课件69张PPT。第5课时 曲线与方程重点难点
重点：曲线与方程的概念及求曲线方程
的步骤．
难点：曲线的方程与方程的曲线概念的
理解．基础梳理
1．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
那么，这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．曲线的方程方程的曲线思考探究
若曲线与方程的对应关系只满足第(2)个条件会怎样？
提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程．2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系；
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；
(3)列式——列出动点P所满足的关系式；(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．由方程画曲线的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；②求曲线在两轴上的截距；③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．4．交点与曲线系方程
(1)设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组
的实数解，若此方程组______，则两曲线无交点．无解(2)过曲线f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0的交点的曲线系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ∈R)．课前热身答案：C2．曲线y2＝4x关于直线x＝2对称的曲线方程是( )
A．y2＝8－4x B．y2＝4x－8
C．y2＝16－4x D．y2＝4x－16
答案：C3．已知lg(x－2)，lg|2y|，lg(16x)成等差数列，则点P(x，y)的轨迹方程为________．
答案：y2＝4x(x－2)(x＞2)4．已知动点M到定点A(9,0)的距离是M到定点B(1,0)的3倍，则M的轨迹方程为________．
答案：x2＋y2＝9答案：y2＋5x＋5＝0考点1 直接法求轨迹方程
如果动点运动的条件是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x、y的等式进而得到轨迹方程，这种方法称之为直译法. 用直译法求动点轨迹的方程一般有建系、设点、列式、代入、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略.【思路分析】 设出P点坐标，代入已知等式．【规律方法】 (1)直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法．圆锥曲线的标准方程都是由直接法求得的．当轨迹易于列出动点(x，y)满足的方程时可用此法．(2)求动点轨迹时应注意它的完备性．化简过程破坏了方程的同解性,要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念,前者指曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围)．考点2 定义法求轨迹方程
(1)运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程．利用条件把待定系数求出来，使问题得解． 如图，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点A(－2,0)，B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．(1)△PAB的周长为10；
(2)圆P过点B(2,0)且与圆A外切(P为动圆圆心)．
【思路分析】 (1)由|PA|＋|PB|＋|AB|＝10知|PA|＋|PB|＝6，P点轨迹是椭圆，(2)外切得|PA|＝|PB|＋1，知P点轨迹是双曲线．【规律方法】 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程．互动探究
1．本例条件不变，若圆P与圆A外切且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．试求动点P的轨迹方程．解：依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.
因此其方程为y2＝－8x.考点3 相关点法(代换法)
根据相关点所满足的方程，通过转换而求得动点的轨迹方程．其特点是：动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x′，y′)的坐标，可先用x，y来表示x′，y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程．
【思路分析】 设出M、P、N的坐标，用N的坐标表示M、P的坐标．【题后感悟】 当题目中的动点不止一个时，先要寻求所求动点与其他动点的坐标关系，进而集中条件代入即可．变式训练
2．过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于M点，l2与y轴交于N点，则线段MN中点P的轨迹方程为________． ∵l1⊥l2，∴(x1－a)2＋b2＋(y1－b)2＋a2＝x＋y.
化简得ax1＋by1－a2－b2＝0.
∴所求点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.答案：2ax＋2by－a2－b2＝0方法技巧
求动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定义和性质有密切的联系．另外在求轨迹时经常采用的方法有直接法、定义法、代入法等．(1)直接法：直接法是求轨迹方程最基本的方法．直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x，y)＝0即是．
(2)定义法：圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义判断所求轨迹的类型、位置和形状，可借助于圆锥曲线的标准方程，最大限度地减少直接法中化简和整理方程的运算量．
(3)代入法：又称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．(5)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程．失误防范
1．曲线与方程
(1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点适合这个条件而毫无例外(纯粹性)．(2)“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，阐明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．
(3)由(1)(2)两个条件可知，曲线的点集与方程的解集之间是一一对应的．2．在求得轨迹方程之后，要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中，x，y的取值范围是否有什么限制？确保轨迹上的点“不多不少”．命题预测
从近几年广东高考来看，求曲线的轨迹方程是高考的常考题型，主要以解答题的形式出现，考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质，一般用直接法、待定系数法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程，其关键是找到与任意点有关的等量关系．轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．预测2013年广东高考仍将以求曲线的方程为主要考点，考查学生的运算能力与逻辑推理能力．规范解答【名师点评】 本题考查了圆锥曲线的轨迹与方程，双曲线的定义、直线与双曲线的位置关系及直线与曲线交点的坐标的求解，考查学生分析问题、解决问题的能力，考查了数形结合思想、转化思想，难度适中．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．下列说法正确的是( )
A．在△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方程是x＝2
B．方程y＝x2(x≥0)的曲线是抛物线
C．已知平面上两定点A、B，动点P满足|PA|－|PB|＝|AB|，则P点的轨迹是双曲线
D．第一、三象限角平分线的方程是y＝x
解析：选D.选项A符合曲线与方程概念(1)曲线上所有点的坐标均是这个方程的解，不符合(2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点．选项B符合(2)但不符合(1)．选项C符合(2)但不符合(1)．选项D符合(1)、(2)．故选D.
