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第五章 生活中的轴对称
【提升评测】
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点在线段的垂直平分线上
D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线
2．在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（ ）
A．等腰三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正六边形
3．如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点分别落在点的位置，且，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
4．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形为折痕，若，则的度数为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
5．将一张纸第一次翻折，折痕为折痕为（如图1），第二次翻折，折痕为（如图2）第三次翻折使与重合，折痕（如图3），第四次翻折使与重合，折痕为（如图4），此时，如果将纸复原到图1的形状，则的大小是（ ）21教育网
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A． B． C． D．
6．如图所示，把长方形沿折叠，若，则等于（ ）
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A． B． C． D．
7．如图，长方形纸片，将沿对角线折叠得，和相交于点E，将沿折叠得，若，则度数为（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
8．如图①是长方形纸带，∠CFE=58°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中∠DEF的度数是（ ）21·cn·jy·com
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A．4° B．6° C．10° D．12°
9．如图（1）是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图（2），再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．120° B．110° C．100° D．90°
10．如图，，点，在边上，点在边上．将沿折叠，恰好与重合，将沿折叠，恰好与重合．下列结论：2-1-c-n-j-y
①②③④⑤
正确的个数有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
11．如图，长方形沿直线、折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点和点处，若，则的度数为（ ）21*cnjy*com
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A．30° B．60° C．50° D．55°
12．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片 ( http: / / www.21cnjy.com )按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．
13．在下列命题中：①有一个外角是120° ( http: / / www.21cnjy.com )的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（ ）21*cnjy*com
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到的位置，若，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
15．下列说法中错误的是（ ）
A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B．关于某条直线对称的两个图形全等
C．全等的三角形一定关于某条直线对称 D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称
16．如图，在长方形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )点E，G、F分别在边AD、BC、AB上，将△AEF沿着EF翻折至△A′EF，将四边形EDCG沿着EG翻折至ED′C′G，使点D的对应点D′落在AE上，已知∠AFE＝70°，则∠BGC′的度数为（ ）
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A．20° B．30° C．40° D．50°
17．将一长方形纸条按如图所示折叠，则的度数为（ ）
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A．54° B．76° C．72° D．66°
18．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
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A． B． C． D．
19．如图，图①是四边形纸条，其中，，分别为，上的两个点，将纸条沿折叠得到图②，再将图②沿折叠得到图③，若在图③中，，则为（ ）
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A．48° B．72° C．108° D．132°
20．如图是一个台球桌面的示意图， ( http: / / www.21cnjy.com )图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）【出处：21教育名师】
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A．1 号袋 B．2 号袋 C．3 号袋 D．4 号袋
21．下列图案中，是轴对称图形的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．图1的长方形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，E点在AD上，且BE=2AE．今分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为何？（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．30 B．32.5 C．35 D．37.5
23．下列每个网格中均有两个图形，其中一个图形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
24．有下列说法：①轴对称的两个三角形形状 ( http: / / www.21cnjy.com )相同；②面积相等的两个三角形是轴对称图形；③轴对称的两个三角形的周长相等；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
25．如图，在四边形ABCD中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A=120°，∠C=80°．将△BMN沿着MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（ ）21·世纪*教育网
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A．70° B．80° C．90° D．100°
26．小天从镜子里看到镜子对面的电子钟如下图所示，则此时的实际时间是 （ ）
A．21：10 B．10：21
C．10：51 D．12：01
27．下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
28．如图，点D在△ABC的边BC上，．将△ABD沿AD翻折，使B落在点E处．且DE与AC交于点F．设△AEF的面积为，△CDF的面积为，则与的大小关系为（ ）
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A． B． C． D．不确定
29．正方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
30．下列说法：①三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个外角等于它的任意两个内角和；②内角和等于外角和的多边形只有四边形；③角是轴对称图形，角的对称轴是角平分线．其中正确的有（ ）个．www-2-1-cnjy-com
A．0 B．1 C．2 D．3
31．折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得，两点落在、的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得、分别落在、的位置．若，则的度数为（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
32．如图，在锐角△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
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A．50° B．60° C．70° D．80°
33．已知，如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，延长AD到点E，连接BE、CE，
∠ABD+∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列结论：①△ABD为等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
34．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，是折痕，若，则下列结论正确的有是( )
（1）；（2）；
（3）；（4）．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
35．将一长方形纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，若，，则EG=（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
36．如图，AD是△ABC的角平分线，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC，DE⊥AC于点E，BF∥AC交ED的延长线于点F，AE＝2EC，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF.其中正确的结论为( )
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A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①②③④
37．用折纸的方法，可以直接剪出一个正 ( http: / / www.21cnjy.com )五边形(如图)．方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD等于( )
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A．108° B．90° C．72° D．60°
38．如图，△ABC为等边三角形，AQ= ( http: / / www.21cnjy.com )PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，有下列说法：①点P在∠A的平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.其中正确的是（ ）
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A．全部正确 B．仅①②正确 C．仅②③正确 D．仅①③正确
39．如图，在四边形ABCD中，∠C＝ ( http: / / www.21cnjy.com )50°,∠B＝∠D＝90°，点E、F分别是线段BC、DC上的的动点．当三角形AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
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A．80° B．70° C．60° D．50°
40．如图，有一条长方形的宽纸带，按图折叠，则∠α=（ ）
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A．30° B．60° C．70° D．75°
第II卷（非选择题）
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二、填空题
41．图，直线，直线l与直线AB，CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．若∠PEF=75°，2∠CFQ=∠PFC，则________．
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42．如图，把一张长方形的纸条按图那样折叠后，B．C两点落在，点处，若得＝， 则∠余角的度数为_____°．
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43．如图，在长方形纸片ABCD中，点E在边AD上，点F，G分别在边AB，CD上，分别以EF，EG为折痕进行折叠并压平，点A，D的对应点分别是点，．若平分，且在内部，设，则的度数为__________．（用含n的代数式表示）
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44．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是_________．
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45．如图，将书页斜折过去，使角的顶点A落在处，BC为折痕，BD是的平分线，则∠CBD=______．
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三、解答题
46．现有如图1所示的两种瓷砖 ( http: / / www.21cnjy.com )，请你从两种瓷砖中各选两块，拼成一个新的正方形，使拼成的图案为轴对称图形，如图2，要求：在图3，图4中各设计一种与示例拼法不同的轴对称图形．
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47．请将以下的图形补成以为对称轴的轴对称图形．
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48．如图，把一张长方形的纸片沿折叠后，与的交点为，点，分别落在，的位置上，若．求的度数．【版权所有：21教育】
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49．已知长方形纸片ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
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50．如图，在长方形中，点是边上一个定点，点是边上一个动点，连结，将沿折叠至．
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（1）若比大，求的大小．
（2）连结，若，请判断和的大小关系，并说明理由．
51．如图，在中，，，是的中点，交于点，为线段上任意一点，点在线段上，且，连结与，过点作，交直线于点．
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（1）试说明的理由；
（2）判断与的数量关系，并说明理由．
52．生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图① ② ③ ④的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面）：2·1·c·n·j·y
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如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，分别回答下列问题：
（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点与点的距离为3厘米，那么在图②中，__________厘米；在图③中，__________厘米；在图④中，__________厘米．
（2）如果长方形纸条的宽为厘米，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离（结果用表示）．
53．如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE，BF交于点P.
