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第五章 分式与分式方程
【基础评测】
一、单选题
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分式的分子分母若没有公因式，这样的分式叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可．
【详解】
A选项是最简分式，故正确；
B选项分子分母有公因式5，不是最简分式，故不正确；
C选项分子分母有公因式a，不是最简分式，故不正确；
D选项分子分母有公因式a+b，不是最简分式，故不正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了最简分式的概念，当分式的分子分母是多项式时，要分别分解因式，再判断有无公因式．
2．下列各式中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进行解答即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
，的分母中不含有字母，属于整式，
是方程，不是分式，
的分母中含有字母，属于分式，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选： C．
【点睛】
此题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
3．下列各式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据分式的定义对各选项分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、是整式，故此选项不符合题意；
B、是整式，故此选项不符合题意；
C、是整式，故此选项不符合题意；
D、是分式，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了分式的判断，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
4．要使分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠1 B．x≠－1 C．x≠0 D．x＞1
【答案】A
【分析】
根据分式有意义的条件计算即可；
【详解】
∵分式有意义，
∴，
解得：；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，准确计算是解题的关键．
5．下列各式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式， ( http: / / www.21cnjy.com )不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】
解：A、原式=-1，不是最简分式，不符合题意；
B、原式=，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、原式=，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题所要考查的知识点是最简分式的概念．判断一个分式是否是最简分式，关键是看它的分子与分母之间是否存在公因式．www-2-1-cnjy-com
6．若分式的值为0，则的值应为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】
根据分子为零，分母不为0，即可求出x的值．
【详解】
解：由分式的值为零的条件得x﹣1＝0，且x+3≠0，
解得：x＝1．
故选C．
【点睛】
本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
7．如果分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于零，从而得到．
【详解】
∵分式有意义，
∴，即．
故选：B
【点睛】
本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义时，分式的分母不为零是解题的关键．
8．2020年6月23日，我国成 ( http: / / www.21cnjy.com )功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．将数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】
解：0. 0000000099用科学记数法表示为．
故选：C．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数 ( http: / / www.21cnjy.com )法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【来源：21cnj*y.co*m】
9．数据0.001239用科学计数记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a× ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.001239=1.239×
故答案为：A．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a× 其中0≤≤10 ，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【出处：21教育名师】
10．下列各式中属于分式的是（ ）
A． B． C． D．4x
【答案】C
【分析】
判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：A、的分母中不含有字母，故不是分式，故选项A错误；
B、的分母中不含有字母，故不是分式，故选项B错误；
C、的分母中含有字母，故是分式，故选项C正确；
D、的分母中不含有字母，故不是分式，故选项D错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了分式的定义：如果A，B两个整式，并且B中含有字母，那么式子就叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．21教育网
11．《生物多样性公约》第十五次缔约方大 ( http: / / www.21cnjy.com )会，将于2021年在云南昆明举办，在多彩的生物界，科学家发现世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示是（ ）21*cnjy*com
A．7.6×10﹣7 B．7.6×10﹣8 C．7.6×10﹣9 D．7.6×108
【答案】B
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法 ( http: / / www.21cnjy.com )表示，一般形式为a×10﹣n，与绝对值大于10的数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.000000076＝7.6×10﹣8．
故选：B．
【点睛】
本题考查了用科学计数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学计数法法则是解题关键．
12．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【详解】
解：由题意，得
x2-1≠0，
解得x≠±1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
13．下列代数式中，是分式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据分式的定义，对照选项分析，分母中含有字母的是分式，分母中不含字母的是整式，对选项逐一验证即可．
【详解】
根据分式的定义，分式的分母中要含有字母，A、B、C都不符合题意，故排除；D中分母含有字母，满足要求，符合题意，21·cn·jy·com
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
14．若分式有意义，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由分式有意义的条件进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分是有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件进行解题．
