北师大版八年级数学下册同步练习第1章 三角形的证明复习题（word版 含解析）

北师大版八年级数学下册同步练习 第1章 三角形的证明 复习题
一、单选题
1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．120°或60°
2．下列结论正确的是（ ）．
A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形
C．直角三角形是轴对称图形 D．直角三角形必有一个角是30度
3．如图，在中，，是的角平分线，若，则点到边的距离为（ ）
A．3 B． C．2 D．3
4．下列条件：（1）∠A＝90°﹣∠B，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝2∠B＝3∠C，④AB：BC：AC＝3：4：5，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．将含有30°的三角板ABC按如图所示放置，点A在直线DE上，其中∠BAD＝15°，分别过点B，C作直线DE的平行线FG，HI，点B到直线DE，HI的距离分别为h1，h2，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
6．如图，地面上有三条公路，，，要想在修建一个加油站方便三条公路上的车辆加油（到、、三条公路的距离相等），应该把加油站修建在（ ）
A．三边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，若DE=CD，AB=8cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．8cm C．10cm D．14cm
8．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90° ，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
10．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=4cm，AB=5cm，则△EBC的周长为（　　　）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
11．下列关于函数的描述，正确的是（ ）
A．无论x取何值，y的值都小于0 B．图象经过第一、三象限
C．y的值随x值的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大
12．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
二、填空题
13．三角形中至少有一个角不小于________度．
14．如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点．若∠P=30°，⊙O的半径为1，则PB的长为______________．
15．如图，在ABC中，∠CAB的平分线AD交BC于D，DE垂直平分AB，E为垂足，若∠C＝90°，则∠B＝_____°．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心、大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点D和点E，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC=3，CG=2，则CF的长为______．
17．如图，在扇形OAB中，点C在 上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为 _____．
18．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．
三、解答题
19．在△ABC中，∠ACB＝90°．现给出以下3个关系：①CD垂直于AB，②BE平分∠ABC，③∠CFE＝∠CEF，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
20．如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE交AD于点F，AG ⊥BE，垂足为点H，交BC于点G．
（1）求证：△FBD≌△AGD；
（2）求证：BD = AF + DG．
21．如图，E，F，M，N分别是正方形四条边上的点，且．试判断四边形是什么图形，并证明你的结论．
22．阅读与思考
如图是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日错题积累 在中，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交于点E，F． … 【自勉】 读书使人头脑充实，讨论使人明辨是非，做笔记则能使知识精确． ——培根
任务：
(1)使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：与相切于点D；
(3)若，则劣弧的长为_______．
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
借助分类讨论的数学思想，分别画出两个图形：如图1，求出顶角为30°；如图2，求出顶角为150°．
【详解】
解：如图1，AB=AC，BD⊥AC，
∵∠ABD=60°，
∴顶角∠A=90°-60°=30°；
如图2，AB=AC，CD⊥AB交BA的延长线于点D；
∵∠DCA=60°，
∴∠DAC=30°，∠BAC=150°，
综上所述，这个等腰三角形的顶角为30°或150°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形、等边三角形、直角三角形概念和定义对选项进行逐一判断．
【详解】
A项：等边一定等腰，等腰不一定等边，故A不符题意；
B项：等边三角形任意两条边两两相等，故B符合题意；
C项：直角三角形不一定轴对称，等腰直角三角形才是轴对称图形，故C不符题意；
D项：直角三角形必有一个角是90°，而不是30°，故D不符题意．
故选B
【点睛】
本题考查等边、等腰、直角三角形的特征性质，掌握他们的性质特征是解题关键．
3．A
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质即可知点D到AB边的距离等于CD长，即可选择．
【详解】
∵AD是的角平分线，
∴点D到AB边的距离等于CD=3．
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质．熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【详解】
解：①∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15°，
∴∠C＝15°×5＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；
③∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴
∴，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形；
④∵AB：BC：AC＝3：4：5，
设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①④共2个，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
5．B
【解析】
【分析】
设CE交FG于点M，由∠DAC＝∠BAD+∠CAB＝45°，得三角形BCM为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC长为x，则MAx﹣x，然后由平行线分线段成比例即可求得答案．
【详解】
解：设CE交FG于点M，
∵∠CAB＝30°，∠BAD＝15°，
∴∠DAC＝∠BAD+∠CAB＝45°，
∵FG∥DE，
∴∠CMB＝∠DAC＝45°，
∴三角形BCM为等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，设BC长为x，则CM＝BC＝x，
∵∠CAB＝30°，
∴CABCx，
∴MAx﹣x，
∵HI∥FG∥DE，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，含特殊角直角三角形的性质及平行线分线段成比例，解题关键是掌握含特殊角的直角三角形的边长比．
6．B
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解题．
【详解】
如图，OB、OA、OC分别是三个内角的角平分线，
过点O分别作
故选：B．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．B
【解析】
【分析】
因为DE和CD相等，DE⊥AB，∠C=90°，所以AD平分CAB，可证得△ACD≌△AED，得到AC=AE，再根据△BDE为等腰直角三角形得出DE=BE，从而可得△DEB的周长.