（1）求证：BF＝CE；
（2）求∠BPC的度数．
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54．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
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55．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”（本题中所有角都是大于且小于的角）
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图1 图2 图3
（1）若和互为“互优角”，当时，则________；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着对折，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，则的度数为________；
（3）再将纸片沿着对折（点在线段或上），使点落在．
①如图2，若点，，在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数（对折时，线段落在内部）；
②若与互为“互优角”，则与应满足什么样的数量关系（直接写出结果即可）．
56．已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．
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（1）当，时，求线段FD的长度；
（2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值；
（3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值．
57．生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图①、②、③、④的顺序进行（阴影部分表示纸条的反面）．由信纸折成的长方形纸条（图①）长为21厘米，分别回答下列问题：
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（1）如果长方形纸条的宽为2厘 ( http: / / www.21cnjy.com )米，并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，那么在图②中，BE=______厘米；在图③中，BF=______厘米．
（2）如果长方形纸条的宽为x厘米，现不 ( http: / / www.21cnjy.com )但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是对称图形，试推算在开始折叠时起点M与点A的距离（结果用含x的代数式表示）．
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第五章 生活中的轴对称
【提升评测】
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点在线段的垂直平分线上
D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线
【答案】D
【分析】
根据垂直平分线的性质和判定逐项判断即可．
【详解】
解:、是线段的垂直平分线上的点，
，．故正确，不符合题意；
、若，
在的垂直平分线上．
同理在的垂直平分线上．
直线是线段的垂直平分线．故正确，不符合题意；
、若，则点在线段的垂直平分线上，故正确，不符合题意；
、若，则点在线段的垂直平分线上．但过点的直线有无数条，不能确定过点的直线是线段的垂直平分线．故错误，符合题意．
故选：．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质与判定，准确进行推理判断．
2．在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（ ）
A．等腰三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正六边形
【答案】A
【分析】
根据轴对称的性质对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A、没有刻度尺不能作轴对称，故本选项正确；
、连接菱形的对角线即是对称轴，故本选项错误；
、等腰梯形对称轴是两腰延长线的交点和对角线的交点的连线，故本选项错误；
、连接两个对角线即是对称轴，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键．
3．如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点分别落在点的位置，且，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由折叠的性质可得：∠MFE=∠EFC，又由∠BFM=∠EFM，可设∠MFB=x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2x=180，解此方程即可求得答案．
【详解】
解：设∠MFB=x°，则∠MFE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CFE=2x°，
∵x+2x+2x=180，
∴x=36，
∴∠MFE=72°=∠CFE，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE=72°，
又∵NE∥MF，
∴∠AEN=180°-72°-72°=36°．
故选B．
【点睛】
此题考查了折叠的性质及平角的定义，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
4．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形为折痕，若，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：如图所示，
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∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°，
∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5，
∴∠5＝42°，
由折叠的性质可知，∠2＝∠3，
∵∠2＋∠3＋∠5＝180°，
∴∠2＝69°，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．将一张纸第一次翻折，折痕为折痕为（如图1），第二次翻折，折痕为（如图2）第三次翻折使与重合，折痕（如图3），第四次翻折使与重合，折痕为（如图4），此时，如果将纸复原到图1的形状，则的大小是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平角定义和角平分线定义进行分析整理即可．
【详解】
解：第一次折叠，可以不考虑；
第二次折叠，∠APQ+∠BPQ=180°；
第三次折叠，∠CPQ=×∠APQ；
第四次折叠，∠DPQ=×∠BPQ；
∠CPD=∠CPQ+∠DPQ=∠APQ+∠BPQ=×180°=90°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了折叠的特点，需理清折叠后角的变化，由此求出要求的角的度数．
6．如图所示，把长方形沿折叠，若，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据折叠性质求出∠2和∠3，根据平行线性质求出∠DEF=∠2，代入求出即可．
【详解】
解：根据折叠性质得出，
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∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠2=70°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线性质，折叠性质的应用．理解折叠前后对应角相等和两直线平行内错角相等是解题关键．
7．如图，长方形纸片，将沿对角线折叠得，和相交于点E，将沿折叠得，若，则度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设∠CBD＝β，根据折叠可 ( http: / / www.21cnjy.com )得∠C'BD＝β，∠A'BE＝β α，依据∠ABC＝∠ABE＋∠EBD＋∠CBD＝90°，即可得到∠CBD的度数．
【详解】
解：设∠CBD＝β，则∠C'BD＝β，
∵，
∴∠A'BE＝β α，
由折叠可得，∠ABE＝∠A'BE＝β α，
∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBD＋∠CBD＝90°，
∴β α＋β＋β＝90°，
∴β＝，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【版权所有：21教育】
8．如图①是长方形纸带，∠CFE=58°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中∠DEF的度数是（ ）
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A．4° B．6° C．10° D．12°
【答案】B
【分析】
根据两条直线平行，内错角相等，则∠AEF= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CFE=58°，根据平角定义，则图②中的∠DEG=64°，进一步求得图③中∠GED=64°，进而求得图③中的∠DEF的度数．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠CFE=58°，
∴∠AEF=∠CFE=58°，∠DEF=122°，
∴图②中的∠GEF=58°，∠DEG=180°-2×58°=64°，
∴图③中∠GEF=58°，
∴图③中∠DEF=64°-58°=6°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了根据折叠发现相等的角，同时运用了平行线的性质和平角定义．
9．如图（1）是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图（2），再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．120° B．110° C．100° D．90°
【答案】D
【分析】