15．使分式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．m＝3 D．
【答案】B
【分析】
利用分式有意义的条件可得m3≠0，再解不等式即可．
【详解】
解：由题意得：m3≠0，
解得：m≠3，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
16．式子，，，，中是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
，分母中含有字母，是分式．
分式有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
17．分式的值为0，则y的值是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．0
【答案】C
【分析】
令分子为0，分母不为0列关于y的方程求解．
【详解】
依题意得：|y|﹣5＝0，且y﹣5≠0．
解得y＝﹣5．
故选：C．
【点睛】
此题考查分式为0的条件．其关键是不能忽视分母不为0这一条件．
18．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．5或-5 B．-5 C．5 D．0
【答案】C
【分析】
根据分式的值为0的条件进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵分式的值为0，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的值为0的条件，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
19．分式可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将分式分母先因式分解，再约分，即可求解．
【详解】
解：原式=
=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的约分，涉及到因式分解，分式的约分，按运算顺序，先因式分解，再约分．
20．下列各式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分式的定义，对各项分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、是分式，故此选项符合题意；
B、是单项式，故此选项不符合题意；
C、是多项式，故此选项不符合题意；
D、是分数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了分式的定义，掌握分式的定义并能利用定义准确判断分式是解题的关键．
21．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】
先通过去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，求出参数m，即可．
【详解】
解：把原方程去分母得：，
∵原分式方程有增根：x=1，
∴，即：m=1，
故选B．
【点睛】
本题主要考查分式方程增根的意义，理解使分式方程的分母为零的根，是分式方程的增根，是解题的关键．
22．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】A
【分析】
根据分式的值为0的条件可直接进行求解．
【详解】
解：∵分式的值为0，
∴且，
解得：；
故选A．
【点睛】
本题主要考查分式的值为零，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
23．某微生物的直径为0.0000513，则数字0.0000513用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据科学记数法可直接进行求解．
【详解】
解：将数字0.0000513用科学记数法表示为；
故选D．
【点睛】
本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
24．若点在同一个正比例函数图象上，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】
设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），将A，B两点代入可计算ab的值，再将原式化简后代入即可求解．
【详解】
解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），
∵点A（-2，a），B（b，）都在该函数图象上，
∴a=-2k，bk=，
即k=a，
∴ab=，
∴ab=-3，
∴原式=，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象上点的特征，求解ab的值是解题的关键．
25．若关于x的分式方程有增根x＝﹣2，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．
【答案】A
【分析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的值，把增根代入化为整式方程的方程即可求得k．21世纪教育网版权所有
【详解】
方程两边同乘以，得：
∵原方程的增根为x＝﹣2，
∴把增根代入化为整式方程，得：
解得：
故选：A．
【点睛】
本题考查分式方程的解，解题的关键是 ( http: / / www.21cnjy.com )正确理解增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的值，将把增根代入化为整式方程的方程即可求得相关字母的值．2·1·c·n·j·y
26．运用分式的性质，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用分式的性质对各选项进行判断．
【详解】
A、，故本选项计算错误；
B、，故本选项计算错误；
C、，故本选项计算正确；
D、，故本选项计算错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质的应用：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．21*cnjy*com
27．某新能源环保汽车去年第 ( http: / / www.21cnjy.com )四季度销售总额为2000万元，由于受全球经济下行压力的影响，今年第一季度每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年第四季度相同，销售总额比去年第四季度减少20%，今年第一季度每辆车的销售价格是多少万元？设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，根据题意列方程为（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】B
【分析】
设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元， ( http: / / www.21cnjy.com )则去年第四季度每辆车的销售价格为（x＋1）万元，根据数量＝总价÷单价，结合今年第一季度的销售数量与去年第四季度销售量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，则去年第四季度每辆车的销售价格为（x＋1）万元，由题意得：
＝
故选：B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是正确解读题意，找准等量关系，列出分式方程．
28．下列式子：，，，，，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【详解】
解：，的分母中含有字母，属于分式，共有2个．
故选：．
【点睛】
本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意是常数，是解题的关键．
29．若分式值为0，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0，据此解答即可．
【详解】
解：根据题意得，，
解得：x=1，
故选：A．
【点睛】
要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
30．下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：A、，故A的值有变化．
B、，故B的值有变化．
C、，故C的值不变．
D、，故D的值有变化．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
