北师大版七年级数学下册同步练习第4章三角形复习题（word版 含解析）

北师大版七年级数学下册同步练习 第4章 三角形 复习题
一、单选题
1．如图，图中的三角形共有（ ）个．
A． B． C． D．
2．如图所示，具有稳定性的有（ ）
A．只有（1），（2） B．只有（3），（4） C．只有（2），（3） D．（1），（2），（3）
3．在三角形的①三条中线；②三条角平分线；③三条高中，一定相交于一点的是（　　）
A．①②③ B．② C．① D．①②
4．如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
5．如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，AD是角平分线，且，若，则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．52° D．58°
7．△ABC的三边分别为a，b，c，若a＝4，b＝2，c的长为偶数，则c＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．过正方形的中心作两条互相垂直的直线，则以这两条直线与正方形各边交点为顶点的四边形是（ ）
A．筝形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
9．如图，面积为1，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到，则的面积是（ ）
A．4 B．7 C．10 D．13
10．如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2020，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8
二、填空题
11．三角形按角分类可分为：________、______、________．
12．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，若AC＝5，BD＝3，则CD＝_______．
13．如图，，，求证：．
证明：∵_______
∴________=________．_______
在________和________中
____=____，____=____，____=____
∴________________．_______
∴________=________．_______
∴_______
14．相等的两条边AB和AC叫做___；另一条边BC叫做____；两腰所夹的角∠BAC叫做______；底边与腰的______∠ABC和∠ACB叫做_____．
15．在中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是______．
16．在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的2倍小15°，则该三角形中的最小角的度数为______．
17．在平面直角坐标系中，点，，作，使与全等，点C不与点A重合，则点C坐标为__________．
18．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB边上高为3．动点P从点A开始出发，以每秒3个单位长度的速度在射线AB上运动．连接CP，以CP为直角边向右作等腰Rt△CDP，使∠DCP＝90°，连接BD，设点P的运动时间为t秒．
（1）AB长度为 ___．
（2）当BP：BD＝1：2，且t＞2时，则t的值为 ___．
三、解答题
19．已知：如图，线段c和线段a．
求作：直角，使它的斜边，一条直角边．
20．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑（点D不与点B，C重合），连接EC．
①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　；
②求证：BD2+CD2＝2AD2．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝13，CD＝5，求AD2．
21．已知，ABC三条边的长分别为．
（1）若，当ABC为等腰三角形，求ABC的周长．
（2）化简：．
22．阅读与探究
我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．请结合上述阅读材料，解决下列问题：
在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是________ (任写一种即可)；
图1、图2均为的正方形网格，点均在格点上，请在图中标出格点，连接，使得四边形符合下列要求：图1中的四边形是勾股四边形，并且是轴对称图形；图2中的四边形是勾股四边形且对角线相等，但不是轴对称图形．
23．如图，O为□ABCD 的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形 请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．
24．如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接
(1)证明：；
(2)如图2，连接， 与相交于点
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？
25．在等边中，为上一点，，于点，交于点，求的度数．
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据图形及三角形的定义查找即可，注意以一条边为基础依次查找．
【详解】
根据图形依次查找可得：△ABE、△ABC、△BCE、△BCD、△DCE，共5个三角形，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；熟练掌握定义是解题关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性判断即可．
【详解】
由于四边形不具有稳定性，故（1）不具有稳定性；根据三角形的稳定性，图中具有稳定性的有（2），（3），而（4）虽然含有三角形，但右侧的四边形不具稳定性，所以整体也就不具稳定性．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性性质，四边形的不稳定性，无论是三角形的稳定性还是四边形的不稳定性，它们在生产生活中都有着广泛的应用．
3．D
【解析】
【分析】
三角形的三条中线和三条角平分线都在三角形的内部，锐角三角形的三条高在内部，钝角三角形有两条高在三角形的外部，直角三角形有两条高在边上，据此判断即可
【详解】
解：三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的；
