第五章 生活中的轴对称(考点讲解)（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 生活中的轴对称
【学习目标】
1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；
2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；
3.理解并掌握“将军饮马”的基本作图方法及简单的应用，并求相关的角和线段长；
4. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.
【考点总结】
要点一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称　　
（1）轴对称图形
　　如果一个图形沿着某一条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.21教育网
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：www.21-cn-jy.com
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位 ( http: / / www.21cnjy.com )置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上 ( http: / / www.21cnjy.com )的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2-1-c-n-j-y
要点二、作轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）对于一些由直线、线段或射线组成 ( http: / / www.21cnjy.com )的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）.
2.等边三角形
　　（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点四、角的平分线的性质与判定
　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
　角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.21教育名师原创作品
【例题讲解】
类型一、轴对称的判断与应用
例1、如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）指出与的对称点；
（2）指出与中相等的线段和角；
（3）在不添加字母和线段的情况下，图中还有能形成轴对称的三角形吗？
【答案】（1）点A与点A是对称点，点与点是对称点，点与点是对称点；（2），，，，，；（3）有，分别是与，与
【分析】（1）(2)根据 ( http: / / www.21cnjy.com )对应点，对应线段及对应角的定义即可.（3）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形．
【详解】
（1）点A与点A是对称点，点，是对称点，点，是对称点．
（2），，，，，．
（3）有．分别是与，与，都关于直线成轴对称．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是了解轴对称的图形的性质．
【训练】画出△ABC关于直线L的对称图形.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现是_______三角形.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）等腰直角.
【分析】
（1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点，进而连接各点得出即可．
（2）首先根据题意画出图形，再根据矩形是轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称图形可得线段垂直平分线MN为矩形ABCD的对称轴，然后可得AQ=DQ，再证明∠DAQ=45°，进而得到答案．www-2-1-cnjy-com
解：（1）如图所示,△A′B′C即为所求
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵MN是BC的垂直平分线，
∴MN是矩形ABCD的对称轴，
∴AQ=DQ，
∴∠QAD=∠ADQ，
∵AQ平分∠BAD，
∴∠DAQ=45°，
∴∠ADQ=45°，
∴∠AQD=90°，
∴△ADQ是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角.
【点拨】此题考查作图—复杂作图，作图-轴对称变换，解题关键在于掌握作图法则.
类型二、将军饮马的作图及应用
例2、尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明过程）：如图，已知点在内，分别在、边上求作点和点，使的周长最小．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【分析】步骤：①作P关于AB的对称点P1．②作P关于BC的对称点P2．③连接P1P2．④P1P2与AB的交点就是E，P1P2与BC的交点就是F．即为所求．【来源：21·世纪·教育·网】
解：如图：即为所求，
( http: / / www.21cnjy.com / )
注：①作关于的对称点；
②作关于的对称点；
③连接P1P2．
④P1P2与AB的交点就是E，P1P2与BC的交点就是F．【出处：21教育名师】
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【训练】如图，邮递员小王的家在两条公路和相交成的角（）的内部处，小王每天都要到开往方向的车上取下快件，然后再送到开往方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路和上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】图见解析
【分析】如图所示，分别作点关于射线所在直线的对称点，点关于射线所在直线的对称点，连接，分别交射线、于点、，则根据轴对称的性质可知处、处分别为小王在公路和上的的等车地点．21*cnjy*com
解：如图所示，分别作点关于射线所在直线的对称点，点关于射线所在直线的对称点，连接，分别交射线、于点、，连接、．
根据轴对称的性质可得、，此时的周长最小，则处、处分别为小王在公路和上的的等车地点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点拨】本题考查了轴对称—路径最短问题，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键．
例3．如图，点P是∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )B外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5．
（1）求线段QM、QN的长；
（2）求线段QR的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）4，1；（2）5
【分析】
（1）利用轴对称的性质求出MQ即可解决问题；
（2）利用轴对称的性质求出NR即可解决问题．
解答：（1）∵P，Q关于OA对称，
∴OA垂直平分线段PQ，
∴MQ＝MP＝4，
∵MN＝5，
∴QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1．
（2）∵P，R关于OB对称，
∴OB垂直平分线段PR，
∴NR＝NP＝4，
∴QR＝QN+NR＝1+4＝5．
【点拨】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握轴对称的性质属于中考常考题型．
【训练】如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．
（1）①若∠AOB=60°，则∠COD=　　　　°；
②若∠AOB=α，求∠COD的度数．
（2）若CD=4，则△PMN的周长为　　　　．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）①120°；②2α；（2）4．
【分析】
（1）①根据轴对称的性质，可知∠AOC=∠AOP，∠BOD=∠BOP，可以求出∠COD的度数；
②根据轴对称的性质，可知∠AOC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOP，∠BOD=∠BOP，可以求出∠COD的度数；
（2）根据轴对称的性质，可知CM=PM，DN=PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长；
【详解】
（1）①∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP．
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2×60°=120°．
故答案为：120°．
②∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP．
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2α．
（2）根据轴对称的性质，可知CM=PM，DN=PN，
所以△PMN的周长为：PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查轴对称的性质与运用 ( http: / / www.21cnjy.com )，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
类型三、等腰三角形的性质与判定
例4、已知：一等腰三角形的两边长，满足方程组，则此等腰三角形的周长为（　　）
A.5 B.4 C.3 D.5或42·1·c·n·j·y
【解析】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.
