的距离为3
解析：选D.将直线方程化为3x－4y－25＝0，直线的斜率为，直线的倾斜角为arctan，将点代入，满足方程，斜率为正，截距为负，直线不经过第二象限．
5．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________．
答案：2x＋y－1＝0
6．若函数f(x)＝log2(x＋1)且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是________．
解析：把、、分别看作函数f(x)＝log2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率，对照草图可得答案．
答案：>>
