课件87张PPT。第9课时 圆锥曲线的综合问题重点难点
重点：直线与圆锥曲线位置关系的判
定，弦长与距离的求法．
难点：直线与圆锥曲线位置关系的判
定、弦长与中点弦问题．基础梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
Δ＞0?直线与圆锥曲线_______；
Δ＝0?直线与圆锥曲线________；
Δ＜0?直线与圆锥曲线________．
若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．
相交相切相离若曲线为双曲线，则直线与双曲线的___________平行时，直线与双曲线有一个交点；
若曲线为抛物线，则直线与抛物线的__________平行时，直线与抛物线有一个交点．渐近线对称轴思考探究
由直线与圆锥曲线的位置关系知，直线与双曲线有且只有一个交点的充要条件是什么？抛物线呢？(2)当斜率k不存在时，直线为x＝m的形式，可直接代入求出交点的纵坐标y1、y2得弦长|y1－y2|.课前热身答案：C答案：A答案：D4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．
答案：25．已知抛物线x2＝－4y的切线l垂直于直线x＋y＝0，则l的方程为________．
答案：x－y＋1＝0考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线的公共点个数问题有两种方法：(1)代数法，即将直线与圆锥曲线联立得到一个关于x(或y)的方程，方程根的个数即为交点个数，此时注意对二次项系数的讨论；(2)几何法，即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．注意分类讨论和数形结合的思想方法．【误区警示】
(1)易忽视验证斜率k不存在的情况；(2)在求解中还可能忽视判别式．考点2 相交弦的问题
(1)弦长问题
利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)中点弦问题
对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为：
①设点：即设出弦的两端点坐标；②代入：即代入圆锥曲线方程；
③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 设过原点的直线l与抛物线y2＝4(x－1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点F.求：
(1)直线l的方程；
(2)弦AB的长．【思路分析】
(1)要注意讨论斜率k是否为0.
(2)利用弦长公式．互动探究
本例中将“以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点F”改为“AB的中点为(2,3)”，求l的方程．考点3 圆锥曲线中的最值及范围问题
圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题，解决此类问题，一般有两个思路：(1)构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；
(2)构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．
考点4 圆锥曲线的实际问题
在实际生活中，隧道、桥洞、喷水池的建设，人造卫星的轨道设计都离不开圆锥曲线，因此研究圆锥曲线实际应用，十分必要．
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
【名师点评】 解决与圆锥形曲线有关的实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的直角坐标系，设出相应曲线的方程，利用给定的条件，待定系数法求出方程．
(2)利用给定的条件，用代数的方法解决相应问题．方法技巧
1．解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，(1)若根据已知条件能求出两交点的坐标，这不失为一种彻底有效的方法；失误防范
1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．
2．如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存在的情形．为了避免讨论，过焦点F(c,0)的直线，可设为x＝my＋c.对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中等偏高．客观题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题，解答题考查较为全面，在考查上述问题的同时，还注重考查函数与方程，转化与化归，分类讨论等思想方法．预测2013年广东高考仍将以直线与圆锥曲线的位置关系为主要考点，重点考查学生的运算能力，逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．规范解答 (本题满分14分)(2011·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－2交x轴于点A.设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO＝∠AOP.(1)当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
(2)已知T(1，－1)，设H是E上动点，求|HO|＋|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；(3)过点T(1，－1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围．
【解】(1)如图(1)，
∵∠MPO＝∠AOP，
∴AO∥PM.
可设M(x，y)，则有P(－2，y). 2 分
图(1) 图(2)(2)由(1)知点O为抛物线的焦点，
如图(3)，过点H作HG⊥直线l于点G，
则|HO|＋|HT|＝|HG|＋|HT|. 6分
图(3)当动点H运动到G、H、T三点共线时，|HG|＋|HT|最小，此时最小值为TG(点T到直线l的距离). 8分图(4)解得k≠0. 13分
故k的取值范围为
(－∞，0)∪(0，＋∞). 14分【名师点评】 本题考查了抛物线的轨迹方程的求法，利用抛物线的性质求最值及直线与抛物线的位置关系等知识，也考查了直线方程与斜率的相关知识，考查学生分析问题、解决问题的能力，难度适中．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．当a为任何值时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过P点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝－x或x2＝y
B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
答案：A
2．双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF的斜率的变化范围是( )
A．(－∞，0)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C.数形结合法，与渐近线斜率比较，可得答案为C.
3．(2010·高考课标全国卷)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B.∵kAB＝＝1，
∴直线AB的方程为y＝x－3.
由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.
设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则－＝1.
整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝2×(－12)．
∴a2＝－4a2＋4b2，
∴5a2＝4b2.
又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.
∴双曲线E的方程为－＝1.
4．抛物线y＝x2到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是( )
A．(，) B．(1,1)
C．(，) D．(2,4)
解析：选B.设P(x，y)为抛物线y＝x2上任 一点，则P到直线的距离d＝＝＝，
∴x＝1时，d取最小值，此时P(1,1)．
5．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的标准方程为________．
答案：y2＝8x或y2＝－16x
6．我们知道：“过圆心为O的圆外一点P作它的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，则∠POA＝∠POB.”这个性质可以推广到所有圆锥曲线，请你写出其中一个：________.
