课件59张PPT。第2课时 同角三角函数的基本关系与诱导公式重点难点
重点：①同角三角函数的关系公式．
②－α，π±α，2π－α， ±α的诱导公式．
难点：公式的综合运用．基础梳理
1．同角三角函数基本关系式
平方关系：_______________；
商数关系：sin2α＋cos2α＝12．诱导公式
sinα－sinαcosαcosαcosαtanαsinα－tanα课前热身
答案：A答案：B
答案：B
答案：sin2α
考点1 诱导公式的应用 (2012·茂名调研)(1)化简：
(2)求值：sin690°·sin150°＋cos930°·cos(－870°)＋tan120°·tan1050°.
【思路分析】
观察分析每一个角，看其是否能直接使用诱导公式，不能直接使用诱导公式的，要对角进行合理变形．
【名师点评】
使用诱导公式时要注意三角函数值在各个象限的符号，如果出现kπ±α(k∈Z)的形式时，需要对k的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符号．
考点2 同角三角函数基本关系的应用
运用基本关系可以求解两类问题：
(1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值；(2)运用它对三角函数式进行化简、求值或证明．
该部分高考命题难度不大，对公式的应用要求准确、灵活，尤其是在利用平方关系：sin2α＋cos2α＝1及其变形形式：sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要特别注意对符号的判断．
已知tanα＝2，求：【思路分析】 (1)用条件将待求式弦化切，分子、分母同除以cosα；或将式中的正弦用余弦代换，分子、分母相抵消，达到求值的目的．
(2)为达到利用条件tanα＝2的目的，将分母1变为sin2α＋cos2α，创造分母以达到利用弦化切的方法求值．
【思维总结】
由已知式可知tanα＝2，通过同角三角函数关系式求得sinα、cosα进而求解.但因角α所在角限不确定,要分类讨论,比较麻烦，故不可取．
互动探究
例2条件不变，求
sin(α－2π)sin(α－π)－sin( ＋α)
sin( －α)的值．考点3 利用sinα±cosα、sinαcosα间的关系求值
已知在△ABC中，sinA＋cosA＝
(1)求sinAcosA的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．
【思路分析】可先把sinA＋cosA＝
两边平方得出sinA·cosA，然后借助于A∈(0，π)及三角函数符号法则可得sinA与cosA的符号，从而进一步构造sinA－cosA的方程，最后联立求解．【方法技巧】 考点4 同角关系公式综合运用
化简：【思路分析】
“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标．
【名师点评】方法技巧失误防范
同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围判断符号，正确取舍．命题预测
从近几年的广东高考试题来看，同角三角函数的基本关系和诱导公式中的π ±α，±α是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题．主要是诱导公式在三角函数式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法．预测2013年广东高考仍将以π±α，±α为主要考点，重点考查考生的运算能力与恒等变形能力．
典例透析
(2011·高考重庆卷)已知sin α＝【名师点评】
本题考查了三角恒等变换及同角三角函数基本关系式，考查学生的运算求解能力，考生易错点是不能根据α的范围得出sinα＋cosα为正值．
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1．已知向量a＝(tanα，1)，b＝(，－1)，α∈(π，2π)，且a∥b，则点P在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.∵a∥b，∴tanα＝－，
∵α∈(π，2π)，∴α＝，
∴cos＝cos＝cos>0，
sin(π－α)＝sin＝－sin<0，
∴点P在第四象限．
2．(2010·高考上海卷)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.tan(2kπ＋)＝tan＝1；反之tanx＝1，则x＝kπ＋(k∈Z)．所以“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”的充分不必要条件．
3．设θ∈(，)，2sinθcosθ＝，则cosθ－sinθ的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.∵θ∈(，)，∴cosθ－sinθ<0，又(cosθ－sinθ)2＝1－2sinθcosθ＝，∴cosθ－sinθ＝－.
4．已知2tanα·sinα＝3，－<α<0，则cos的值是( )
A．0 B.
C．1 D.
解析：选A.∵2tanαsinα＝3,
∴＝3，即＝3，
∴2cos2α＋3cosα－2＝0，
∵|cosα|≤1，∴cosα＝，
∵－<α<0，∴sinα＝－，∴cos
＝cosαcos＋sinαsin＝×－×＝0.
5．若＝2，则sin(θ－5π)sin(－θ)＝________.
解析：由＝2，得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)，
两边平方得：1＋2sinθcosθ＝4(1－2sinθcosθ)，
故sinθcosθ＝，
∴sin(θ－5π)sin(－θ)＝sinθcosθ＝.
答案：
6．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α的值是________．
解析：∵sinα＋sin2α＝1，
∴sinα＝1－sin2α＝cos2α，
∴cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.
答案：1
7．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
∴－sinα＝2cosα，即sinα＝－2cosα.
∴原式＝＝
＝＝－.
1．已知＝1，则sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：选C.由已知得＝1，
即tanθ＝1，
于是sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ
＝
＝＝3.故选C.
2．已知函数f(x)＝sinx－cosx且f ′(x)＝2f(x)，f ′(x)是f(x)的导函数，则＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A.f ′(x)＝cosx＋sinx，∵f ′(x)＝2f(x)，
∴cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，∴tanx＝3，
∴＝
＝＝＝－.
3．已知角α的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角α的最小正值为________．
解析：∵tanα＝＝＝－.
且sin>0，cos<0.
∴α在第四象限，由tanα＝－，
得α的最小正值为π.
答案：π
4．如图所示的程序框图，运行后输出结果为________．
解析：∵sin＝cosα，
由程序框图可知，输出的结果：
S＝2012＋2，
又cos＋cos＋cosπ＋cos＋cos＋cos2π
＝cos＋cos＋cos3π＋cos＋cos＋cos4π
＝…
＝cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝0，
∴S＝2012＋2
＝2012＋2＝2012.
答案：2012
5．已知sin(π－α)·cos(－8π－α)＝，且α∈(，)，试求sinα和cosα的值．
解：由sin(π－α)·cos(－8π－α)＝，
得sinα·cosα＝，
∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝.
(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－＝.
又α∈(，)，
∴sinα＋cosα＝，sinα－cosα＝，
∴sinα＝，cosα＝.
6．已知函数f(x)＝cos－2cos2＋1.
(1)当x取什么值时，函数f(x)取得最大值，并求其最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求sinα.
解：(1)f(x)＝sinx－cosx＝sin.
当x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，
f(x)有最大值为.
(2)法一：f(α)＝sin＝，
∴sin＝，
∵α∈，α－∈，
∴cos＝ ＝，
∴sinα＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
法二：f(α)＝sin＝sinα－cosα，
由得或，
∵α∈，∴sinα＝.
1．sin(－300°)等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案：D
2．(教材习题改编)已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sinα＝( )
A．－ B.
C．± D.
答案：A
3．cos(－)－sin(－)的值是( )
A. B．－
C．0 D.
答案：A
4．已知tan2α＝－2，且满足＜α＜，则的值为( )
A. B．－
C．－3＋2 D．3－2
解析：选C.＝＝.
又tan2α＝－2＝?2tan2α－2tanα－2＝0，
解得tanα＝－或.
又＜α＜，∴tanα＝.原式＝＝－3＋2.
故选C.
5．若z＝sinθ－＋i是纯虚数，则tanθ的值为( )
A．± B．±
C．－ D.
解析：选C.∵z＝＋i为纯虚数，
∴sinθ－＝0且cosθ－≠0，
∴sinθ＝，cosθ＝－，∴tanθ＝＝－.故选C.
6．(2010·高考大纲全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－，则cosα＝________.
答案：－