由长方形的性质可知AD∥BC，由此 ( http: / / www.21cnjy.com )可得出∠BFE=∠DEF=30°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=30°．
由翻折的性质可知：图2中，
∠EFC=180°-∠BFE=150°，∠BFC=∠EFC-∠BFE=120°，
∴图3中，∠CFE=∠BFC-∠BFE=90°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换以及平行 ( http: / / www.21cnjy.com )线的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
10．如图，，点，在边上，点在边上．将沿折叠，恰好与重合，将沿折叠，恰好与重合．下列结论：
①②③④⑤
正确的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】
将△ABD沿着AD翻折，可得AB＝AE，∠B＝∠AEB，将△CEF沿着EF翻折，可得AE＝CE，∠C＝∠CAE，可得∠B＝2∠C．
【详解】
解：∵将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，
∴AB＝AE，∠B＝∠AEB，
∵将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合，
∴AE＝CE，∠C＝∠CAE，
∴AB＝EC，∴②正确；
∵∠AEB＝∠C＋∠CAE＝2∠C，
∴∠B＝2∠C，
故⑤正确；其余的都无法推导得出，
故选：A．
【点睛】
本题考查翻折变换，三角形外角性质等知识，掌握旋转的性质是本题的关键．
11．如图，长方形沿直线、折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点和点处，若，则的度数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．60° C．50° D．55°
【答案】B
【分析】
根据折叠的性质得到∠AEF=，，根据得到，即可求出答案．
【详解】
解：由折叠得：∠AEF=，，
∵，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】
此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=，是解题的关键．
12．剪纸是我国传统的民间艺术 ( http: / / www.21cnjy.com )．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对于此类问题，只要依据翻折变换，知道剪去了什么图形即可判断，也可动手操作，直观的得到答案．
【详解】
解：按照图中的顺序，向右对折，向上 ( http: / / www.21cnjy.com )对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：21*cnjy*com
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了剪纸问题，解 ( http: / / www.21cnjy.com )决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．www.21-cn-jy.com
13．在下列命题中：①有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】
根据等边三角形的性质和定义，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．
【详解】
解：①因为外角和与其对应的内 ( http: / / www.21cnjy.com )角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确；
②两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误；
③等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，
正确的命题有2个，
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．
14．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到的位置，若，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据折叠的性质可得∠EFC，根据邻补角的定义可求出∠EFD，再根据角的和差求解即可．
【详解】
解：因为将长方形ABCD沿线段EF折叠到的位置，，
所以∠EFC=，
所以∠EFD=180°－∠EFC=80°，
所以=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、邻补角的定义和角的和差计算，属于基本题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．
15．下列说法中错误的是（ ）
A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B．关于某条直线对称的两个图形全等
C．全等的三角形一定关于某条直线对称 D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称
【答案】C
【分析】
根据轴对称的性质和定义，对选项进行一一分析，选择正确答案．
【详解】
A、成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线是它们的对称轴，符合轴对称的定义，故正确；
B、关于某条直线对称的两个图形全等，符合轴对称的定义，故正确；
C、全等的三角形一定关于某条直线对称，由于位置关系不确定，不一定关于某条直线对称，故错误；
D、若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称，符合轴对称的定义，故正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
16．如图，在长方形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )点E，G、F分别在边AD、BC、AB上，将△AEF沿着EF翻折至△A′EF，将四边形EDCG沿着EG翻折至ED′C′G，使点D的对应点D′落在AE上，已知∠AFE＝70°，则∠BGC′的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】
先求出∠AEF，再根据翻折变换的性质得到∠A ( http: / / www.21cnjy.com )′EA，根据平角的定义和翻折变换的性质可求∠A′EG，∠DEG，再根据平行线的性质和角的和差关系即可求解．
【详解】
解：∵∠AFE＝70°，
∴∠AEF＝20°，
由翻折变换的性质得∠A′EA＝40°，
∴∠A′ED＝140°，
由翻折变换的性质得∠A′EG＝∠DEG＝70°，
∵A′E∥C′G，
∴∠EGC′＝110°，
∵AD∥BC，
∴∠EGB＝70°，
∴∠BGC′＝110°﹣70°＝40°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，平行线的性质，理解翻折的性质得到相等的角解题关键．
17．将一长方形纸条按如图所示折叠，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．54° B．76° C．72° D．66°
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先根据折叠的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】
如图，由题意得：，
由折叠的性质得：，
，
，
，
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了折叠的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
18．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中利用勾股定理解决．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝=＝10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC＝AE＝6，EB＝AB AE＝10 6＝4，
设CD＝DE＝x，
在Rt△DEB中，
∵，
∴，
∴x＝3，
∴CD＝3．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
19．如图，图①是四边形纸条，其中，，分别为，上的两个点，将纸条沿折叠得到图②，再将图②沿折叠得到图③，若在图③中，，则为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．48° B．72° C．108° D．132°
【答案】C
【分析】
如图②，由折叠的性质和平行线的性质可 ( http: / / www.21cnjy.com )求得∠EFM，根据三角形的外角性质可求得∠BMF，再根据平行线的性质可求得∠CFM，如图③中，再根据折叠的性质和角的差即可求得答案．21·世纪*教育网
【详解】
解：如图②，由折叠得：∠B'EF＝∠FEM＝24°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AE∥DF，
∴∠EFM＝∠B'EF＝24°，
∴∠BMF＝∠MEF+∠MFE＝48°，
∵BM∥CF，
∴∠CFM+∠BMF＝180°，
∴∠CFM＝180°﹣48°＝132°，
如图③，由折叠得∠MFC＝132°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠EFC＝∠MFC﹣∠EFM＝132°﹣24°＝108°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形的外角性质以及角的和差计算等知识，正确理解题意、熟练掌握上述是解题的关键．【出处：21教育名师】
20．如图是一个台球桌面的示意图，图 ( http: / / www.21cnjy.com )中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 号袋 B．2 号袋 C．3 号袋 D．4 号袋
【答案】B
【分析】
根据轴对称的性质画出图形即可得出正确选项．
【详解】
解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴最后落入2号球袋,
故选B.