31．为美化城市环境，计划种植树木10 ( http: / / www.21cnjy.com )万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木x万棵．可列方程是（ ）
A．+5＝ B．﹣＝5
C．﹣＝5 D．﹣＝5
【答案】C
【分析】
设原计划每天种植树木x万棵，则 ( http: / / www.21cnjy.com )实际每天种植树木（1+20%）x万棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
解：设原计划每天种植树木x万棵，则实际每天种植树木（1+20%）x万棵，
依题意得：-＝5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
32．分式与的最简公分母是（ ）
A．3y3 B．3y2 C．6 y3 D．6y2
【答案】D
【分析】
根据最简公分母的概念解答即可．
【详解】
解：2和3的最小公倍数是6，则分式与的最简公分母是6y2，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
33．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
通过去分母，去括号，移项合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．
【详解】
，
去分母得： ，
化简得：-6x=-1，
解得：x=，
经检验：x=是方程的解，
∴分式方程的解为：x=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键，注意分式方程的解要检验．
34．甲、乙两位教师在某学校门口给学生检测体温，已知每分钟甲比乙少检测8个学生，甲检测120个学生所用的时间与乙检测150个学生所用的时间相等，设甲每分钟检测个学生，下列方程正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设甲每分钟检测个学生，则乙每分钟检测（x+8）个学生，根据“甲检测120个学生所用的时间与乙检测150个学生所用的时间相等”即可列出方程．21cnjy.com
【详解】
解：设甲每分钟检测个学生，则乙每分钟检测（x+8）个学生，
由题意得 ．
故选：D
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，理解题目中的数量关系是解题关键．
35．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≤5 C．x≤5且x≠3 D．x＜5且x≠3
【答案】C
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件求解即可．
【详解】
解：
∴且，
∴自变量x的取值范围为且，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是关键．
36．下列变形从左到右一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用分式的基本性质逐一进行判断即可．
【详解】
A. 从左到右分子分母没有乘以同一个不为零的整式，故该选项错误；
B.从左到右分子分母没有乘以或除以同一个不为零的整式，故该选项错误；
C.分子分母同时除以一个不为零的整式，分式依然成立，故该选项正确；
D. 当时，则原变形错误，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
37．下列各式中，分式的个数有（ ）
、、、﹣、、2﹣．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式可得答案．
【详解】
解：、﹣、、2﹣是分式，共4个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的定义，解题关键是理解分式的定义，准确进行判断.
38．在2019年底，新型冠状病毒肺炎在全 ( http: / / www.21cnjy.com )球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件”．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在0.1微米左右，0.1微米等于0.000001米，数字0.000001用科学记数法表示为是（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据科学记数法的表示计算即可；
【详解】
；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了科学记数法的表示，准确计算是解题的关键．
39．若把分式中的和同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】D
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：∵，
∴把分式中的和同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，
故选：D．
【点睛】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
40．把分式的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．不确定
【答案】B
【分析】
依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】
解：分别用和去代换原分式中的和，
得，
可见新分式是原分式的倍．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住 ( http: / / www.21cnjy.com )分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
二、填空题
41．函数的自变量x的取值范围是__________．
【答案】x≥-2
【分析】
根据被开方数是非负数且分母不等等于零，可得答案．
【详解】
解：由题意，得
x+2≥0且x+3≠0，
解得x≥-2且x≠-3，
∴自变量x的取值范围是x≥-2，
故答案为：x≥-2．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
42．方程的根是______．
【答案】
【分析】
根据去分母把方程化为整式方程即可求解．
【详解】
解
去分母得
解得x=±3
∵分母x+3≠0，∴x≠-3
故x=3．
故答案为：x=3．
【点睛】
此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知分式方程的解法．
43．计算：=________．
【答案】
【分析】
先将分式分母通过变号变成同分母，再合并计算．
【详解】
解：，
=，
=，
=．
故答案为：
【点睛】
此题主要考察分式的加减，解题关键是通过变号把分式变成同分母，再准确计算．
44．使有意义的x的取值范围是____________．
【答案】且
【分析】
根据二次根式与分式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】
解：由有意义，可得：
且，
解得：且；
故答案为且．
【点睛】
本题主要考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式与分式有意义的条件是解题的关键．
45．若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为_____．
【答案】0.5或1.5
【分析】
直接解分式方程，再分类讨论当1 2a＝0时，当1 2a≠0时，分别得出答案．
【详解】
解：＝2a，
去分母得：x 2a＝2a（x 3），
整理得：（1 2a）x＝ 4a，
当1 2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；
当1 2a≠0时，x＝＝3时，分式方程无解，则a＝1.5，
则a的值为0.5或1.5．
故答案为：0.5或1.5．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
三、解答题
46．解方程：．
【答案】无解
【分析】
去分母化为整式方程，再求解．
【详解】
解：去分母得：，
去括号得：1+2x-4=x-1，
移项合并得：x=2，
经检验：x=2是原方程的增根，
故方程无解．
【点睛】