锐角三角形或直角三角形的三条高线交于一点，而钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，高线指的是线段，故三角形的三条高，不一定相交于一点．
故选：D．
【点睛】
本题考查了对三角形的中线、角平分线和高的正确理解，属于基础知识题型，掌握基本知识是关键．
4．D
【解析】
【分析】
设AD与BF交于点M，要求∠DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的内角和定理求解，转化为求∠AMC的大小，再转化为在△ACM中求∠ACM即可得到结果．
【详解】
解：设AD与BF交于点M，
∵∠ACB＝105，
∴∠ACM＝180°﹣105°＝75°，
∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，
∴∠FMD＝∠AMC＝95°，
∴∠DFB＝180°﹣∠D﹣∠FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
【详解】
选项A，添加，
在和中，
，
∴≌（ASA），
选项B，添加，
在和中，，，，无法证明≌；
选项C，添加，
在和中，
，
∴≌（SAS）；
选项D，添加，
在和中，
，
∴≌（AAS）；
综上，只有选项B符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
根据角平分线性质求出∠DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可．
【详解】
解：∵AD是角平分线，，
∴∠DCA==30°，
∵AD=AC，
∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，
∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．
7．B
【解析】
【分析】
先根据三角形三边关系得出c的取值范围，然后根据c的长为偶数即可得出答案．
【详解】
解：∵△ABC的三边分别为a，b，c，a＝4，b＝2，
∴，即，
∵c的长为偶数，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
8．D
【解析】
【分析】
根据题意，画出图形，先证明△AOH≌△COF，得OH=OF，同理可得OE=OG，从而得到四边形EFGH是平行四边形，再由EG⊥HF，可得四边形EFGH是菱形，再证明△AOH≌△BOE，得到EG=HF，即可求解．
【详解】
解：根据题意，画出图形，如下图，AC、BD为正方形ABCD对角线，且交于点O，EG、HF过点O，且EG⊥HF，
在正方形ABCD中，AO=CO=BO=DO，∠OAH=∠OCF=∠OBA=45°，∠AOB=90°，
∵∠AOH=∠COF，
∴△AOH≌△COF，
∴OH=OF，
同理OE=OG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG⊥HF，
∴四边形EFGH是菱形，∠EOH=90°，
∴∠AOH=∠BOE，
∵AO=BO，∠OAH=∠OBA=45°，
∴△AOH≌△BOE，
∴OE=OH，
∴EG=HF，
∴四边形EFGH是正方形．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握正方形的性质和判定定理，全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
根据题意，连接A1C，得到，则，然后同理可求，，即可得到答案．
【详解】
解：连接A1C，如图
∵AB=A1B，
∴△ABC与△A1BC的面积相等，
∵△ABC面积为1，
∴．
∵BB1=2BC，
∴，
同理可得，，，
∴；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，三角形的中线问题，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．
10．D
【解析】
【分析】
由y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），结合函数图象观察整个函数图象得到每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，而2020＝12×168+4，由此即可计算．
【详解】
解：由y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），结合函数图象观察整个函数图象得到每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，
又∵2020＝12×168+4，
所以m的值等于x＝4时的纵坐标，
所以m＝﹣42+6×4＝8．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与几何变换，解决此题的关键在于能根据函数图象发现规律：m的值等于x＝4时的纵坐标．
11． 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
【解析】
略
12．2
【解析】
【分析】
首先根据同角的余角相等得到∠A＝∠BOD，然后利用AAS证明△ACO≌△ODB，根据全等三角形对应边相等得出AC＝OD＝5，OC＝BD＝3，根据线段之间的数量关系即可求出CD的长度．
【详解】
解：∵AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC＝OD＝5，OC＝BD＝3，
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，解题的关键是根据题意证明△ACO≌△ODB．
13． 已知 两直线平行，内错角相等 全等三角形对应角相等 内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
根据平行线的性质以及全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】
解：证明：∵（已知），
∴，（两直线平行，内错角相等）
在和中
，，，
∴．（）
∴，（全等三角形对应角相等）
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：已知；；；两直线平行，内错角相等；；；；；；；；；；；；；；全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟知性质定理是解本题的关键．
14． 腰 两边 顶角 夹角 底角
【解析】
略
15．
【解析】
【分析】
如图，延长至 使证明再利用三角形的三边关系可得答案.
【详解】
解：如图，延长至 使
是的中线，
而
而，，长为，
则
故答案为：
【点睛】
本题考查的是利用倍长中线法构建全等三角形求解三角形的中线的范围，三角形三边的关系，掌握以上知识是解题的关键.