【点睛】
本题考查轴对称图形的定义与判定，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴；画出图形是正确解答本题的关键．
21．下列图案中，是轴对称图形的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【详解】
第一个图形不是轴对称图形，
第二 ( http: / / www.21cnjy.com )个图形不是轴对称图形，
第三个图形是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，
综上所述，是轴对称图形的有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
22．图1的长方形ABCD中，E点在AD上， ( http: / / www.21cnjy.com )且BE=2AE．今分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为何？（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30 B．32.5 C．35 D．37.5
【答案】D
【分析】
根据直角三角形30°角所 ( http: / / www.21cnjy.com )对的直角边等于斜边的一半可得△ABE、△A′BE皆为30°、60°、90° 的三角形，所以∠AEB=60°，再根据平角等于180°求出∠AED′=60°，即可求得∠DED′=75°，然后根据翻折变换的性质求出∠2=37.5°，再根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】
如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据题意得：∵BE=2AE=2A′E，∠A=∠A′=90°，
∴△ABE、△A′BE皆为30°、60°、90° 的三角形，
∴∠1=∠AEB=60°，
∴∠AED′=180°﹣∠1﹣∠AEB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DED′=∠AED+∠AED′=15°+60°=75°，
∴∠2=∠DED′=37.5°，
∵A′D′∥BC，
∴∠BCE=∠2=37.5°．
故选D．
【点睛】
本题考查了矩形的面积，翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
23．下列每个网格中均有两个图形，其中一个图形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据轴对称的性质求解．
【详解】
观察选项可知，A中的两个图形可以通过平移，旋转得到，C中可以通过平移得到，D中可以通过放大或缩小得到，只有B可以通过对称得到．
故选B．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，了解轴对称的性质及定义是解题的关键．
24．有下列说法：①轴对 ( http: / / www.21cnjy.com )称的两个三角形形状相同；②面积相等的两个三角形是轴对称图形；③轴对称的两个三角形的周长相等；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
根据平移、翻折或旋转的性质逐项判断可求解．
【详解】
解：①轴对称的两个三角形形状相同， ( http: / / www.21cnjy.com )故正确；
②面积相等的两个三角形形状不一定相同，故不是轴对称图形，故错误；
③轴对称的两个三角形的周长相等，故正确；
④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的，故正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的变换，掌握平移、翻折或旋转的性质是解题的关键．
25．如图，在四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠A=120°，∠C=80°．将△BMN沿着MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【分析】
首先利用平行线的性质得出∠BMF=12 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，∠FNB=80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，进而求出∠B的度数以及得出∠F的度数．
【详解】
∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=120°，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C=80°，
∴∠BMF=120°，∠FNB=80°，
∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，
∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°，
故选B．
【点睛】
主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．
26．小天从镜子里看到镜子对面的电子钟如下图所示，则此时的实际时间是 （ ）
A．21：10 B．10：21
C．10：51 D．12：01
【答案】C
【分析】
利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】
根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为10：51，
故选C．
【点睛】
本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧.
27．下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据轴对称的定义即可解答.
【详解】
解： 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴,
根据轴对称的定义可得只有B选项是轴对称图形．
故选B．
【点睛】
本题考查轴对称的定义，熟悉掌握是解题关键.