本题考查了分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法，同时注意检验．
47．计算：
【答案】0
【分析】
直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式=
=
=0
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
48．计算： ．
【答案】8
【分析】
根据绝对值、零次幂和负整数指数幂的性质进行计算即可得出答案．
【详解】
解：原式＝12﹣1﹣3＝8．
【点睛】
本题考查绝对值、指数幂、有理数加减运算，熟练掌握绝对值、零次幂和负整数指数幂的性质是解题关键．
49．（1）计算：（2﹣3）×；
（2）解方程：﹣＝．
【答案】（1）9；（2）原分式方程无解
【分析】
（1）根据二次根式的乘法和减法可以解答本题；
（2）根据解分式方程的方法可以解答此方程．
【详解】
解：（1）（2﹣3）×
＝2﹣3
＝12﹣3
＝9；
（2）﹣＝
方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），得
（x﹣2）2﹣（x+2）2＝16，
解得，x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
故原分式方程无解．
【点睛】
本题考查解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
50．计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）分式的非同分母加法计算需先确定公分母通分，然后分母不变，分子相加，整理约去分子和分母的公因式，即得到最简分式；【版权所有：21教育】
（2）先算括号内的，运用分式的加法法则把看成一个整体，通分成公分母为分式，然后运用分式的除法运算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，之后把分子和分母分别分解因式，约去公因式，即可得最简分式．21教育名师原创作品
【详解】
（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】
本题主要考查了分式的加法及混合运算，其中分母不同的分式的加法运算需先通分，分式的除法需把除数颠倒相乘，最后整理分解因式，约去公因式即可得．
51．计算下列各式：
（1）（﹣1）÷；（2）（﹣1）÷．
【答案】（1）1﹣x；（2）．
【分析】
(1)先计算括号内分式的减法，再计算除法即可得；
(2)先计算括号内分式的减法、除法转化为乘法，再约分即可得．
【详解】
解：（1）原式＝
＝1﹣x；
（2）原式＝(）
＝
＝．
【点睛】
本题考查分式方程的混合计算,关键在于熟练掌握分式方程的运算法则.
52．解方程：．
【答案】
【分析】
将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：
解得：
检验：当时，，所以是原方程的解
即原方程的解为
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
53．解方程：
【答案】，
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：
，
经检验：，是原方程的根
所以，原方程的根是，．
【点睛】
本题考查解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
54．解方程： +1．
【答案】x=1.2
【分析】
根据分式方程的解法去分母、移项、合并同类项、化系数为1，检验即可解答．
【详解】
解：去分母得：3=2x+3x﹣3，
移项合并得：5x=6，
解得：x=1.2
经检验x=1.2是分式方程的解．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，解出后要检验是否是增根．
55．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】
解：
=
=
=，
当时，原式===．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
56．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0；（2）
【分析】
（1）先计算乘方、绝对值、零指数幂、负整指数幂．再计算乘法运算，最后计算加减运算；
（2）先进行乘法运算，再进行加法运算即可．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数的混合运算，掌握乘方、绝对值、零指数幂、负整指数幂、积的乘方、幂的乘方的运算法则是解此题的关键．
57．（1）解方程：； （2）计算：
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】
解：（1）方程两边同时乘得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴分式方程的解为．
（2）
．
【点睛】
此题考查了解分式方程和分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式方程的解法和分式的运算法则是解题的关键，解分式方程注意要检验．
58．在近期“抗疫”期间，学 ( http: / / www.21cnjy.com )校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1元，且用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学 ( http: / / www.21cnjy.com )校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过6600元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【答案】（1）A：2.5元，B：1.5元；（2）1200个
【分析】
（1）设B型口罩的单价是x元 ( http: / / www.21cnjy.com )，则A型口罩的单价是（x+1）元，根据数量=总价÷单价，结合用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，根据总价=单价×数量，结合总价不超过6600元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1）元，
依题意可得：
解得：x=1.5，
经检验，x=1.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+1=2.5，
∴A型口罩的单价是2.5元，B型口罩的单价是1.5元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，
依题意得：，
解得：，
∴增加购买A型口罩的数量最多是1200个．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．www.21-cn-jy.com
59．先化简，再求值：，其中．
【答案】，当时， ．
【分析】
先因式分解同时把除变乘，在约分，再通分化简，再零指数幂与负指数幂求出的值，代入代数式计算即可．
【详解】
解：，
=，
=，
=，
，
当时，原式=．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，掌握零指数与负指数，分式化简求值的方法与步骤是解题关键．
60．（1）解不等式组： ，并将解集表示在数轴上；
（2）解方程：
【答案】（1）2＜x≤6，数轴表示见解析；（2）无解
【分析】
（1）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1），
∵解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤6，
∴不等式组的解集是2＜x≤6，
数轴表示如下：
（2），
去分母得：，
解得：，
经检验x=3是分式方程的增根，故无解．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握相应的解法．
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第五章 分式与分式方程
【基础评测】
一、单选题
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．要使分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠1 B．x≠－1 C．x≠0 D．x＞1
