5.2.1 基本初等函数的导数 课件（共31张PPT）
文档属性
| 名称 | 5.2.1 基本初等函数的导数 课件（共31张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-23 17:45:26 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
新知探究
问题2 函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？
问题3 函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？
1.几个常用函数的导数
2.基本初等函数的导数公式
×
√
×
提示 若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xln 4.
[微训练]
1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于( )
A.0 B.2x
C.6 D.9
解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
答案 C
2.求下列函数的导数：
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
解 (1)y′＝0；
规律方法 求简单函数的导函数的基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
【训练1】 求下列函数的导数：
题型二 利用导数公式解决切线问题
角度1 求切线的方程
答案 B
角度2 求参数值
【例2－2】 已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________.
角度3 曲线上的点到直线的最小距离问题
【例2－3】 设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
解 如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.
设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).
因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).
规律方法 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
解 (1)设所求切线的斜率为k.
(2)设切点坐标为(x0，y0).
即4x－y－1－ln 4＝0.
题型三 导数公式的实际应用
【例3】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095)
解 由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1
所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)
所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.
规律方法 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
【训练3】 从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示.
求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)
解 由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安.
一、素养落地
1.通过学习导数公式及应用导数公式求基本初等函数的导数，提升数学运算素养.
2.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.
二、素养训练
1.函数y＝xe的导数是( )
A.y′＝xe B.y′＝exe－1
C.y′＝exe D.y′＝ln x
解析 由(xα)′＝αxα－1得，y′＝exe－1.
答案 B
答案 D
3.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.
解析 f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.
答案 1
答案 x＋9y－6＝0
5.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴在点(2，e2)处的切线斜率为k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
新知探究
问题2 函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？
问题3 函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？
1.几个常用函数的导数
2.基本初等函数的导数公式
×
√
×
提示 若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xln 4.
[微训练]
1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于( )
A.0 B.2x
C.6 D.9
解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
答案 C
2.求下列函数的导数：
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
解 (1)y′＝0；
规律方法 求简单函数的导函数的基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
【训练1】 求下列函数的导数：
题型二 利用导数公式解决切线问题
角度1 求切线的方程
答案 B
角度2 求参数值
【例2－2】 已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________.
角度3 曲线上的点到直线的最小距离问题
【例2－3】 设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
解 如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.
设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).
因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).
规律方法 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
解 (1)设所求切线的斜率为k.
(2)设切点坐标为(x0，y0).
即4x－y－1－ln 4＝0.
题型三 导数公式的实际应用
【例3】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095)
解 由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1
所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)
所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.
规律方法 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
【训练3】 从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示.
求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)
解 由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安.
一、素养落地
1.通过学习导数公式及应用导数公式求基本初等函数的导数，提升数学运算素养.
2.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.
二、素养训练
1.函数y＝xe的导数是( )
A.y′＝xe B.y′＝exe－1
C.y′＝exe D.y′＝ln x
解析 由(xα)′＝αxα－1得，y′＝exe－1.
答案 B
答案 D
3.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.
解析 f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.
答案 1
答案 x＋9y－6＝0
5.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴在点(2，e2)处的切线斜率为k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.