28．如图，点D在△ABC的边BC上，．将△ABD沿AD翻折，使B落在点E处．且DE与AC交于点F．设△AEF的面积为，△CDF的面积为，则与的大小关系为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】
依据点D在△ABC的边BC上，BD＞CD，即可得到S△ABD＞S△ACD，再根据折叠的性质，即可得到S1＞S2．
【详解】
解：∵点D在△ABC的边BC上，BD＞CD，
∴S△ABD＞S△ACD，
由折叠可得，S△ABD＝S△AED，
∴S△AED＞S△ACD，
∴S△AED S△ADF＞S△ACD S△ADF，
即S1＞S2，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．www-2-1-cnjy-com
29．正方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
【答案】B
【分析】
正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的轴对称性，由此可知其对称轴．
【详解】
解：正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，
对称轴共4条．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的轴对称性．关键是明确正方形既具有矩形的轴对称性，又具有菱形的轴对称性．
30．下列说法：①三角形的一个外角等于它的 ( http: / / www.21cnjy.com )任意两个内角和；②内角和等于外角和的多边形只有四边形；③角是轴对称图形，角的对称轴是角平分线．其中正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据三角形的外角和定理、三角形的内角和定理、角的性质、对称轴的定义知识点逐个判断即可．
【详解】
解： ①应为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故本选项错误；
②内角和等于外角和的多边形只有四边形，故正确；
③角是轴对称图形，角的对称轴是角的平分线所在的直线，③错误；
综上所述， ②正确，故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的外角和定理、三角形的内角和定理、角的性质、对称轴的定义相关知识点,能熟记知识点的内容是解此题的关键．21教育网
31．折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得，两点落在、的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得、分别落在、的位置．若，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据折叠和平行的性质得出∠EFB ( http: / / www.21cnjy.com )=∠GEF，再利用三角形的外角和平行的性质得出∠FGD1=∠G2FC，最后利用∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°计算即可
【详解】
∵AD//BC
∴∠DEF=∠EFB．
由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2
∴∠EFB=∠GEF．
∠FGD1=2∠BFE，又
∴∠FGD1+∠GFC1=180°
∵∠BFC2+∠C2FC=180°．
∴∠FGD1=∠G2FC．
即∠C2FC=2∠BFE．
又∵3∠EFB=∠EFC2．
∵∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°
∴ ∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°
即6∠EFB=180°
∴∠EFB=30°
故选：A
【点睛】
本题考查折叠的性质、平行线的判定、三角形的外角，灵活进行角的转换是解题的关键
32．如图，在锐角△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【分析】
根据轴对称的性质作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，得到△PMN，由此解答.
【详解】
解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题考查最短路径问题，根据题意首 ( http: / / www.21cnjy.com )先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键.
33．已知，如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，延长AD到点E，连接BE、CE，
∠ABD+∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列结论：①△ABD为等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
可根据证△ABF≌△△ADF推出AB=AD，得出△ABD为等腰三角形；可根据同弦所对的圆周角相等点A、B、C、E共圆，可判出BE=CE=CD，根据三角形内角和等于180°，可判出AE=AC；求出∠7=90°﹣∠2，根据∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分线．
【详解】
解：作AF平分∠BAD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAD=∠3，∠ABD+∠3=90°，
∴∠BAF=∠3=∠DAF，
∴∠ABF+∠BAF=90°
∴∠AFB=∠AFD=90°，
在△BAF和△DAF中
∴△ABF≌△ADF（ASA），
∴AB=AD，∴①正确；
∵∠BAD=∠2=∠3，
∴点A、B、E、C在同一个圆上，
∴∠BAE=∠4=∠3，∠ABC=∠6，
∴BE=CE，
∵∠5=∠ADB=∠ABD，∠BAE=∠4，
∴∠5=∠6，
∴CE=CD，
即CD=CE=BE，∴③正确；
∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°﹣∠2．
∴∠ACE=180°﹣∠6﹣∠2=90°﹣∠2，
∴∠ACE=∠6，
∴AE=CE，∴②正确
∵∠5=∠2+∠7=90°﹣∠2，
∴∠7=90°﹣∠2，
∵∠BAD=∠4=∠2，
∴∠4≠∠7，∴④错误；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、同弦所对的圆周角相等、三角形内角和的相关知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
34．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，是折痕，若，则下列结论正确的有是( )
（1）；（2）；
（3）；（4）．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
利用平行线的性质，折叠的性质依次判断.
【详解】
∵A∥B，
∴∠EF=，故（1）正确；
由翻折得到∠GEF=,
∴∠GE=64°，
∴∠AEC=180°-∠GE=116°，故（2）错误；
∵A∥B，
∴∠BGE=∠GE=64°，故（3）正确；
∵EC∥FD
∴∠BFD=∠BGC=180°-∠BGE=116°，故（4）正确，
正确的有3个，
故选：C.
【点睛】
此题考查平行线的性质，翻折的性质，熟记性质定理并熟练运用是解题的关键.
35．将一长方形纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，若，，则EG=（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
过E作EHAD,
由图知，∠BEF=∠B’EF=30°，∠CEG=∠C’EG=60°，
四边形ABCE为长方形，
∠AGE=60°，
△EC’G为等边三角形，
，AB=EH为△EC’G的高，所以
EG=6.选D.
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36．如图，AD是△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的角平分线，AB＝AC，DE⊥AC于点E，BF∥AC交ED的延长线于点F，AE＝2EC，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF.其中正确的结论为( )
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A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】
已知AB=AC，AD是△ABC的角平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线，根据等腰三角形三线合一的想可得BD=CD，AD⊥BC，即可知②③正确；利用ASA证明△CDE≌△DBF，根据全等三角形的性质可得DE=DF，CE=BF，即可得①正确；由AE＝2EC，CE=BF即可求得AB＝3BF，④正确，由此即可求得答案.
【详解】
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵AD是△ABC的角平分线，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确；
综上，正确的结论为①②③④，共4个，故选D.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
37．用折纸的方法，可以直接剪出一个 ( http: / / www.21cnjy.com )正五边形(如图)．方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD等于( )
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A．108° B．90° C．72° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据折叠可知∠DOC为36°，根据正五边形内角为108°可知∠ODC为54°，由三角形内角和为180°即可得.
【详解】
由折叠可知周角被平分为10份，所以∠DOC为36°，
由正五边形一个内角为108°，所以∠ODC为108°=54°，
所以∠OCD=180°-54°-36°=90°，
故选B.
【点睛】
此题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解本题关键.