【答案】A；
解：解方程组得，
当腰为1，2为底时，1＋1＝2，不能构成三角形，
当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2＋2＋1＝5
【点拨】本题从边的方面考查等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
【训练】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（　　）
A.55°，55° B.70°，40° C.55°，55°或70°，40° D.以上都不对
【答案】C；
提示：当70°为顶角时,另外两个角 ( http: / / www.21cnjy.com )是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2＝55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．
例5、如图，在中，，，是的中点，交于点，为线段上任意一点，点在线段上，且，连结与，过点作，交直线于点．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）试说明的理由；
（2）判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析．
【分析】
（1）求出∠A＝∠AGD＝45°，根据等腰三角形的判定得出AD＝DG，再由AD＝DC即可得出结论；
（2）根据已知可依次证得FG＝C ( http: / / www.21cnjy.com )E，∠GFH＝∠DCF，∠HGF＝∠FEC，利用ASA推出△HGF≌△FEC，再由全等三角形的性质即可得出结论．
解：（1）∵，，
∴．
∵，所以．
∴．
∴．
∴．
∵是的中点，
∴．
∴．
（2）．理由如下：
∵，，
∴
即．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
同理可得：．
∴．
在和中，
，
∴≌．
∴．
【点拨】本题考查了等腰三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形及全等三角形的判定和性质的应用，掌握等腰三角形与全等三角形的判定与性质的相关知识点并能灵活运用定理进行推理是解答此题的关键．21世纪教育网版权所有
【训练】如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O．
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
（1）证明：∵AB=AC．
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是高，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB=OC
（2）∵∠ABC＝50°，AB=AC，
∴∠A=180°-2×50°=80°，
∴∠BOC=180°-80°=100°.
【训练】如图，∠BAC＝90°，以△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】ED＝2AM
解：连接DE，
∵∠BAC＝90°，M是BC的中点
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AM＝BM＝MC＝
∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD
∴△ABC≌△AED
∴ED＝BC
∴ED＝2AM
类型四、等边三角形的性质与判定
例6、如图，设D为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：如图，连接CD，
∵△ABC是等边三角形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共边，
∴△BDC≌△ADC（SSS），
∴∠DCB＝∠DCA＝×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，
∵∠DBP＝∠DBC，
∴∠DAC＝∠DBP，
又已知BP＝AB，
∴BP＝AC，
∴△DBP≌△DAC（SAS），
∴∠P＝∠ACD＝30°．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形
全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【训练】如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．21*cnjy*com
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
∴在△BCE和△ACD中，
∵，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，
则∠CBF=∠CAH，BC=AC
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF，
在△BCF和△ACH中，
∵，
∴△BCF≌△ACH （ASA），
∴CF=CH，
又∵∠FCH=60°，
∴△CHF为等边三角形
∴∠FHC=∠HCD=60°，
∴FH∥BD．
类型五、角平分线、中垂线性质及判定应用
例7、如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】根据平分，得到，根据垂直平分，求证，进而得到，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数．21·世纪*教育网
解：平分，
，
又垂直平分，
，
，
，
，，
，
，
即，
．
【点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
【训练】 如图，是的平分线，，点在上，连接、，分别过点作、的垂线、，垂足分别为、．
（1）求证：；
（2）求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据SAS证明≌即可求解；
（2）证明是的平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】
证明：（1）∵是的平分线
∴
在和中
∴≌
∴
（2）由（1）可知：
∴
∴是的平分线
∵，
∴．
【点拨】此题主要考查角平分线的性质与证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与角平分线的性质．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)