(共36张PPT)
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第一课时 函数的极值
课标要求 素养要求
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 通过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展学生的直观想象与数学运算素养.
新知探究
横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在
此山中.
在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，
但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，山谷中的最低处是所有谷底的最低者的底部.
问题 观察下图中的函数图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，应用什么数学语言来描述？
提示 有，应用函数的极大值和极小值来描述.
1.
(1)极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧_________，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
f′(x)＜0
f′(x)＞0
极值点与极值的概念
极值与单调性一样，都是函数的局部性质
(2)极大值点与极大值
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧_________，右侧__________，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.__________、__________统称为极值点，________和________统称为极值.
f′(x)＞0
f′(x)＜0
极大值点
极小值点
极大值
极小值
2.求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是________；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________.
极大值
极小值
拓展深化
[微判断]
1.导数为0的点一定是极值点.( )
提示 反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
2.函数的极大值一定大于极小值.( )
提示 反例：如图所示：
×
×
极大值f(x1)小于极小值f(x2).
3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.( )
提示 反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.
×
[微训练]
1.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有( )
A.两个极大值，一个极小值
B.两个极大值，无极小值
C.一个极大值，一个极小值
D.一个极大值，两个极小值
解析 由图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x1<0，x2＝0，x3>0，当x0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x10，当x20，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；当x>x3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.
答案 C
[微思考]
1.对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的什么条件？
提示 必要不充分条件.
2.函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗？
提示 可以，如函数f(x)＝sin x，f(x)＝cos x在R上有无数多个极大值和极小值.
解 (1)∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，
∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 － 0 ＋
f(x) ? 2 ? 1 ?
∴当x＝1时，f(x)有极小值，为f(1)＝1，f(x)无极大值.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 3 ?
从表中可以看出，当x＝1时，函数f(x)有极小值，为f(1)＝3，f(x)无极大值.
规律方法 求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
【训练1】 求函数f(x)＝x2e－x的极值.
解 函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 0 ? 4e－2 ?
因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)取得极大值，
解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
分以下两种情况讨论：
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
规律方法 讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2是否相等入手进行.
【训练2】 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值.
∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,
∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0.
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;
∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
题型三 利用函数极值确定参数的值
【例3】 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. ③
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.
【训练3】 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
一、素养落地
1.通过学习极值与极值点的概念，培养数学抽象素养，通过学习求函数的极值以及利用函数的极值求参数，提升数学运算素养.
2.函数的极值是函数的局部性质，可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反，所以求函数的极值时要严格按其步骤进行.
3.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
二、素养训练
1.下列函数中存在极值的是( )
解析 对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.
在区间(－∞，0)上，y′>0；
在区间(0，＋∞)上，y′<0.
故x＝0为函数y＝x－ex的极大值点.
答案 B
2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
解析 根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.
答案 D
3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A.(－1，2) B.(－3，6)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0， 解得a>6或a<－3.
答案 D
4.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.
5.设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________.
解析 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
所以a＝9，经验证此时Δ>0，符合题意.
答案 9(共32张PPT)
第二课时 函数的最大(小)值
课标要求 素养要求
1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升学生的数学运算和直观想象素养.
新知探究
观察如图所示的函数y＝f(x)，x∈[－3，2]的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题：
问题1 图中所示函数最值点与最值分别是什么？
提示 最大值点是x＝2，最大值是3；
最小值点是x＝0，最小值是－3.
问题2 图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
提示 极大值点是x＝－2，极大值是2；
极小值点是x＝0，极小值是－3.
问题3 一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系？
提示 函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值.
1.
(1)函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在_____处或_______处取得.
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的______.
②将函数y＝f(x)的各极值与________的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________.
端点
极值点
极值
端点处
最大值
函数的最大值与最小值最多只有一个，极大值与极小值则可能有多个
函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
最小值
2.最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
拓展深化
[微判断]
1.函数的最大值不一定是函数的极大值.( )
2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.( )
提示 也可能在极值点处取到.
3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( )
提示 有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值.
√
×
×
4.函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.( )
√
[微训练]
1.连续函数y＝f(x)在[a，b]上( )
A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值
解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值.
答案 D
[微思考]
1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A，则A中的元素个数可能是多少？
提示 可能为0，1，2.
2.在开区间内的连续函数f(x)在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最值点吗？
提示 是.
题型一 求函数的最值
【例1】 求下列各函数的最值.
解 (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上为增函数.
故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
规律方法 求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.
【训练1】 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数.
解 (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 (2，4) 4
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －37 ↗ 极大值3 ↘ 极小值－5 ↗ 35
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数.
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0.
题型二 含参数的函数的最值问题
【例2】 已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.
规律方法 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
【训练2】 已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值.
解 f′(x)＝3x2－2ax.
题型三 由函数的最值求参数问题
【例3】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]时，f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾.
∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
(1)当a>0时，列表如下：
x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －7a＋b ? b ? －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值.
∴f(0)＝3，即b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－29，∴b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
规律方法 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
【训练3】 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ? 28 ? －4 ?
当x＝－3时，取极大值28；
当x＝1时，取极小值－4.
而h(2)＝3所以k的取值范围为(－∞，－3].
一、素养落地
1.通过学习函数最值的概念及求解方法，培养数学抽象和数学运算素养.
2.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.
3.已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论.
二、素养训练
1.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
答案 D
答案 C
3.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A.20 B.18 C.3 D.0
解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3，2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.
答案 A
4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
答案 －71
5.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.
即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.
f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，
∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
答案 －4
