5.2.2导数的四则运算法则 课件（共32张PPT）
文档属性
| 名称 | 5.2.2导数的四则运算法则 课件（共32张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-23 17:46:53 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
5.2.2 导数的四则运算法则
课标要求 素养要求
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数. 在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
新知探究
问题2 试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系.
显然Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.
导数运算法则
注意两函数商的导数中分式的分子上是“－”
提示 f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
√
√
×
[微训练]
1.(多选题)下列求导运算正确的是( )
答案 BC
2.设f(x)＝x3＋ax2－2x＋b，若f′(1)＝4，则a的值是( )
答案 B
答案 1
[微思考]
1.设f(x)＝tan x，如何求f′(x)
题型一 利用运算法则求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
解 (1)法一 可以先展开后再求导：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.
法二 可以利用乘法的求导法则进行求导：
y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
(2)把函数的解析式整理变形可得：
(3)根据求导法则进行求导可得：
y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(3e)xln 3e－2xln 2.
(4)利用除法的求导法则进行求导可得：
规律方法 利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
【训练1】 求下列函数的导数.
解 (1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
题型二 求导法则的应用
角度1 求导法则的逆向应用
【例2－1】 已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.
规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.
【训练2】 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式.
解 ∵f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，
解 (1)f′(x)＝3ax2－2x－1.
规律方法 (1)此类问题主要涉及切点，切点处的导数、切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
一、素养落地
1.通过利用导数的运算法则求导数提升数学运算素养.
2.导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数.
答案 A
2.已知函数f(x)＝xex＋ax，若f′(0)＝2，则实数a的值为( )
A.－1 B.0
C.1 D.2
解析 f′(x)＝ex(x＋1)＋a，故f′(0)＝1＋a＝2，所以a＝1.
答案 C
答案 C
4.曲线f(x)＝xln x在点(1，f(1))处的切线的方程为________.
解析 f′(x)＝1＋ln x，则在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，故所求的切线方程为y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.
答案 x－y－1＝0
解析 由于f′(0)是常数，
所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
答案 1
5.2.2 导数的四则运算法则
课标要求 素养要求
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数. 在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
新知探究
问题2 试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系.
显然Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.
导数运算法则
注意两函数商的导数中分式的分子上是“－”
提示 f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
√
√
×
[微训练]
1.(多选题)下列求导运算正确的是( )
答案 BC
2.设f(x)＝x3＋ax2－2x＋b，若f′(1)＝4，则a的值是( )
答案 B
答案 1
[微思考]
1.设f(x)＝tan x，如何求f′(x)
题型一 利用运算法则求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数.
解 (1)法一 可以先展开后再求导：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.
法二 可以利用乘法的求导法则进行求导：
y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
(2)把函数的解析式整理变形可得：
(3)根据求导法则进行求导可得：
y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(3e)xln 3e－2xln 2.
(4)利用除法的求导法则进行求导可得：
规律方法 利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
【训练1】 求下列函数的导数.
解 (1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
题型二 求导法则的应用
角度1 求导法则的逆向应用
【例2－1】 已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.
规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.
【训练2】 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式.
解 ∵f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，
解 (1)f′(x)＝3ax2－2x－1.
规律方法 (1)此类问题主要涉及切点，切点处的导数、切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
一、素养落地
1.通过利用导数的运算法则求导数提升数学运算素养.
2.导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数.
答案 A
2.已知函数f(x)＝xex＋ax，若f′(0)＝2，则实数a的值为( )
A.－1 B.0
C.1 D.2
解析 f′(x)＝ex(x＋1)＋a，故f′(0)＝1＋a＝2，所以a＝1.
答案 C
答案 C
4.曲线f(x)＝xln x在点(1，f(1))处的切线的方程为________.
解析 f′(x)＝1＋ln x，则在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，故所求的切线方程为y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.
答案 x－y－1＝0
解析 由于f′(0)是常数，
所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
答案 1