5．下列各式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
6．若分式的值为0，则的值应为（ ）
A． B． C．1 D．3
7．如果分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．2020年6月23日，我国成功发射了北 ( http: / / www.21cnjy.com )斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．将数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
9．数据0.001239用科学计数记作（ ）
A． B． C． D．
10．下列各式中属于分式的是（ ）
A． B． C． D．4x
11．《生物多样性公约》第十五次缔约方大 ( http: / / www.21cnjy.com )会，将于2021年在云南昆明举办，在多彩的生物界，科学家发现世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示是（ ）21cnjy.com
A．7.6×10﹣7 B．7.6×10﹣8 C．7.6×10﹣9 D．7.6×108
12．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．下列代数式中，是分式的为（ ）
A． B． C． D．
14．若分式有意义，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
15．使分式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．m＝3 D．
16．式子，，，，中是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．分式的值为0，则y的值是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．0
18．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．5或-5 B．-5 C．5 D．0
19．分式可化简为（ ）
A． B． C． D．
20．下列各式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
21．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
22．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．2 B． C． D．0
23．某微生物的直径为0.0000513，则数字0.0000513用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
24．若点在同一个正比例函数图象上，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
25．若关于x的分式方程有增根x＝﹣2，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．
26．运用分式的性质，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．某新能源环保汽车去年第 ( http: / / www.21cnjy.com )四季度销售总额为2000万元，由于受全球经济下行压力的影响，今年第一季度每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年第四季度相同，销售总额比去年第四季度减少20%，今年第一季度每辆车的销售价格是多少万元？设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，根据题意列方程为（ ）www.21-cn-jy.com
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
28．下列式子：，，，，，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
29．若分式值为0，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
30．下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ）
A． B． C． D．
31．为美化城市环境，计划种植树木10万棵， ( http: / / www.21cnjy.com )由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木x万棵．可列方程是（ ）2·1·c·n·j·y
A．+5＝ B．﹣＝5
C．﹣＝5 D．﹣＝5
32．分式与的最简公分母是（ ）
A．3y3 B．3y2 C．6 y3 D．6y2
33．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
34．甲、乙两位教师在某学校门口给学生检测体温，已知每分钟甲比乙少检测8个学生，甲检测120个学生所用的时间与乙检测150个学生所用的时间相等，设甲每分钟检测个学生，下列方程正确的是（ ）．
A． B． C． D．
35．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≤5 C．x≤5且x≠3 D．x＜5且x≠3
36．下列变形从左到右一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
37．下列各式中，分式的个数有（ ）
、、、﹣、、2﹣．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
38．在2019年底，新型冠状病毒 ( http: / / www.21cnjy.com )肺炎在全球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件”．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在0.1微米左右，0.1微米等于0.000001米，数字0.000001用科学记数法表示为是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
39．若把分式中的和同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍
C．缩小为原来的 D．不变
40．把分式的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．不确定
第II卷（非选择题）
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二、填空题
41．函数的自变量x的取值范围是__________．
42．方程的根是______．
43．计算：=________．
44．使有意义的x的取值范围是____________．
45．若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为_____．
三、解答题
46．解方程：．
47．计算：
48．计算： ．
49．（1）计算：（2﹣3）×；
（2）解方程：﹣＝．
50．计算：
（1）；
（2）.
51．计算下列各式：
（1）（﹣1）÷；（2）（﹣1）÷．
52．解方程：．
53．解方程：
54．解方程： +1．
55．先化简，再求值：，其中．
56．计算：
（1）；
（2）．
57．（1）解方程：； （2）计算：
58．在近期“抗疫”期间，学校购买了A、B ( http: / / www.21cnjy.com )两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1元，且用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同．21教育网
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增 ( http: / / www.21cnjy.com )加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过6600元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？21·cn·jy·com
59．先化简，再求值：，其中．
60．（1）解不等式组： ，并将解集表示在数轴上；
（2）解方程：
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