答案：①过抛物线x2＝2py(p＞0)外一点P作抛物线的两条切线PA、PB(A、B为切点)，若F为抛物线的焦点，则∠PFA＝∠PFB.(如果学生写出的是抛物线的其它方程，只要正确就给满分)
②过椭圆＋＝1(a＞b＞0)外一点P作椭圆的两条切线PA、PB(A、B为切点)，若F为椭圆的一个焦点，则∠PFA＝∠PFB.(如果学生写出的是椭圆的其它方程，只要正确就给满分)
③过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外(两支之间)一点P(P不在渐近线上)作双曲线的两条切线PA、PB(A、B为切点)，设F为双曲线的一个焦点．a.若A、B在同一支，则∠PFA＝∠PFB；b.若A、B不在同一支，则PF平分∠AFB的邻补角
7．已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线y2＝4x的焦点，离心率是.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点C(－1,0)的动直线与椭圆相交于A，B两点．
若线段AB的中点的横坐标是－，求直线AB的方程．
解：(1)根据条件可知椭圆的焦点在x轴上，且a＝ .又c＝ea＝×＝，故b＝＝ ＝ ，故所求的椭圆方程为＋＝1.
(2)依题意，直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，
将y＝k(x＋1)代入＋＝1，消去y整理得，
(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由线段AB的中点的横坐标是－，
得＝－＝－，解得k＝±，适合①.
所以直线AB的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值为( )
A. B.
C．2 D．1
解析：选A.由e＝2得，＝2，从而b＝a＞0，所以＝a＋≥2 ＝2 ＝，当且仅当a＝，即a＝时，“＝”成立．故选A.
2．(2012·广州调研)P是双曲线－＝1(a>0，b>0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为( )
A．－a B．－b
C．－c D．a＋b－c
解析：选A.设内切圆M与△PF1F2三边切点分别为D、E、F，由双曲线定义知2a＝|PF2|－|PF1|＝(|PF|＋|FF2|)－(|PE|＋|EF1|)＝|FF2|－|EF1|＝|DF2|－|DF1|，又|DF2|＋|DF1|＝2c，∴|DF2|＝a＋c，|DF1|＝c－a，∴xD＝－a，即圆心M的横坐标为－a.
3．已知直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于________．
解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P(，)，k2＝，k1＝，k1k2＝.
由，相减得y－y＝－(x－x)．
故k1k2＝－.
答案：－
4．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2＋＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为－1的点P的个数为________．
解析：设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，
代入x2＋＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，
由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±2，
显见y＝2x＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，
∵直线y＝2x＋2与l距离d＝，
∴欲使S△ABP＝|AB|·h＝h＝－1，须使h＝，∵d＝h，∴直线y＝2x＋2与椭圆切点，及y＝2x＋4－2与椭圆交点均满足，∴这样的点P有3个．
答案：3
5．已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴、y轴上运动．且|AB|＝8，动点P满足＝，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q.
(1)求曲线C的方程；
(2)求△OPQ面积的最大值．
解：(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，
则＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
∴＝，
∴∴a＝x，b＝y.
又|AB|＝＝8，∴＋＝1.
∴曲线C的方程为＋＝1.
(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆＋＝1的右焦点，
设直线PM方程为x＝my＋4，由
消去x得(9m2＋25)y2＋72my－81＝0，
∴|yP－yQ|＝
＝.
∴S△OPQ＝|OM|·|yP－yQ|＝2×
＝＝
＝≤＝，
当＝，即m＝±时△OPQ的面积取得最大值为.
6．已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，左、右焦点为F1、F2，直线AF2与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆内存在动点P，使|PF1|，|PO|，|PF2|成等比数列(O为坐标原点)，求·的取值范围．
解：(1)圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为(x－3)2＋(y－1)2＝3，
则圆M的圆心为M(3,1)，半径r＝.
由A(0,1)，F2(c,0)，(c＝)，得直线AF2：
＋y＝1，
即x＋cy－c＝0，
由直线AF2与圆M相切，得＝，
解得c＝或c＝－(舍去)．
则a2＝c2＋1＝3，故椭圆C的方程为：＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－，0)、F2(，0)，设P(x，y)，
由题意知|PO|2＝|PF1|·|PF2|，
即()2＝·，
化简得：x2－y2＝1，则x2＝y2＋1≥1.
因为点P在椭圆内，
故＋y2<1，即＋x2－1<1，
∴x2<，∴1≤x2<，
又·＝x2－2＋y2＝2x2－3，
∴－1≤·<0.
1．(教材习题改编)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个交点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案：C
2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
3．已知F1、F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则△F2AB的面积为( )
A. B.
C. D.－1
答案：B
4．过点A(1,0)作倾斜角为的直线，与抛物线y2＝2x交于M、N两点，则|MN|＝________.
答案：2
5．(2011·高考天津卷)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍去)或＝.所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c，得方程组的解
不妨设A，B(0，－c)．
设点M的坐标为(x，y)，则＝，
＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)．
由·＝－2，即·x＋·x＝－2，化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，得c＝>0.
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
