北师大版八年级数学下册同步练习第4章因式分解复习题（word版 含解析）

北师大版八年级数学下册同步练习 第4章 因式分解 复习题
一、单选题
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各式的分解因式中，没有用到公式法的是（　　）
A． B．
C． D．
5．把多项式3(x－y)－2(y－x)2分解因式结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则的值为（　　　）
A．2 B． C．5 D．
7．分解8a3b2-12ab3c时应提取的公因式是（　　）
A．2ab2 B．4ab C．ab2 D．4ab2
8．多项式与多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
9．分解因式结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若，且，则___．
12．观察下列各式及其展开式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
…
根据其中的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中第四项的系数是__
13．已知x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值等于2，则_______．
14．计算：20212﹣20202＝_____．
15．如果把多项式分解因式得，那么______．
16．已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC一定是_____三角形．
17．如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是______________.
三、解答题
18．分解因式
（1）y2-8y+16
（2）b2（a-b）-4（a-b）
（3）x2-y2-z2-2yz
（4）5x2+17x-12
19．把下列各式因式分解：
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）．
20．计算：（1）（2x＋3y）（2x﹣3y）﹣（x﹣2y）（4x＋y）
（2）（x﹣3）（3x﹣4）﹣（x﹣2）2
21．仔细阅读下面的例题，解答问题：
例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
解得
∴另一个因式为的值为．
仿照以上方法解答问题：
（1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值；
（2）若二次三项式可分解为，求的值；
（3）若二次三项式可分解为，求的值．
22．用提公因式法分解因式．
（1）4x2－ 4xy＋8xz ；
（2）6x4－ 4x3＋2x2 ；
（3）6m2n－15mn2＋30m3n ；
（4）（a＋b）－（a＋b）2 ；
（5）x（x－y）＋y （y－x） ；
（6）（m＋n）2－2（m＋n） ．
23．观察下列各式：，，；判断是否任意四个连续正整数之积与1的和都是某个正整数的平方，并说明理由．
24．我们规定：若实数a与b的平方差等于80，则称实数对在平面直角坐标系中对应的点为“双曲点”；若实数a与b的平方差等于0，则称实数对在平面直角坐标系中对应的点为“十字点”．
(1)若为“双曲点”，则a，b应满足的等量关系为______；
(2)在点，，，中，是“双曲点”的有______；
(3)若点是“双曲点”，求k的值；
(4)若点为“十字点”，点是“双曲点”，求x，y的值．
25．我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了．请仿照这种方法化简：，．
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
先因式分解，再约分即可．
【详解】
解：，
=，
=．
故选择C．
【点睛】
本题考查分式的乘法，掌握分式的乘法运算一般先因式分解，再约分互为最简分式是解题关键．
2．C
【解析】
【分析】
先提公因式，进而根据平方差公式因式分解即可．
【详解】
故选C．
【点睛】
本题考查了综合运用提公因式和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．
【详解】
解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误；
B、是因式分解，选项正确；
C、，选项错误；
D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．
4．B
【解析】
【分析】
根据平方差公式，完全平方公式，可得答案．
【详解】
解：A、提公因式法，完全平方公式，故A正确；
B、提公因式法，故B没有用到；
C、提公因式法，平方差公式，故C正确；
D、完全平方公式，故D正确；
故选B．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟记公式法是解题关键．
5．B
【解析】
【分析】
提取公因式，即可进行因式分解．
【详解】
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的问题，掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出答案．
【详解】
解：，
∵，
∴m=-2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，能够灵活运用法则进行计算是解此题的关键．
7．D
【解析】
【详解】
提取公因式时：系数取最大公约数；字母取相同字母的最低次幂．
8．A
【解析】
【分析】
分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式是．
【详解】
解：∵
又∵
∴多项式与多项式的公因式是．
故选A．
【点睛】
本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式．
9．A
【解析】
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可得出结论．
【详解】
解：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法及步骤是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
根据因式分解的步骤，先提公因式，再用公式法分解，即可求得答案．注意分解要彻底．
【详解】
解：A、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．
11．2
【解析】
【分析】
将m2 n2 利用平方差公式变形，将m-n=3代入计算即可求出m+n的值．
【详解】
解：∵m2-n2=（m+n）（m-n）=6，且m-n=3，
∴m+n=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查利用平方差公式因式分解，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
12．35
【解析】
【分析】
利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）7的展开式中第四项的系数．
【详解】
解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
依据规律可得到：
（a+b）5的系数为1，5，10，10，5，1，
（a+b）6的系数为1，6，15，20，15，6，1，
（a+b）7的系数为1，7，21，35，35，21，7，1．
所以（a+b）7的展开式中第四项的系数是35，
故答案为：35．
【点睛】
本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式，注意各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
13．2或6
【解析】
【分析】
根据相反数的性质，倒数的性质，绝对值的意义，分别求得的值，再代入代数式求解即可．
【详解】
x，y互为相反数，m，n互为倒数，a的绝对值等于2，
，
，
当时，原式，
当时，原式．
故答案为：2或6．
【点睛】
本题考查了代数式求值，相反数的性质，倒数的性质，绝对值的意义，掌握以上性质和意义是解题的关键．
14．4041
【解析】
【分析】
由平方差公式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】
解：；
故答案为：4041．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握平方差公式进行化简．
15．-20.
