课件67张PPT。第6课时 椭 圆重点难点
重点：椭圆的定义、标准方程及几何性
质．
难点：椭圆的几何性质及其应用，椭圆
方程的求法．基础梳理
1．椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之___等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距．和思考探究
在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？
提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；
当2a<|F1F2|时动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程及其简单几何性质x轴y轴、原点x轴y轴、原点±a,00，±b0，±a(±b,0±c,00，±c2c(0,1)课前热身答案：C2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(－1,1)
答案：A答案：D答案：2
答案：2 120°
考点1 求椭圆的标准方程
确定椭圆标准方程包括“定位”和“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常用待定系数法． (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆的标准方程；
(2)【思路分析】 由已知条件设出椭圆的标准方程，解方程(组)，用待定系数法求解，应注意处理椭圆焦点位置不确定时的情况．【名师点评】一般求已知曲线类型的曲线方程问题，通常用待定系数法，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)；(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程(组)得到量的大小．考点2 椭圆的几何性质
(1)椭圆的几何性质分类．
①第一类：与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如长轴长2a，短轴长2b，焦距2c，离心率e等；
②第二类：与坐标系有关的性质，如顶点坐标、焦点坐标等．【思路分析】 设M(x，y)，由题意将x表示为关于e的不等式，根据椭圆上的点的取值范围得到关于e的不等式，即可得．【思维总结】 椭圆的几何性质主要是围绕椭圆中的“六点”(两个焦点、四个顶点)，“二线”(两条对称轴)，“两形”(中心、焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形)，“两围”(x的范围，y的范围)．互动探究
本例中若M点在椭圆内部，其他条件不变，试求之．考点3 直线与椭圆
(1)直线与椭圆位置关系的判定①Δ>0，直线与椭圆相交，有两个公共点．
②Δ＝0，直线与椭圆相切，有一个公共点．
③Δ<0，直线与椭圆相离，无公共点． 2010·高考福建卷)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【思路分析】 (1)利用待定系数法求方程，
(2)先设直线方程，代入值，利用判别式求其范围．【方法指导】 用方程法研究直线与椭圆的位置关系时，针对由方程组转化的一元二次方程，既可以考虑解方程，但更多的是利用根与系数的关系转化为待求的系数方程，即设出交点坐标但不具体求出．方法技巧
1．椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.3．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(04．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．失误防范
1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小，若x2的分母比y2的分母大，则焦点在x轴上，若x2的分母比y2的分母小，则焦点在y轴上．3．注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解，求函数的单调区间、最值时有重要意义．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，椭圆的定义，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，求椭圆的标准方程是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中等偏高，部分解答题为较难题目．客观题主要考查对椭圆的基本概念与性质的理解及应用；主观题考查较为全面，在考查对椭圆基本概念与性质的理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查学生分析问题、解决问题的能力、运算能力以及数形结合思想．
预测2013年广东高考仍将以椭圆的定义，性质和直线与椭圆的位置关系为主要考点，重点考查运算能力与逻辑推理能力．规范解答(1)若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；
(2)若m＝3，求|PA|的最大值与最小值；
(3)若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．【名师点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，解析几何中的最值问题、范围问题的处理方法，考查逻辑推理能力，运算求解能力以及分析、解决问题的能力，难度不算太大，但易忽视二次函数在闭区间上的最值．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C.由题意，c＝1，e＝＝，
∴a＝2，∴b＝＝，
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
2．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若A. B.
C. D.
解析：选C.点B的横坐标是c，故B的坐标，已知k∈，∴B.
斜率k＝＝＝＝.
由3．(2012·台州调研)已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：选B.直线y＝k(x＋)过定点N(－，0)，而M、N恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3,0) B．(－4,0)
C．(－10,0) D．(－5,0)
解析：选D.∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3，又b＝4，
∴a＝＝5.
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的左顶点为(－5,0)．
5．若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
解析：易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部，故b>c，∴b2>c2，即a2>2c2，∴<.
答案：
6．已知椭圆C的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为(－4,0)和(4,0)，且经过点(5,0)，则该椭圆的方程为________．
解析：由题意，c＝4，且椭圆焦点在x轴上，
∵椭圆过点(5,0)．∴a＝5，
∴b＝＝3.
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．
解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得，
a＝4，c＝2，b2＝12.
故所求方程为＋＝1或＋＝1.
法二：设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝8，∴a＝4.
在方程＋＝1中，令x＝±c得|y|＝，
在方程＋＝1中，令y＝±c得|x|＝，
依题意有＝3，∴b2＝12.
∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
1．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选B.点P在线段AN的垂直平分线上，
故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．
2．(2012·瑞安中学检测)已知双曲线C的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0
C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
解析：选A.由题意知双曲线C的焦点(±5,0)，顶点(±3,0)，∴a＝3，c＝5，∴b＝＝4，
∴渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.
3．如图Rt△ABC中，AB＝AC＝1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为________．
解析：设另一焦点为D，则由定义可知．
AC＋AD＝2a，AC＋AB＋BC＝4a，
又∵AC＝1，∴BC＝，∴a＝＋.∴AD＝.
在Rt△ACD中焦距CD＝.
答案：
4．(2011·高考江西卷)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析：由题意可得切点A(1,0)．
切点B(m，n)满足，解得B.
∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.
令y＝0得x＝1，即c＝1；
令x＝0得y＝2，即b＝2.
∴a2＝b2＋c2＝5，
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．(2010·高考课标全国卷)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－＝.
解得b＝(b＝－不合题意，舍去)．
6．(2010·高考北京卷节选)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是.直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
解：(1)因为＝，且c＝，
所以a＝，b＝＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知P(0，t)(－1由得x＝±.
所以圆P的半径为.
当圆P与x轴相切时，|t|＝.
解得t＝±.
所以圆心P的坐标是(0，±)．
1．a＝6，c＝1的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
答案：D
2．已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值是( )
A. B.
C. D.
答案：D
3．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：C
4．(教材习题改编)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________________．
答案：＋＝1
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.
(1)证明：λ＝1－e2；
(2)确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．
解：(1)证明：因为A、B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是，(0，a)．由得，这里c＝.
所以点M的坐标是.
由＝λ得＝λ.
即解得λ＝1－e2.
(2)因为PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|，
即|PF1|＝c.设点F1到l的距离为d，
由|PF1|＝d＝＝＝c，
得＝e，所以e2＝，于是λ＝1－e2＝.
即当λ＝时，△PF1F2为等腰三角形．
