(共32张PPT)
第二课时 导数的几何意义
课标要求 素养要求
通过函数图象直观理解导数的几何意义. 通过学习导数与曲线的切线的关系，理解导数的几何意义，发展学生直观想象素养.
新知探究
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.
问题 如果设曲线的方程为y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？
提示 k＝f′(x0).
1.切线的概念
在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线.
2.
当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即
导数的几何意义
“在点(x0，f(x0))处”的切线就是指(x0，f(x0))是切点.
3.导函数
拓展深化
[微判断]
1.函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数.( )
2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率.( )
3.直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点.( )
提示 也可能有多个公共点，如曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线y＝x3有两个公共点.
√
√
×
答案 B
2.函数f(x)的图象如图所示，则( )
A.f′(1)>f′(2)>f′(3) B.f′(2)>f′(1)>f′(3)
C.f′(3)>f′(2)>f′(1) D.f′(3)>f′(1)>f′(2)
解析 由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).
答案 C
[微思考]
1.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线吗？
提示 不一定，例如直线x＝1与曲线y＝cos x只有一个公共点，但直线x＝1不是曲线y＝cos x的切线.
2.导函数f′(x)与函数在x＝x0处的导数f′(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？
提示 不相同.(1)两者的区别：由导数的定义知，f′(x0)是一个具体的值，f′(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数.
(2)两者的联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此是函数在某一点处的导数.
∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
规律方法 若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
解 曲线在点处的切线的斜率为k
题型二 求切点坐标或参数值
【例2】 (1)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________.
(2)若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝________.
解析 (1)设切点坐标为(x0，y0)，
因此x0＝±1，所以P(1，1)或P(－1，－1).
因为点P在直线y＝3x＋b上，所以b＝±2.
规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.
【训练2】 已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.
解 对于曲线f(x)＝x2－1，
对于曲线g(x)＝1－x3，
题型三 与导数的几何意义有关的图象问题
【例3】 (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)
C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定
(2)若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
解析 (1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)(2)函数f(x)的导函数f′(x)在[a，b]上是增函数，若对任意x1和x2满足a答案 (1)B (2)A
规律方法 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.
A.f′(1)C.f′(2)答案 B
一、素养落地
1.通过学习导数的几何意义，理解切线的斜率与导数的关系，培养数学运算和直观想象素养.
二、素养训练
1.若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A.h′(a)＝0 B.h′(a)<0
C.h′(a)>0 D.h′(a)不存在
解析 由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义可知h′(a)＝－2<0.
答案 B
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案 D
3.设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
所以2a＝2，所以a＝1(经检验，正确).
答案 A
答案 3(共27张PPT)
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第一课时 导数的概念
课标要求 素养要求
1.了解导数概念的实际背景.
2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想. 根据具体的实例得到导数的概念，求函数的导数，培养学生的数学抽象与数学运算素养.
新知探究
在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化
率，例如
(1)摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表
示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；
(2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；
(3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
问题 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率，它在数学上称为什么？
提示 函数的导数.
1.平均变化率
2.导数
导数是函数的平均变化率，当自变量的增量趋于0时的极限
拓展深化
[微判断]
1.函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度.( )
提示 导数反映的是函数在某一点处的变化的快慢程度，非在某区间上的.
2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.( )
×
√
√
[微训练]
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A.2.1 B.1.1 C.2 D.0
答案 A
2.设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________.
答案 2
[微思考]
1.导数或瞬时变化率可以反映函数变化的什么特征？
提示 导数或瞬时变化率可以反映函数在某一点处变化的快慢程度.
2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？
提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢.
题型一 求函数的平均变化率
【例1】 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
【训练1】 求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值.
解 函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
题型三 导数概念的应用
【例3】 已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
答案 (1)C (2)B
一、素养落地
1.在学习导数定义的过程中，培养了学生的数学抽象素养，在应用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算素养.
2.在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择相应的形式，利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式.
二、素养训练
1.函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是( )
A.0 B.1
C.2 D.Δx
答案 A
A.4 B.4x C.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2
答案 C
3.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________.
又f′(1)＝3，∴a＝3.
答案 3