(共26张PPT)
第二课时 导数与函数的单调性(二)
课标要求 素养要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性. 进一步理解函数的导数和其单调性的关系，提升数学运算素养与直观想象素养.
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
规律方法 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
①当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
解析 (1)易得f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
答案 (1)B (2)A
规律方法 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
【训练2】 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是( )
A.(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞)
B.(－3，－1)∪(1，3)
C.(－2，2)
D.不存在这样的实数k
解析 由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根.
又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，
故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，
∴k－1<2∴1答案 B
题型三 函数单调性的应用
【例3】 (1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则( )
A.e－2 019f(－2 019)f(0)
B.e－2 019f(－2 019)C.e－2 019f(－2 019)>f(0)，e2 019f(2 019)>f(0)
D.e－2 019f(－2 019)>f(0)，e2 019f(2 019)(2)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是( )
A.(0，1) B.(2，＋∞) C.(1，2) D.(1，＋∞)
解析 (1)构造函数h(x)＝exf(x)，则h′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))>0，
所以函数h(x)在R上单调递增，
故h(－2 019)同理，h(2 019)>h(0)，即e2 019f(2 019)>f(0)，故选A.
(2)构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，
所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.
又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
所以x＋12或x<－1(舍).
所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).故选B.
答案 (1)A (2)B
【迁移1】 把例3(1)中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较
e2 019f(－2 019)和f(0)的大小.
【迁移2】 把例3(2)中的条件“f(x)<－xf′(x)”换为“f(x)(2x＋1)f(x2＋1).
∵f(x)0，故g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
即不等式(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)的解集为(0，2).
答案 CD
一、素养落地
1.通过学习导数与函数的单调性，提升数学运算与逻辑推理素养.
2.对于含参数的导数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏.
3.利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在性问题，再利用分离参数法或函数的性质求解.
二、素养训练
1.设函数f(x)＝2x＋sin x，则( )
A.f(1)>f(2) B.f(1)C.f(1)＝f(2) D.以上都不正确
解析 f′(x)＝2＋cos x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)答案 B
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 f′(x)＝x2－2ax，令f′(x)<0，由于a>0，故解得0答案 A
A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2)
C.f(3)>f(2)>f(e) D.f(e)>f(3)>f(2)
∴x∈(0，e)，f′(x)>0，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0，故x＝e时，f(x)max＝f(e)，
答案 D
4.若函数y＝x2－2bx＋6在(2，8)内是增函数，则实数b的取值范围是________.
解析 由题意得y′＝2x－2b≥0在(2，8)内恒成立，
即b≤x在(2，8)内恒成立，所以b≤2.
答案 (－∞，2]
解析 ∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.
即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.
设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.
答案 (－∞，－1](共27张PPT)
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
第一课时 导数与函数的单调性(一)
课标要求 素养要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 通过利用导数研究函数的单调性，结合函数的图象对其加以理解，发展学生数学运算和直观想象素养.
新知探究
竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度h是时间t的函数，设h＝h(t)，其图象如图所示.横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h，设沙袋的最高点为A，其横坐标为t＝t0. 小沙袋从a到t0这段时间内运动速度越来越小，从t0到b这段时间内，运动速度越来越大.
问题 怎样才能更深刻地研究速度变化的各区间呢？
提示 学习本课后，我们可以利用导数来判断函数的单调性，从而可研究速度变化的各个区间.
函数的单调性与导数的关系
(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数 函数的单调性
f′(x)>0 单调递____
f′(x)<0 单调递____
f′(x)＝0 常函数
增
减
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性 导数
单调递____ f′(x)≥0
单调递____ f′(x)≤0
常函数 f′(x)＝0
增
减
拓展深化
[微判断]
1.函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减.( )
×
2.函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( )
提示 反例：f(x)＝x3，x∈(－1，1)，当x＝0时，f′(0)＝0.
3.函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).( )
×
√
[微训练]
1.函数f(x)＝2x＋cos x在(－∞，＋∞)上( )
A.是增函数 B.是减函数
C.单调性不确定 D.是奇函数
解析 ∵f′(x)＝2－sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.
答案 A
2.函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________.
解析 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0得x2>1，即x>1或x<－1.
故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞).
答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)
3.函数f(x)＝ln x－x的单调增区间是________.
答案 (0，1)
[微思考]
1.在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？
提示 必要不充分条件.
2.若函数f(x)的增区间是A，且f(x)在区间B上单调递增，那么A与B是什么关系？
提示 B A
题型一 函数图象与导函数图象的关系
【例1】 (1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )
(2)已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，则满足f′(x)解析 (1)由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(0，2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.
答案 (1)D (2)D
规律方法 函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象.
【训练1】 在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是( )
A.①② B.①③
C.③④ D.①④
解析 当f′(x)>0时，y＝f(x)是增加的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是减少的.故可得，①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误.
答案 C
题型二 求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间
规律方法 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(1)求导数y′＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数.
【训练2】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
(2)f(x)＝sin x－x(0解 (1)f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)<0解得 －3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2).
(2)f′(x)＝cos x－1.
因为0一、素养落地
1.通过学习函数的图象与其导函数图象之间的关系，培养直观想象素养，通过学习利用导数求函数的单调区间，提升数学运算素养.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
二、素养训练
1.函数f(x)＝x＋ln x在(0，6)上是( )
答案 A
2.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为( )
A.(－2，0)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－2，－1)∪(1，2)
解析 因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.
答案 C
3.函数f(x)＝3＋x·ln x的单调递增区间是( )
答案 C
解析 f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>3，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞).
答案 (－∞，－1)，(3，＋∞)
5.函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是________.