38．如图，△ABC为等边三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，有下列说法：①点P在∠A的平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.其中正确的是（ ）
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A．全部正确 B．仅①②正确 C．仅②③正确 D．仅①③正确
【答案】A
【解析】
∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，
∴P在∠A的平分线上，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），
∴AS=AR，∠QAP=∠PAR，
∵AQ=PQ，
∴∠PAR=∠QPA，
∴∠QPA=∠QAR
∴QP∥AR，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，
∴∠PAR=∠QPA=30°，
∴∠PQS=60°，
在△BRP和△QSP中，，
∴△BRP≌△QSP（AAS），
∴①②③④项四个结论都正确，
故选A．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质、等边对等角，直角三角形的性质，平行线的判定，关键在于熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定定理，认真推理计算相关的等量关系．21*cnjy*com
39．如图，在四边形ABCD中，∠C＝ ( http: / / www.21cnjy.com )50°,∠B＝∠D＝90°，点E、F分别是线段BC、DC上的的动点．当三角形AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
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A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【解析】
试题分析：作A关于BC和CD的对称点A ( http: / / www.21cnjy.com )′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
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∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=50°，
∴∠EAF=130°﹣50°=80°，
故选A．
考点：轴对称-最短路线问题．
40．如图，有一条长方形的宽纸带，按图折叠，则∠α=（ ）
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A．30° B．60° C．70° D．75°
【答案】D
【解析】试题分析：如图，根据折叠的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，可知∠2=∠3，根据两直线平行，同位角相等，可知∠1=30°，所以∠2=（180°-30°）÷2=75°，再根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠2+∠α=180°，因此可得∠α=75°.
故选：D
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第II卷（非选择题）
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二、填空题
41．图，直线，直线l与直线AB，CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．若∠PEF=75°，2∠CFQ=∠PFC，则________．
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【答案】或
【分析】
分两种情形：①当点Q在平行线AB，CD之间时．②当点Q在CD下方时，分别构建方程即可解决问题．
【详解】
解：①当点Q在平行线AB，CD之间时，如图1．
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∵AB//CD
∴∠PEF+∠CFE=180°
设∠PFQ=x，由折叠可知∠EFP=x，
∵2∠CFQ=∠CFP，
∴∠PFQ=∠CFQ=x，
∴75°+3x=180°，
∴x=35°，
∴∠EFP=35°．
②当点Q在CD下方时，如图2
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设∠PFQ=x，由折叠可知∠EFP=x，
∵2∠CFQ=∠CFP，
∴∠PFC=x，
∴75°+x+x=180°，
解得x=63°，
∴∠EFP=63°．
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及翻折问题的综合应用，正确掌握平行线的性质和轴对称的性质是解题的关键．
42．如图，把一张长方形的纸条按图那样折叠后，B．C两点落在，点处，若得＝， 则∠余角的度数为_____°．
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【答案】22
【分析】
根据折叠的性质计算即可；
【详解】
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴∠余角的度数；
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质应用，结合余角的性质求解是解题的关键．
43．如图，在长方形纸片ABCD中，点E在边AD上，点F，G分别在边AB，CD上，分别以EF，EG为折痕进行折叠并压平，点A，D的对应点分别是点，．若平分，且在内部，设，则的度数为__________．（用含n的代数式表示）
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【答案】
【分析】
结合图形，先表示出∠A′EF+∠D′EG的度数，再根据∠FEG=∠A′EF+∠D′EG+∠A′ED′求解可得．
【详解】
解：∵∠AEA′+∠DED′-∠A′ED′=180°，∠A′ED′=n°，
∴∠AEA′+∠DED′=180°+n°，
∵2∠A′EF=∠AEA′，2∠D′EG=∠DED′，
∴∠A′EF+∠D′EG=，
∴∠FEG=∠A′EF+∠D′EG-∠A′ED′．
故答案为：．
【点睛】
考查了翻折变换（折叠问题），解题的关键是掌握翻折变换的性质、角度的和差倍分运算等知识点．
44．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是_________．
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【答案】126°
【分析】
先由平行线的性质得出∠BFE=∠DEF= ( http: / / www.21cnjy.com )18°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，由∠CFE=∠CFG-∠EFG即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=18°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×18°=126°，
故答案为：126°．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
45．如图，将书页斜折过去，使角的顶点A落在处，BC为折痕，BD是的平分线，则∠CBD=______．
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【答案】90°
【分析】
根据折叠得出∠ABC=∠CBA′=∠ABA′，根据角平分线，得出∠A′BD=∠A′BE，求出∠CBA′+∠A′BD=（∠ABA′+∠A′BE）=90°，即可得出答案．
【详解】
解：∵将书页斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，
∴∠ABC=∠CBA′=∠ABA′，
∵BD为∠A′BE的平分线，
∴∠A′BD=∠A′BE，
∴∠CBA′+∠A′BD=（∠ABA′+∠A′BE）=×180°=90°，
即∠CBD=90°．
故答案为：90°．
【点睛】
本题考查了角的计算和翻折变换的应用，关键是求出∠CBA′+∠A′BD=（∠ABA′+∠A′BE）．
三、解答题
46．现有如图1所示的两种瓷砖，请你从两种 ( http: / / www.21cnjy.com )瓷砖中各选两块，拼成一个新的正方形，使拼成的图案为轴对称图形，如图2，要求：在图3，图4中各设计一种与示例拼法不同的轴对称图形．
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【答案】见解析
【分析】
利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案即可．
【详解】
解：依照轴对称图形的定义，设计出图形，如图所示．