2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析：选D.设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.
3．已知椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，使|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线一支 D．抛物线
解析：选A.|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．
4．(2012·华北师大附中调研)已知点A(2,0)，B、C在y轴上，且|BC|＝4，△ABC外心的轨迹S的方程为( )
A．y2＝2x B．x2＋y2＝4
C．y2＝4x D．x2＝4y
解析：选C.设△ABC外心为G(x，y)，B(0，a)，C(0，a＋4)，
由G点在BC的垂直平分线上知y＝a＋2，
∵|GA|2＝|GB|2，∴(x－2)2＋y2＝x2＋(y－a)2，
整理得y2＝4x，
即点G的轨迹S方程为y2＝4x.
5．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为________．
解析：∵折痕所在的直线是AQ的垂直平分线，
∴|PA|＝|PQ|.
又∵|PA|＋|OP|＝r，∴|PQ|＋|OP|＝r>|OQ|.
由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆．
答案：椭圆
6．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
解析：设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1，即为所求．
答案：x2－4y2＝1
7．(2012·广州质检)已知动点P到定点F(，0)的距离与点P到定直线l：x＝2的距离之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若·＝0，求|MN|的最小值．
解：(1)设点P(x，y)，
依题意有，＝，
整理得＋＝1，
所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)∵点E与点F关于原点O对称，
∴点E的坐标为(－，0)．
∵M、N是直线l上的两个点，
∴可设M(2，y1)，N(2，y2)(不妨设y1>y2)．
∵·＝0，
∴(3，y1)·(，y2)＝0，
∴6＋y1y2＝0，即y2＝－.
由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.
∴|MN|＝y1－y2＝y1＋≥2＝2.
当且仅当y1＝，y2＝－时，等号成立．
故|MN|的最小值为2.
1．已知定点F1、F2和动点P满足|P1－P2|＝2，|P1＋P2|＝4，则点P的轨迹为( )
A．椭圆 B．圆
C．直线 D．线段
解析：选B.以F1F2所在直线为x轴，以F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
∵|P1－P2|＝||＝2，
∴F1(－1,0)，F2(1,0)．
设P(x，y)，则P1＝(－1－x，－y)，P2＝(1－x，－y)，∴P1＋P2＝(－2x，－2y)．
∴|P1＋P2|＝＝4，即x2＋y2＝4.
∴点P的轨迹是圆．
2．已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( )
解析：选A.由log2x，log2y,2成等差数列得
2log2y＝log2x＋2，∴y2＝4x(x>0，y>0)，故选A.
3．如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是________．
①a1－c1＝a2－c2 ②a1＋c1>a2＋c2
③a1c2>a2c1 ④a1c2
解析：设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为O1，O2，公共左顶点为A，如图，则a1－c1＝|AO1|－|FO1|＝|AF|，a2－c2＝|AO2|－|FO2|＝|AF|，故①对；又a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故②对；由图知e1>e2，即>，∴a1c2答案：③
4．F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．
解析：延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知|DO|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，∴动点D的轨迹方程为x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
5．已知A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点，求动点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵P是线段AB的中点，∴①
∵A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的点，
∴y1＝x1和y2＝－x2.
代入①中得，②
又||＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.
∴12y2＋x2＝12，
∴动点P的轨迹方程为＋y2＝1.
6．(2010·高考广东卷)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2.求h的值．
解：(1)由题设知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，则有
直线A1P的方程为y＝(x＋)，①
直线A2Q的方程为y＝(x－)．②
法一：联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③
则x≠0，|x|＜.
而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，
所以－y＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为
＋y2＝1，x≠0且x≠±.
法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得
y2＝(x2－2)．③
又点P(x1，y1)在双曲线上，因此－y＝1，即y＝－1.
代入③式整理得＋y2＝1.
因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合．故点A1和A2均不在轨迹E上．
过点(0,1)及A2(，0)的直线l的方程为x＋y－＝0.解方程组，得所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.
故轨迹E不经过点(0,1)．同理轨迹E也不经过点(0，－1)．
综上分析，轨迹E的方程为
＋y2＝1，x≠0且x≠±.
(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，解得k1＝ ，k2＝－.
由于l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，故h＝.
过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由×＝－1，得h＝.此时，l1，l2的方程分别为y＝x＋与y＝－x＋，
它们与轨迹E分别仅有一个交点与.
所以，符合条件的h的值为或.
1．方程x2＋xy＝0的曲线是( )
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
答案：C
2．(教材习题改编)与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋y2＝1(x≠0) D．y＝
答案：B
3．已知△ABC三边AB、BC、CA的长成等差数列，且|AB|>|CA|，点B、C的坐标为(－1,0)、(1,0)，则动点A的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1，x>0
C.＋＝1 D.＋＝1，x>0，且y≠0
答案：D
4．已知A(0,1)，B(1,0)，则线段AB的垂直平分线l的方程是________．
答案：y＝x