【详解】
解：∵∠C=90°，DE⊥AB，DE=CD，
∴∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，
又∵∠AED=90°，∠B=45°，
可得△EDB为等腰直角三角形，DE=EB=CD，
∴△DEB的周长=DE+ BE +DB
=CD+DB+ BE
=CB+ BE
=AC+BE
=AE+BE
=AB
=8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△BED的周长=AB是解题的关键．
8．D
【解析】
【分析】
利用AAS证明△CDE≌△BDF，可判断①④正确；再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，可判断②正确；由∠BAC＝∠EDF，∠FDE＝∠BDC，可判断③正确．
【详解】
解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，∠DFB＝∠DEC＝90°，
∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠FDB＝∠EDC，
在△CDE与△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（AAS），
故①正确；
∴CE＝BF，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，
故②正确；
∵∠DFA＝∠DEA＝90°，
∴∠EDF+∠FAE＝180°，
∵∠BAC+∠FAE＝180°，
∴∠FDE＝∠BAC，
∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC，
故③正确；
∵∠FAE是△ABC的外角，
∴2∠DAF＝∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠DBC+∠ACB，
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠ABD＝∠DCE，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴2∠DAF＝∠DCE+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB＝2∠DBC，
∴∠DAF＝∠CBD，
故④正确
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，外角的性质等，熟悉掌握全等三角形的判定方法，灵活寻找条件是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵∠C=90°，
∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE=BD，
∵BC=3，
∴CD=DE=1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．
【详解】
解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴AE+BE=CE+BE=AB=5cm，
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=5+4=9（cm）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键．
11．C
【解析】
【分析】
根据正比例函数的图象与性质逐项进行判断即可得解.
【详解】
A.当x=0时，y=0，故选项A错误；
B.∵m≠0，
∴-m2＜0
∴函数图象经过第二、四象限，故选项B错误；
C.∵-m2＜0
∴y的值随x值的增大而减小，故选项C正确；
D. ∵-m2＜0
∴y的值随x值的增大而减小，故选项D错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数的性质，熟练运用正比例函数的性质解决问题是本题的关键．
12．D
【解析】
【分析】
根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】
解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v的值为：4÷2=2cm/s；
②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=．
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
13．60
【解析】
【分析】
反证法证明即可．
【详解】
假设中没有一个角不小于，
即
则
这与三角形内角和定理矛盾
所以，假设不成立，则一个三角形中，至少有一个角不小于60度．
故答案为60．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，反证法的证明，理解三角形内角和定理和反证法的证明是解题的关键．
14．1
【解析】
【分析】
连接OC，根据切线的性质得到∠OCP=90°，再根据30°所对的直角边是斜边的一半计算即可；
【详解】
如图，连接OC，
∵PC是⊙OD的切线，
∴OC⊥CP，即∠OCP=90°，
又∠P=30°，⊙O的半径为1，
∴OP=2CO=2，
∴PB=2-1=1．
故答案是1．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
15．30
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义得出∠CAD=∠DAB,再由DE垂直平分AB得出AD=BD,故∠DAB=∠B,再根据DE=DC可知∠C=90°,再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：∵∠CAB的平分线AD交BC于D，