16．35°
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可．
【详解】
由题意设一个锐角为x，则另一个为2x-15°，列方程得：
x+2x-15°=90°，
解得：x=35°；
故答案为：35°．
【点睛】
此题考查一元一次方程的应用，涉及到直角三角形两锐角互余的知识．
17．（-3，0），（-3，5），（3，5）
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定，画出图形即可解决问题．
【详解】
解：观察图形可知，满足条件的点C有3个，点C坐标为（-3，0），（-3，5），（3，5）．
故答案为：（-3，0），（-3，5），（3，5）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
18． 6 4
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）根据SAS证明△ACP与△CBD全等，利用全等三角形的性质解得即可．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB边上高为3，
∴AB＝3×2＝6，
故答案为：6；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵∠PCD＝90°，△DCP为等腰直角三角形，
∴CP＝CD，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，∠PCB+∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD，
在△ACP与△CBD中，
，
∴△ACP≌△CBD（SAS），
∴AP＝BD，
当BP：BD＝1：2时，当t＞2时，，
解得：t＝4，
故答案为：4．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
19．见解析
【解析】
【分析】
作直线MN⊥直线PQ于C点，在直线MN上截取BC＝a，以B为圆心，c的长为半径画弧，交直线PQ于A点，连接AB，△ABC就是所求．
【详解】
解：如图，即为所求．
【点睛】
此题主要考查的是作一条线段等于已知线段的作法以及直角三角形的作法，要灵活掌握．
20．（1）①BC＝DC+EC；②见解析；（2）72
【解析】
【分析】
（1）①证明△BAD≌△CAE，得出BD=CE，可得BC=DC+BD=DC+EC；②根据全等三角形的性质可得∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；
（2）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．
【详解】
（1）①解：BC＝DC+EC，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC，
∴BC＝DC+BD＝DC+EC；
故答案为：BC＝DC+EC；
②证明：∵Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，
又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
（2）解：如图2，过A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，
∴∠EDA=45°，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝13，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE＝＝＝12，
∵∠DAE＝90°，
∴AD2+AE2＝DE2，
∵AE＝AD，
∴AD2＝＝72．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识；本题难度适中，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（1）△ABC的周长为10；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出三角形周长；
（2）根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴a-2=0，b-4=0，
∴a=2，b=4，
∵△ABC为等腰三角形，
当2为腰时，则三边为2，2，4，
而2+2<4，不能组成三角形，舍去；
当2为底时，则三边为2，4，4，
而2+4>4，能组成三角形，
∴△ABC的周长为2+4+4=10；
（2）∵△ABC三条边的长分别为a、b、c，
∴，，，
即，，
∴
．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，以及绝对值的计算，第(2)问的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
22．（1）矩形，正方形(任写一种即可)；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案；
（2）根据要求分别得出符合题意的图形．
【详解】
（1）矩形，正方形（任写一种即可）；
（2）
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换，正确把握定义是解题关键．
23．（1）有4对全等三角形．分别为，，，；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）有4对全等三角形，分别为，，，；利用平行四边形的性质，可证得；；再由OE=OF，可证得；，即可求解；
（2）先证得，可得，再根据平行四边形的性质，可得，即可求证．
【详解】
解：（1）有4对全等三角形，分别为，，，；证明如下：
在 中，
∴ ，
∵O为□ABCD 的对角线AC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴；
∵OE=OF， ， ，
∴；
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴；
在 中，
，
∵ ，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)①见解析；②当的长度为2或 时，为等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）根据线段绕点A逆时针方向旋转90°得到，得AD=AN，∠DAN=90°，△ABC是等腰直角三角，∠BAD=90°-∠CAD＝∠CAN，即可得证；
（2）①证明（SAS ），即可得证；②分三种情况求解即可．
(1)
证明：∵线段绕点A逆时针方向旋转90°得到，
∴AD=AN，∠DAN=90°
∵△ABC等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB=AC，
∴∠BAD=90°-∠CAD＝∠CAN
在和中

∴（SAS）
(2)
证明：①∵△ABC等腰直角三角形，AB=AC，点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AE=AF，是等腰直角三角形，
∴∠AFE=∠AED=45°
在和中
∴（SAS ）
∴∠AFN=∠AED=45°，
∴∠DFN=∠AFN+∠AFE=45°+45°=90°，
∴
②∵，点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AE=AF= ，且∠ANM=45°
要使为等腰三角形，分3种情况：
（ⅰ）当∠ANM=∠MAN=45°时，如图3，
则∠DAF=90°-∠MAN =90°-45°=45°，
∴AD平分∠EAF，
∴点D是EF的中点，
∴ED；
（ⅱ）当∠MAN=∠NMA时，
如图4，
则∠MAN=∠NMA=（180°-∠ANM）÷2=（180°-45°）÷2=67.5°，即∠MAN=∠NMA=67.5°,
∴ ∠EAD=∠MAN=67.5°，
∴∠EDA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠EAD=∠EDA，
∴ED=EA= ；
（ⅲ）当∠ANM=∠AMN=45°时，此时，点D与点F重合，如图5，
不符合题意，故舍去.
综上所述：当的长度为2或 时，为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论的应用．
25．60°
【解析】
【分析】
由题意利用等边三角形性质以及全等三角形的判定与性质进行分析即可．
【详解】
解：如图所示，
为等边三角形，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
为的外角，
，
则．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．