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【点睛】
此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称定义得出是解题关键．
47．请将以下的图形补成以为对称轴的轴对称图形．
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【答案】作图见解析
【分析】
根据轴对称的性质，首先作点和点的对称点点和点，再分别连接、、、，即可得到答案．
【详解】
如图，点作交于点，延长，使，则点为点对称点
点作交于点，延长，使，则点为点对称点
分别连接、、、
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【点睛】
本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，从而完成求解．
48．如图，把一张长方形的纸片沿折叠后，与的交点为，点，分别落在，的位置上，若．求的度数．
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【答案】116°
【分析】
由平行线的性质知∠DEF=∠EFB=58°，由题意知∠GEF=∠DEF=58°，则可由平行线的性质求得∠2=∠GED=116°．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=58°，
由对称性知∠GEF=∠DEF，
∴∠GEF=58°，
∴∠GED=116°，
∴∠2=∠GED=116°．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，对应角相等及平行线的性质，关键是求得∠GEF的度数．
49．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB ( http: / / www.21cnjy.com )上，点F、G在边CD上，连接EF、EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
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【答案】（1）90°；（2）105°．
【分析】
（1）由对折得EN平分∠AEF，EM平分∠BEF，可得∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF，从而可得：∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB，结合平角的定义可得答案；21教育名师原创作品
（2）由对折可得EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，证明∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，可得∠NEF+∠MEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG），从而可得答案．
【详解】
解：（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF
∴∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF
∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB
∵∠AEB＝180°
∴∠MEN＝×180°＝90°
（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG
∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG
∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG）
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°
∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣30°）＝75°
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°．
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质，角的和差，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
50．如图，在长方形中，点是边上一个定点，点是边上一个动点，连结，将沿折叠至．
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（1）若比大，求的大小．
（2）连结，若，请判断和的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）125°；（2）∠B′PD=∠CPD，理由见解析
【分析】
（1）根据折叠的性质可得∠BEP=∠B′EP，根据平角的定义得到∠BEP=55°，从而计算∠AEP；
（2）根据互余的性质得到∠BPE+∠CPD=90°，再根据折叠可知∠BPE=∠EPB′，从而证明∠B′PD=∠CPD．
【详解】
解：（1）∵∠AEB′=∠BEP+15°，
由折叠的性质可知：∠BEP=∠B′EP，
∴∠AEB′+∠B′EP+∠BEP=180°，
∴3∠BEP+15°=180°，
∴∠BEP=55°，
∴∠AEP=2∠BEP+15°=125°；
（2）∠B′PD=∠CPD，理由是：
∵PD⊥PE，
∴∠EPB′+∠B′PD=90°，
∴∠BPE+∠CPD=90°，
由折叠可知：
∠BPE=∠EPB′，
∴∠B′PD=∠CPD．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，角的和差，解题的关键是根据折叠的性质得到对应角相等．
51．如图，在中，，，是的中点，交于点，为线段上任意一点，点在线段上，且，连结与，过点作，交直线于点．21cnjy.com
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（1）试说明的理由；
（2）判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析．
【分析】
（1）求出∠A＝∠AGD＝45°，根据等腰三角形的判定得出AD＝DG，再由AD＝DC即可得出结论；
（2）根据已知可依次证得FG＝CE， ( http: / / www.21cnjy.com )∠GFH＝∠DCF，∠HGF＝∠FEC，利用ASA推出△HGF≌△FEC，再由全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵，，
∴．
∵，所以．
∴．
∴．
∴．
∵是的中点，
∴．
∴．
（2）．理由如下：
∵，，
∴
即．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
同理可得：．
∴．
在和中，
，
∴≌．
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形及全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定和性质的应用，掌握等腰三角形与全等三角形的判定与性质的相关知识点并能灵活运用定理进行推理是解答此题的关键．
52．生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图① ② ③ ④的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面）：
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如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，分别回答下列问题：
（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点与点的距离为3厘米，那么在图②中，__________厘米；在图③中，__________厘米；在图④中，__________厘米．
（2）如果长方形纸条的宽为厘米，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离（结果用表示）．
【答案】（1）21；19；15；（2）（13 x）厘米．
【分析】
（1）结合图形、根据旋转的性质计算即可；
（2）根据纸条两端超出点P的长度相等、轴对称图形的概念计算即可．
【详解】
解：（1）图②中BE=AB-AM-EM=26-3-2=21厘米，
图③中BF=26-3-2-2=19 厘米，
图④中BM=26-3-2-2-2-2=15厘米，
故答案为：21；19；15；
（2）因为图④为轴对称图形
所以，，
即开始折叠时点M与点A的距离是（13 x）厘米．
【点睛】
本题考查的旋转变换的性质、轴对称图形的概念，正确根据题意列出代数式是解题的关键．
53．如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE，BF交于点P.
