课件68张PPT。第6课时 指数与指数函数重点难点
重点：①指数幂的运算法则．②指数函数的概念、图象与性质．
难点：①根式与分数指数幂的运算．②a>1与0
基础梳理
1．根式的概念xn＝a正数负数两个相反数思考探究0的正分数指数幂等于___；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝_________，(ar)s＝_______，(ab)r＝________，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
0ar＋sarsarbr3．指数函数的图象及其性质
(0，＋∞)y>101R增函数减函数课前热身
1．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0,且a≠1),f(2)＝4，则( )
A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2)
C．f(1)＞f(2)
D．f(－2)＞f(2)
答案：A
2．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值
域是( )
A．定义域是R，值域是R
B．定义域是R，值域是(0，＋∞)C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)
D．以上都不对
答案：C
3．若0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝f(x)＝ax＋b的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
4．函数y＝23－2x－x2的值域是______．
答案：(0,16]
5．函数f(x)＝(a2＋a＋2)x，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．
答案：m＞n
考点1 指数式的化简与求值
化简原则：
(1)化负指数为正指数；
(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；
(4)注意运算的先后顺序．
说明：有理指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质来运算
(2012·深圳质检)化简下列各
式(其中各字母均为正数)．【思路分析】
(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算；(2)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合再创设条件去求．
【规律小结】 对于结果的形式，如果题目是以根式的形式给出的，则结果用根式的形式表示；如果题目以分数指数幂的形式给出的，则结果用分数指数幂的形式表示．结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指数幂．
考点2 指数函数的图象及其应用
对于指数型函数图象的研究，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，要注意底数a>1与0(1)作出其图象；
(2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当x取什么值时有最值
【思路分析】 【解】 (1)法一：由函数解析式可得
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．
(3)由图象知当x＝－1时，有最大值1,无最小值．【方法指导】
带有绝对值的图象作图,一般分为两种情况,一种是去掉绝对值号作图;另一种是不去绝对值号,如y＝f(|x|)可依据函数是偶函数,先作出y＝f(x)(x≥0)的图象,x<0时的图象只需将y＝f(x)(x≥0)的图象关于y轴对称过去即可又如y＝|f(x)|的图象，可作出y＝f(x)的图象，保留x轴上方图象及图象与x轴的交点，将下方图象关于x轴对称过去即可得y＝|f(x)|的图象．考点3 指数函数的性质
复合函数的单调性问题，应先弄清函数由哪些基本函数复合得到，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”；也可考虑用导数法分析． 已知函数f(x)＝( )ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
【思路分析】
函数f(x)是由指数函数和二次函数复合而成的，因此可通过复合函数单调性法则求单调区间，研究函数的最值问题．
【方法技巧】
求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以解决
互动探究
在例3条件下，若f(x)的值域是
(0，＋∞)，求a的值．方法技巧
1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是指数函数图象的渐近线．当01，x→－∞时，y→0；当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当03．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解．失误防范
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1与03．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
命题预测
从近几年广东高考对指数和指数型函数的考题来看，主要是以其性质及图象为依托，常与其他函数进行复合，试题以选择题、填空题为主，考查学生计算能力和数形结合能力，属低档题．题型有数值的计算，函数值的求法，数值的大小比较，解简单指数不等式等．在解答题中，常与导数结合．预测2013年的广东高考中，主要以利用指数函数的性质比较大小和解不等式为重点，同时关注解答题与导数的融合．
典例透析
(2010·高考重庆卷)函数f(x)A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
【答案】 D【名师点评】本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
1．化简(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
解析：选D.＝(16x8y4)
＝[24(－x)8·(－y)4]
＝24··(－x)8··(－y)4·
＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
2．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B.由f(1)＝得a2＝，
∴a＝(a＝－舍去)，
即f(x)＝()|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.
3．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于( )
A．5 B．7
C．9 D．11
解析：选B.由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，
∴(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.
所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.故选B.
4．已知f(x)＝()x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为( )
A．y＝()x B．y＝()1－x
C．y＝()2＋x D．y＝3x－2
解析：选D.设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，则P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝()x上，
∴y＝()2－x＝3x－2.
5．函数y＝()－|x|的值域为________．
解析：－|x|≤0，∴()－|x|≥1，即y≥1.
∴值域为[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
6．(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0＝________.
解析：原式＝()－－＋1
＝500－10(＋2)＋1
＝10－10－20＋1＝－19.
答案：－19
7．求函数y＝()x2－4x，x∈[0,5)的值域．
解：令u＝x2－4x，x∈[0,5)，则－4≤u<5，
∴()5故值域为(，81]．
1．已知y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝2x，设a＝f()，b＝f()，c＝f(1)，则a、b、c的大小关系为( )
A．aC．b解析：选B.f(x＋1)是R上的偶函数?f(x)关于x＝1对称，而f(x)＝2x在区间[1,2]上单调递增，则有a＝f()＝f()>b＝f()>c＝f(1)，故选B.
2．下列大小关系正确的是( )
A．0.43<30.4C．log40.3<0.43<30.4 D．log40.3<30.4<0.43
解析：选C.根据指数函数和对数函数的性质，0<0.43<1, 30.4>1，log40.3<0，故有log40.3<0.43<30.4.
3．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．
解析：若a>1，如图1为y＝|ax－1|的图象，与y＝2a显然仅有一个交点；当0答案：
4．(2012·中山调研)已知集合P＝{(x，y)|y＝m}，Q＝{(x，y)|y＝ax＋1，a>0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是________．
解析：P∩Q有且只有一个元素，即函数y＝m与y＝ax＋1(a>0，且a≠1)的图象只有一个公共点．
∵y＝ax＋1>1，∴m>1.∴m的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
5．(2012·佛山质检)甲、乙两工厂的月产值在11年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到11年11月份发现两工人的月产值又相同．试比较甲、乙两工厂11年6月份的月产值大小．
解：设六月份两厂产值都是a，甲每月增加产值b，乙每月比前一月增加的百分比为q，由条件知a＋10b＝a(1＋q)10，
∴10b＝a[(1＋q)10－1]＝a[(1＋q)5－1][(1＋q)5＋1]>2a[(1＋q)5－1]，
∴5b＋a>a(1＋q)5，即甲厂6月份产值比乙厂6月份产值大．
6．已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性．
解：(1)函数定义域为R，关于原点对称．
又因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)当a>1时，a2－1>0，
y1＝ax为增函数，y2＝a－x为减函数，
从而y＝y1－y2＝ax－a－x为增函数，
所以f(x)为增函数．
当0y1＝ax为减函数，y2＝a－x为增函数，
从而y＝y1－y2＝ax－a－x为减函数．
所以f(x)为增函数．
故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
1．将 化为分数指数幂，其正确的形式是( )
A．2 B．－2
C．2－ D．－2－
答案：B
2．函数y＝ax－(b＋1)(a＞0且a≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有( )
A．a＞1，b＞1 B．0＜a＜1，b＜0
C．a＞1，b＜1 D．a＞1，b＞0
解析：选D.由题意知，a＞0且b＋1＞1，∴a＞1且b＞0.
3．(2010·高考陕西卷)下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是( )
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．余弦函数
答案：C
4．函数y＝ax－1(0＜a＜1)的图象过定点________．
答案：(0,0)
5．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≤1时，f(x)＝x＋1，则有( )
A．f＜f＜f
B．f＜f＜f
C．f＜f＜f
D．f＜f＜f
解析：选A.由条件知，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，又x＝1为其对称轴．
∴f＝f＝f＝f，
∴f＜f＜f，即f＜f＜f，故选A.