∴∠CAD＝∠DAB．
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B，
∴∠CDA＝∠DAB＝∠B．
∵∠C＝90°，
∴∠CDA+∠DAB+∠B＝90°，即3∠B＝90°，解得∠B＝30°．
故答案为：30．
【点睛】
本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质，掌握角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键．
16．2.5
【解析】
【分析】
由作图可知，DF垂直平分线段BC，推出CF=BF，利用勾股定理求出BF即可解决问题．
【详解】
解：由作图可知，DF垂直平分线段BC，
∴CG=GB=2，DF⊥BC，FC=FB，
∴∠FGB=∠ACB=90°，
∴FD∥AC
∴
∴AF=FB，
∴GF=AC=，
∴FB=2.5，
∴FC=FB=2.5，
故答案为2.5．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理、平行线分线段成比例等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．
【解析】
【分析】
连接OC，过点C作于点M，由勾股定理可得，利用角所对直角边是斜边的一半可得，，根据三角形面积公式及扇形面积公式分别求出、、、，再计算即可求解．
【详解】
解：连接OC，过点C作于点M，如图所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，于点D，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查不规则图形的面积及扇形面积公式，勾股定理解三角形，圆周角定理，角所对直角边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线，利用分割法求解．
18．9．
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】
在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
19．①②作为条件，③作为结论，证明见解析
【解析】
【分析】
结合题意，得∠CDA＝∠ACB＝90°，根据直角三角形两锐角互余的性质，得∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，根据角平分线性质，计算得∠EBC＝∠EBA，根据三角形外角的性质，通过计算得∠CFE＝∠CEF，即可得到答案．
【详解】
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，
∴∠BCF＝∠A，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠EBA，
∵∠CFE＝∠BCF+∠EBC，∠BEC＝∠A+∠EBA，
∴∠CFE＝∠CEF
∴①②作为条件，③作为结论成立．
【点睛】
本题考查了直角三角形、角平分线、三角形外角、命题的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，从而完成求解．
20．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意得，根据得，AD=BD=DC，根据得，根据ASA即可证明；
（2）根据得，根据ASA证明，得AF=GC，则AF+DG=GC+DG=DC，即可得BD=AF+DG．
【详解】
解：（1）∵BA=AC，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴AD=BD=DC，
∵，
∴，
∴，
,
∵，
∴
在和中，
∴（ASA）
（2）∵，
∴，
∴，
，
∴，
在和中，
∴（ASA），
∴AF=CG，BF=AG，
∴AF+DG=GC+DG=DC，
∵BD=DC，
∴BD=AF+DG．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
21．正方形，证明见解析
【解析】
【分析】
利用正方形的性质，可得四条边相等，四个角相等，根据已知条件及等式的性质，可得，利用条件即可证明，由全等三角形的性质可得，证明四边形EFMN为菱形，再利用直角三角形的性质及全等三角形的对应角相等，可得，根据正方形的判定定理（有一个角是直角的菱形是正方形）即可证明结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
同理可证：，
∴，
∴四边形EFMN为菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形EFMN为正方形．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质及判定定理，同时还涉及到三角形全等的判定及性质，熟练运用正方形的判定定理是解题关键．
22．(1)作图见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题目要求，尺规作图补全图形即可；
（2）连接，由为的角平分线得到，又，得到，从而，再结合得到，从而得证；
（3）利用条件求出劣弧的对应的圆心角度数，根据特殊角的三角函数求出圆的半径长，利用弧长公式求解即可．
(1)
解：作出的角平分线，如图所示：
(2)
证明：连接，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴ ，
又∵，
∴，
∴，
又∵经过点D，
∴与相切于点D；
(3)
解：在中，，
，
，
∵为的角平分线，
，
在中，，
，
，
由（2）知，
，，
劣弧的长为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查尺规作图、圆的切线及圆有关的计算，解题的关键是掌握基本尺规作图及圆切线的判定．