5.2.3　简单复合函数的导数 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
5.2.3　简单复合函数的导数
课标要求 素养要求
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数. 在根据复合函数的求导法则求复合函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.
新知探究
假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且
y＝f(u)＝60u－u2，u＝g(x)＝60－3x，
那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有
y＝60u－u2＝60(60－3x)－(60－3x)2＝180x－9x2，
上式也可这样得到
f(g(x))＝60g(x)－[g(x)]2＝180x－9x2.
问题1　函数f(g(x))与f(x)和g(x)是什么关系？
提示　f(g(x))是f(x)与g(x)的复合函数.
问题2　求f(u)＝60u－u2的导数f′(u)，u＝g(x)＝60－3x的导数u′＝g′(x).
提示　f′(u)＝60－2u＝60－2(60－3x)＝6x－60，u′＝g′(x)＝－3.
问题3　设y＝f(g(x))＝180x－9x2，求y′，并观察f′(u)和u′＝g′(x)的关系.
提示　y′＝180－18x，易知y′＝f′(u) ux′.
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作___________.
2.
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
y＝f(g(x))
yu′·ux′
复合函数的求导法则　
正确地拆分复合函数是求导的前提
拓展深化
[微判断]
1.函数f(x)＝ln(－2x＋1)是由y＝ln u与u＝－2x＋1复合而成的.( )
√
×
提示　f(x)不是复合函数.
3.设f(x)＝e－x，则f′(x)＝e－x.( )
提示　f′(x)＝－e－x.
×
[微训练]
1.设f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(x)＝(　　)
答案　B
答案　B
3.曲线f(x)＝e－2x＋3在(1，f(1))处的切线的斜率是________.
解析　f′(x)＝－2e－2x＋3，f′(1)＝－2e，即k＝－2e.
答案　－2e
[微思考]
1.复合函数y＝f(g(x))，用中间变量y＝f(u)，u＝g(x)代换后求导的顺序是什么？
提示　根据复合函数的求导法则yx′＝yu′·ux′，求导的顺序是从外向内逐层求导.
题型一　求复合函数的导数
【例1】　求下列函数的导数.
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则yx′＝yu′ux′＝(log2u)′(2x＋1)′
(3)设y＝eu，u＝3x＋2，
则yx′＝y′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′
＝3eu＝3e3x＋2，
即y′＝3e3x＋2.
规律方法　(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
解　(1)设y＝u4，u＝2x－1，
则yx′＝yu′ux′＝(u4)′(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)设y＝10u，u＝2x＋3，
则yx′＝yu′ux′＝(10u)′(2x＋3)′＝10uln 10·2＝2·102x＋3·ln 10＝102x＋3·ln 100.
(3)yx′＝(e－x)′sin 2x＋e－x·(sin 2x)′
＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x.
规律方法　解此类问题的关键有两个：
(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏.
(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.
【训练2】　已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.
解析　设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.
所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.
因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.
则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，
所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
答案　2x－y＝0
规律方法　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
【训练3】　已知某质点的位移s与位移时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________.
解析　s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.
答案　2
一、素养落地
1.通过学习复合函数的求导法则及其简单应用，提升数学运算素养.
2.求复合函数的导数应处理好以下环节：
(1)中间变量的选择应是基本函数结构；
(2)关键是正确分析函数的复合层次；
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.
二、素养训练
1.设f(x)＝sin 2x，则f′(x)＝(　　)
A.cos 2x B.2cos 2x
C.－cos 2x D.－2cos 2x
解析　f′(x)＝(sin 2x)′(2x′)＝2cos 2x.
答案　B
2.设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)＝(　　)
答案　B
解析　y＝(3x－1)－2，
设y＝u－2，u＝3x－1，
yx′＝yu′ux′＝(u－2)′·(3x－1)′
4.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案　2