课件60张PPT。第4课时 三角函数的图象和性质重点难点
重点：三角函数的图象与性质．
难点：灵活运用三角函数图象和性质．
基础梳理
1．对称轴与对称中心2．周期函数
(1)周期函数的定义
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有_______________，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
f(x＋T)＝f(x)(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期．
最小的正数最小正数思考探究
1．是否每一个周期函数都有最小正周期？
提示：不一定．如常数函数f(x)＝a，每一个非零数都是它的周期．3．正弦函数、余弦函数、正切函数
的图象和性质
{y|－1≤y
≤1}2kπ(k∈Z)π＋2kπ(k∈Z奇奇π课前热身
A．y＝sinx B．y＝cosx
C．y＝sin2x D．y＝cos2x
答案：D
答案：D
考点1 求三角函数的定义域 求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(sinx－cosx)；
【思路分析】 【方法技巧】
对于(1)出现分段区间和定区间的交集,要对k正确取值，其技巧是从k＝0开始.对于(2)要注意根据0考点2 三角函数的值域与最值
(1)三角函数属于初等函数，因而前面学过的求函数值域的一般方法，也适用于三角函数．但涉及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1对值域的影响．
(2)解答此类题目首先应进行三角恒等变换，将函数式化为只含一个三角函数式的形式，再根据定义域求解．
求下列函数的值域．
【思路分析】
首先要进行等价变化，目的是化为一个角的三角函数．
【误区警示】
解题过程中注意定义域对函数值域的影响．
考点3 三角函数的性质
(1)较复杂的三角函数，可转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k，y＝Atan(ωx＋φ)＋k类型，利用以下公式求解：(2)判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇，一偶则偶”．
已知函数【思维总结】
(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的.(2)不是所有的周期函数都有最小正周期，如周期函数f(x)＝C(C为常数)就没有最小正周期
变式训练方法技巧
1．求三角函数值域常用的方法
(1)将所给的三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域,例如转化成y＝asin2x＋bsinx＋c型的值域问题．(2)化为一角一函形式求．
(3)利用sinx、cosx的有界性求值域．
(4)换元法．利用换元法求三角函数的值域，要注意换元前后的等价性，不能只进行换元，不注意其等价性．
(5)数形结合．
2．用三角函数的单调性比较两角函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间.不属于的,可先化至同一单调区间内,再比较其大小．3．求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.一般地,经过三角恒等变换化成“y＝Asin(ωx＋φ),y＝Acos(ωx＋φ),y＝Atan(ωx＋φ)”的形式,再利用周期公式即可．
失误防范
1．闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.3．利用换元法求三角函数的最值时需注意三角函数的有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误．
4．函数y＝tanx在第一象限内是增函数是错误的，你能说明原因吗？
命题预测
从近几年的广东高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属于中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．
预测2013年广东高考仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性为主要考点，重点考查运算与恒等变换能力．
规范解答
(本题满分12分)(2011·高考北京卷)已知函数本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．函数f(x)＝tanωx(ω>0)图象相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f()的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D.
解析：选A.由于相邻的两支截直线y＝所得的线段长为，所以该函数的周期T＝＝，因此ω＝4，函数解析式为f(x)＝tan4x，所以f()＝tan(4×)＝tanπ＝0.
2．若对?a∈(－∞，0)，?θ∈R，使asinθ≤a成立，则cos(θ－)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.由已知得，?θ∈R使sinθ≥1，
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴cos(θ－)＝cos(2kπ＋)＝(k∈Z)．
3．若函数y＝2cos(2x＋φ)是偶函数，且在(0，)上是增函数，则实数φ可能是( )
A．－ B．0
C. D．π
解析：选D.依次代入检验知，当φ＝π时，函数y＝2cos(2x＋π)＝－2cos2x，此时函数是偶函数且在(0，)上是增函数．
4．(2011·高考湖北卷)已知函数f＝sin x－cos x，x∈R.若f≥1，则x的取值范围为( )
A．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
B．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z}
C．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
D．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z}
解析：选A.∵f＝sin x－cos x＝2sin，
∴f≥1，即2sin≥1，∴sin≥，
∴＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z.
解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
5．函数y＝sin(－x)的单调递增区间为________．
解析：由y＝sin(－x)，得y＝－sin(x－)，
由＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得
＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，
故函数的单调递增区间为[＋3kπ，＋3kπ](k∈Z)．
答案：[＋3kπ，＋3kπ](k∈Z)
6．函数y＝lgsinx＋ 的定义域为________．
解析：要使函数有意义，必须有，
解得(k∈Z)，
∴2kπ∴函数的定义域为{x|2kπ答案：{x|2kπ7．(2010·高考北京卷)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解：(1)f()＝2cos＋sin2－4cos
＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cosx－1＝32－，x∈R.
因为cosx∈[－1,1]，
所以，当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－.
1．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈(－，)时，f(x)＝x＋sinx，则( )
A．f(1)C．f(3)解析：选D.由f(x)＝f(π－x)知：
f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)．
当x∈(－，)时，f(x)＝x＋sinx是增函数．
又－<π－3<1<π－2<，
∴f(π－3)2．(2011·高考课标全国卷)设函数f(x)＝sin＋cos，则( )
A．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称
B．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称
C．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称
解析：选D.∵f(x)＝sin＋cos
＝sin＝cos 2x，
当0故f(x)＝cos 2x在内单调递减．
又当x＝时，cos＝－，
因此x＝是y＝f(x)的一条对称轴．
3．函数f(x)＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，须满足
，∴(k∈Z)．
∴x∈∪∪(k∈Z)．
答案：∪∪
(k∈Z)
4．给出命题：①函数y＝2sin(－x)－cos(＋x)(x∈R)的最小值等于－1；②函数y＝sinπxcosπx是周期为2的奇函数；③函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上是单调递增的；④函数f(x)＝sin2x－()|x|＋在(2012，＋∞)上恒有f(x)>.则正确命题的序号是________．
解析：由于y＝2sin(－x)－cos(＋x)＝sin(－x)，
所以最小值等于－1，故①正确；
函数y＝sinπxcosπx＝sin 2πx是周期为1的奇函数，故②错误；
函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上不是单调函数，故③错误；
当x＝2012π时，f(x)＝sin2x－()|x|＋＝－()2012π＋<，所以④错误．
答案：①
5．求函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的值域．
解：y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x
＝＋sin2x＋
＝sin2x＋cos2x＋2＝sin(2x＋)＋2.
故函数的值域为[2－，2＋]．
6．已知函数f(x)＝2sincos－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x) 的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝sin＋sinx＝cosx＋sinx
＝2＝2sin.
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝f＝2sin＝2sin.
∵x∈[0，π]时，x＋∈ ，
∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2.
当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1.
1．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是( )
A．(－，) B．(，π)
C．(π，π) D．(π，2π)
答案：C
2．(2010·高考陕西卷)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递增的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
答案：B
3．f(x)＝1－2cos2ωx(ω>0)的周期与g(x)＝tan的周期相等，则ω等于( )
A．2 B．1
C. D.
答案：C
4．将函数y＝sinx－cosx的图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，则a的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.∵y＝sinx－cosx＝2sin，经平移后函数图象所对应的函数解析式为y＝2sin，且其图象关于y轴对称，∴－a－＝＋kπ(k∈Z)，∴amin＝.故选C.
5．(教材习题改编)函数y＝－tan(2x＋)＋2的定义域是________．
答案：{x|x≠kπ＋，k∈Z}