（1）求证：BF＝CE；
（2）求∠BPC的度数．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）先根据等边三角形和已知条件证明△ABF≌△BCE，然后根据全等三角形的性质证明即可；
（2）先证明∠ABF=∠BCE，再运用等量代换说明∠BCE+∠FBC=60°，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形
在△ABF和△BCE中
∴△ABF≌△BCE
∴BF=CE；
（2）∵△ABF≌△BCE
∴∠ABF=∠BCE
∵∠ABF+∠FBC=60°
∴∠BCE+∠FBC=60°
∴∠BPC=180°-（∠BCE+∠FBC）=180°-60°=120°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．2-1-c-n-j-y
54．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
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【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】
（1），
，
点E是CD的中点，
，
在和中，，
，
；
（2）由（1）已证：，
，
又，
是线段AF的垂直平分线，
，
由（1）可知，，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
55．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”，即若，则称和互为“互优角”（本题中所有角都是大于且小于的角）
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图1 图2 图3
（1）若和互为“互优角”，当时，则________；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着对折，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，则的度数为________；
（3）再将纸片沿着对折（点在线段或上），使点落在．
①如图2，若点，，在同一直线上，且与互为“互优角”，求的度数（对折时，线段落在内部）；
②若与互为“互优角”，则与应满足什么样的数量关系（直接写出结果即可）．
【答案】（1）30°或150°；（2）40°或80°；（3）①∠EPF=80°；②∠BPE+∠CPF的度数为60°或100°或140°．
【分析】
（1）按照“互优角”的定义写出式子，解方程即求出∠2；
（2）由∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°=180°即可求；
（3）①由∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC=180°，即可求；
②分三种情况讨论，根据折叠的性质以及平角的性质即可求．
【详解】
解：（1）∵∠1和∠2互为“互优角”，∠1=90°，
∴|∠1-∠2|=60°，
∴90°-∠2=60°或90°-∠2=-60°，
解得：∠2=30°或150°，
故答案为：30°或150°；
（2）∵∠EPB′与∠B′PC互为“互优角”，
当∠EPB′＜∠B′PC时，∠B′PC-∠EPB′=60°，
∴∠B′PC=∠EPB′+60°，
∵△BEP翻折得△B'EP，
∴∠EPB=∠EPB'，
∵∠EPB+∠EPB'+∠B′PC=180°，
∴∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°=180°，
解得：∠EPB′=40°；
当∠EPB′＞∠B′PC时，∠EPB′-∠B′PC=60°，
同理可得∠EPB′=80°．
综上所述，∠EPB的值为40°或80°；
故答案为：40°或80°；
（3）①∵点E、C′、P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∵对折时，线段落在内部
∴∠B′PC′＜∠EPF，∠EPF-∠B′PC′=60°=∠B′PF，
∵∠BPE=∠B′PE=∠EPF-60°，∠FPC=∠EPF，
∴∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC=180°，
∴∠EPF-60°+∠EPF+∠EPF=180°，
解得∠EPF=80°；
②当点F在边CD上时，如图：
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显然∠EPF>∠B′PC′，
∵∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠EPF-∠B′P′C=60°，
根据折叠的性质：∠B′PE=∠1，∠FPC′=∠2，
∴∠EPF=∠1+∠2+∠B′P′C，
∴∠EPF-∠B′P′C=∠1+∠2+∠B′P′C-∠B′P′C=∠1+∠2=60°，
即∠BPE+∠CPF=60°；
当点F在边AD上，且当∠EPF>∠B′PC′时，如图：
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∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠EPF-∠B′P′C =60°，
根据折叠的性质：∠B′PE=∠1，∠FPC′=∠2，
∴∠EPF=∠1+∠2-∠B′P′C，
∴∠EPF-∠B′P′C =∠1+∠2-2∠B′P′C =60°，
∠1+∠EPF+∠2=∠1+∠1+∠2-∠B′P′C+∠2=2(∠1+∠2) -∠B′P′C=180°，21世纪教育网版权所有
解得：∠1+∠2=100°，
即∠BPE+∠CPF=100°；
当点F在边AD上，且当∠EPF<∠B′PC′时，如图：
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∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠B′P′C-∠EPF =60°，
根据折叠的性质：∠B′PE=∠1，∠FPC′=∠2，
∴∠EPF=∠1+∠2-∠B′P′C，
∴∠B′P′C-∠EPF =∠1+∠2-2∠EPF =60°，
∠1+∠EPF+∠2=180°，
解得：∠1+∠2=140°，
即∠BPE+∠CPF=140°；
故∠BPE+∠CPF的度数为60°或100°或140°．
【点睛】
本题考查了通过翻折计算角的 ( http: / / www.21cnjy.com )度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
56．已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．
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（1）当，时，求线段FD的长度；
（2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值；
（3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值．
【答案】（1）4；（2）图见解析，或；（3）=
【分析】
（1）根据折叠的性质可得AF=AB=6，从而求出结论；
（2）根据点G的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用x表示出FD和DG，根据题意列出方程即可求出结论；
（3）过点H作HM⊥EF于M，根据用a和b表示出S△HFE和S四边形ABCD，结合已知等式即可求出结论．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得AF=AB=6
∵
∴FD=AD－AF=4；
（2）若点G落在线段FD上时，如下图所示
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由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FD－FG=10－2x
∵
∴
解得：；
若点G落在线段FD的延长线上时，如下图所示
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由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FG－FD=2x－10
∵
∴
解得：；
综上：或；
（3）如下图所示，过点H作HM⊥EF于M
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∴HM=FD，
由题意可知：AF=AB=b，EF=AB=b，
∴FD=AD－AF=a－b
∴HM=a－b
∴S△HFE=EF·HM=b（a－b），S四边形ABCD=AD·AB=ab
∵
∴
整理可得：
∴=．
【点睛】
此题考查的是一元一次方程的应用，掌握折叠的性质是解题关键．
57．生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图①、②、③、④的顺序进行（阴影部分表示纸条的反面）．由信纸折成的长方形纸条（图①）长为21厘米，分别回答下列问题：
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（1）如果长方形纸条的宽为2厘米 ( http: / / www.21cnjy.com )，并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，那么在图②中，BE=______厘米；在图③中，BF=______厘米．
（2）如果长方形纸条的宽为x厘米 ( http: / / www.21cnjy.com )，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是对称图形，试推算在开始折叠时起点M与点A的距离（结果用含x的代数式表示）．
【答案】（1）16；14；（2）厘米
【分析】
（1）结合图形、根据折叠的性质计算即可；
（2）根据纸条两端超出点P的长度相等、轴对称图形的概念计算即可．
【详解】
解：（1）图②中BE=AB-AM-EM=16厘米，
图③中BF=14 厘米，
故答案为：16；14；
（2）因为图④为轴对称图形，
∴，
∴，
即开始折叠时点M与点A的距离是厘米．
【点睛】
本题考查的折叠变换的性质、轴对称图形的概念，正确根据题意列出代数式是解题的关键．
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