【解析】
【分析】
直接利用多项式乘以多项式法则进行计算，进而去括号，合并同类项，从而求解．
【详解】
解：
由题意可得： ，
解得
故答案为：-20.
【点睛】
本题考查多项式乘多项式的计算，掌握计算方法正确计算是本题的解题关键.
16．等腰
【解析】
【分析】
先把等式左边进行因式分解可化为(a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b），移项提取公因式可得（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，根据三角形三边之间的关系两边之和大于第三边，可得a﹣b＝0，即可得出答案．
【详解】
解：由a2﹣b2＝c（a﹣b），
（a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b），
（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵三角形两边之和大于第三边，即a+b＞c，
∴a+b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
即△ABC一定是等腰三角形．
故答案为：等腰．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边之间的关系及因式分解，合理利用因式分解进行计算是解决本题的关键．
17．a2-b2=（a+b）（a-b）．
【解析】
【详解】
试题分析：根据题意分别求得图1与图2中阴影部分的面积，由两图形阴影面积相等，即可求得答案．
试题解析：根据题意得：
图1中阴影部分的面积为：a2-b2；
图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b）．
∵两图形阴影面积相等，
∴可以得到的结论是：a2-b2=（a+b）（a-b）．
考点：平方差公式的几何背景．
18．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）直接运用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式（a-b），再运用平方差公式进行因式分解即可；
（3）原式后三项运用完全平方公式分解，最后运用平方差公式进行因式分解即可；
（4）直接运用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】
解：（1）y2-8y+16
=；
（2）b2（a-b）-4（a-b）
=；
=
（3）x2-y2-z2-2yz；
=
=；
=
（4）5x2+17x-12
=．
【点睛】
此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键．
19．（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．
【解析】
【分析】
（1）直接利用平方差公式进行分解即可；
（2）首先提公因式，再利用完全平方公式进行分解即可；
（3）直接利用平方差公式进行分解即可；
（4）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行分解即可；
（5）直接利用完全平方公式进行分解即可
（6）直接利用完全平方公式进行分解即可；
（7）利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行分解即可；
（8）直接利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
；
（7）原式
；
（8）原式
．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解，注意分解因式要彻底．
20．（1）7xy﹣7y2（2）2x2﹣9x+8
【解析】
【分析】
（1）根据整式的乘法运算法则及乘法公式即可化简求解；
（2）根据整式的乘法运算法则及乘法公式即可化简求解．
【详解】
(1)（2x+3y）（2x﹣3y）﹣（x﹣2y）（4x+y）
＝（2x）2﹣（3y）2﹣（4x2+xy﹣8xy﹣2y2）
＝4x2﹣9y2﹣4x2﹣xy+8xy+2y2
＝7xy﹣7y2．
(2)解：原式＝3x2﹣9x﹣4x+12﹣（x2﹣4x+4）
＝3x2﹣13x+12﹣x2+4x﹣4
＝2x2﹣9x+8．
【点睛】
此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是熟知其运算法则及公式的运用．
21．（1）另一个因式为的值为3；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）设另一个因式为（x+t），得2x2-5x+k=（2x-3）（x+t）=2x2+（2t-3）x-3t，可知2t-3=-5，k=-3t，继而求出t和k的值及另一个因式．
（2）将（x-2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；
（3）（2x-1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
【详解】
（1）设另一个因式为，得
，
则
解得
故另一个因式为的值为3．
（2），
解得．
（3），
．
【点睛】
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
22．（1）4x（x－y＋2z）；（2）2x2（3x2－2x＋1）；（3）3mn（2m－5n＋10m2）；（4）（a＋b）（1－a－b）；（5）＝（x－y）2；（6）（m＋n）（m＋n－2）
【解析】
略
23．是．理由见解析．
【解析】
【分析】
设最小的正整数为 则其它的三个整数依次为：再计算，再分解因式，即可得到答案.
【详解】
解：是．理由：
设最小的正整数为 则其它的三个整数依次为：
．
【点睛】
本题考查的是利用完全平方公式进行因式分解，掌握整体法分解因式是解题的关键.
24．(1)
(2)，
(3)
(4)或
【解析】
【分析】
（1）根据题干所给“双曲点”的定义可直接进行求解；
（2）根据“双曲点”的定义分别取验算即可；
（3）由题意易得，然后问题可求解；
（4）根据题意易得，然后进行求解即可．
(1)
解：由题意得：，
故答案为；
(2)
解：由题意得：
∵，
∴是“双曲点”的有，；
故答案为，；
(3)
解：∵点是“双曲点”，
∴，
解得：；
(4)
解：由点为“十字点”，点是“双曲点”可得：
，
解得：或．
【点睛】
本题主要考查平方差公式、实数及二元一次方程组的解法，解题的关键是理解“双曲点”和“十字点”的定义．
25．，．
【解析】
【分析】
先把各个分母有理化，再进行计算即可．
【详解】
解：=；
=．
【点睛】
本题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．