泉州市两校2021-2022学年高二下学期期中联考
数学试卷答案
1-8 DACD CABD 9.BC 10.ABD 11.BCD 12.BD 13.15 14.[－5,5] 15.420 16.
17.【解析】设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”.................1分
“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB。
从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，
试验的样本空间包含20个等可能的样本点，即..................2分
因为，....................................................3分
所以...............................................5分
显然，........................................................8分
利用条件概率公式，得..............................10分
【解析】（1）依题意得：....................................2分
.....................................................3分
，，又
.............................................................5分
（2）由（1）知，................................................6分
相减得：............................9分
..........................................11分
整理得：..................................................12分
19. （1）证明：分别取的中点，连接，
设，则，.....1分
，..................2分
又平面平面，平面平面平面，
平面，..........................................................3分
同理可证平面，，......................................4分
又因为，所以四边形是平行四边形，，.........5分
又平面平面，平面；.....................6分
（2）如图，取的中点为，则，
以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
则，.............8分
设平面的一个法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为...................................9分
设平面的一个法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，..............................10分
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为..................................12分
20.【解析】（1）由题意得，随机变量X可取的值为1，2，3，.......................1分
易知，.........................................................2分
，，............................................................3分
，，.............................................................4分
则随机变量X的分布列如下：....................................................5分
X 1 2 3
P 0.3 0.6 0.1
所以，......................................6分
（2）由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1，
记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为，
若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则；，...........7分
若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“”、“”的情形，
则；................................................9分
若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，
有“”、“”的情形，则；，...........................................11分
记“参与者能够领取纪念品”为事件A，则
．，..............12分
21.【解答】解：（1）因为双曲线的离心率为2，所以，...1分
因为点在双曲线上，可得...........................................2分
两式联立，解得，，....................................................3分
所以的方程为；.......................................................4分
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，
联立可得，
△，即，............................................5分
，，
，，，
因为，所以，.............................6分
，
，
，
或，..............................................................7分
当时，直线的方程为，
即，此时直线过点，不符合题意，舍去；.................................8分
当时，直线的方程为，即，此时直线过定点，..9分
因为，所以点在以为直径的圆上，
所以为的中点，即时，.......................................................10分
为定值；......................................................................11分
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，
且，即，
因为，所以，
解得（舍或，
所以，此时为定值．
综上所述，存在点，使得为定值，且该定值为．...........................12分
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若函数有三个极值点，，，且．证明：．
【解答】解：（1）当时，，则，.................1分
，....2分
则，..........................................................................3分
所以曲线在，处的切线方程为：，
即；........................................................................4分
（2）由，定义域为，
则，...........................................5分
由题意知，有3个根，则，..............................................6分
方程有2个根，，
即有两个交点，
令，则，
当时，恒成立，所以单调递增，
当时，恒成立，所以单调递减，
作出，如图所示的图像，
由图可知，当时，函数与的图像有两个交点，.....................8分
横坐标分别为，，且，
要证明，即证，即证，.............................9分
因为，，可得，可得，.........................10分
即，由对数平均表达式可得，（没证明直接用扣1分）
（要证
只需证
令，则只需证即证，构造函数可证）
即，所以，
故，
所以可证得．.........................................................12分泉州市两校2021-2022学年高二下学期期中联考
数学试卷
考试时间 ：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 ( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①④
2.已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝( )
A． B． C． D．
3.设等差数列的前项和为，若，则
A．4 B．17 C．68 D．136
4.下列说法中正确的是( )
A．已知随机变量服从二项分布，则
B．“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件
C．已知随机变量的方差为，则
D．已知随机变量的分布列为, ，则＝
5.已知函数，以下结论中错误的是( )
A．是偶函数 B．有无数个零点 C．的最小值为 D．的最大值为1
6.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则的值是( )
A． B． C． D．
7.莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，
如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包
含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成60°角的次数是( )
A．2 B． 4 C．6 D．8
8.已知且，则( )
A． B． C． D．
选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
10.在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) ( )
参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σP(μ－3σA．年级平均成绩为82.5分
B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等
C．成绩不超过77分的人数少于150
D．超过98分的人数为1
11.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各
数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为
1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项正确的是( )
A．在第9条斜线上，各数之和为55
B．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第条斜线上，共有个数
D．在第11条斜线上，最大的数是
12.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点在
椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，|QF1|＋|QP|的最大值为
C．存在点Q使得·＝0 D．＋的最小值为1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.在的展开式中的常数项为_________．
14.已知在上单调递减，则的取值范围为_________．
15.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻
区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着
色方法共有________种(以数字作答)．
16.已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，点在底面内，若，则的最小值为_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．第17小题满分10分，其他小题满分12分.）
17.（本小题10分）
在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回。求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率。
18.（本小题12分）
已知数列是等比数列，公比，且是的等差中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19.（本小题12分）
如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20.（本小题12分）
2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．
（1）求随机变量X的分布列及数学期望；
（2）若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．
21.（本小题12分）
已知双曲线的离心率为2，且过点．
（1）求的方程；
（2）若点，在上，且，，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
22.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有三个极值点且证明：．
