上海市2022届高三下学期5月高考冲刺模拟数学试卷三（Word版含答案）

上海市2022届高三下学期5月高考冲刺模拟数学试卷三
一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.若，则实数的取值范围是 .
2.函数的反函数是 ．
3.如果复数满足（是虚数单位），则的最大值为 ．
4.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球
的体积之比为 .
5.已知的内角的对边分别为，且, 则_______
6.数列中，且，则数列前项的积等于 ．
7.设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长 ．
8.已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，
则的最大值为 .
9.函数的图像是两条线段（如图），它的定义域为，
则不等式的解集为________．
10.已知点G为ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，，
则的值为________________.
(
A
C
B
B
1
(
B
)
D
C
1
(
C
)
)11.已知函数是偶函数，则函数图像与轴交点的纵坐标的最大值是______．
12.如图，将一张边长为的正方形纸折叠，使得点始终落在边
上，则折起的部分的面积最小值为
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
14.函数的零点所在区间是（ ）
A.； B.； C.； D.
15.如图，已知点，正方形内接于⊙，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
16.已知为椭圆的左顶点．如果存在过点的直线交椭圆于两点，使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数.
（1）求函数的零点，并求反函数；
（2）设，若不等式在区间上恒成立，求实数的范围.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，侧棱与底面所成角大小为60°.
（1）求此正三棱锥体积；
（2）求异面直线PA与BC的距离.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为.
（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.
（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置.
20.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为.
（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？
（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由.
（3）已知(其中为常数)，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的左，右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线。设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点。
（1）求曲线的方程；
（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；
（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的
取值范围。
参考答案
一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1、 . 2、 3、1；4、 ；5、；6、； 7、24；
8、；9、；
10、__解：，G为ABC的重心
M、G、N三点共线
11、4．
12、 解析几何法，可以B为坐标原点，BC为x轴正方向建立直角坐标系
设，则有点方向式：
之后可以直接求梯形面积的表达式，然后可得最小值
(
A
C
B
B
1
(
B
)
D
C
1
(
C
)
)
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13、A；14、B；15、C
分析：且长度为1，可设，，然后用坐标求解.
也可以，答案选.
16、A
解二：坐标系变幻，将椭圆变为圆处理，利用圆的性质解题。
记Q为椭圆的右顶点
将坐标系横向压缩到原来的，椭圆变为圆，
面积比，线段长度比，不随坐标系拉升而改变
设
所以差个符号
又由圆的相交弦定理：
得 （）
故
又由于 ()
故有 结合
可化为：解出即可
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17、（1）函数的零点是，（2分）
反函数，,（7分），
（2）因为,（8分）
所以，
得到，（10）分）
当时，右边最小值为，（12分）
所以.（14分）
18．解：（1）取底面的中心G，联结AG，
∵P-ABC是正三棱锥，∴P在底面的射影为G，
∴∠PAG就是侧棱PA与底面所成角，
∴∠PAG=30°，（2分）
∵PA=2，∴AG=1，PG=，
∴AB=，∴，
∴. （4分）
（2）过D作DE⊥PA于E，
∵BC⊥PD，BC⊥AD，∴BC⊥平面PAD，
∵DE在平面PAD上，∴BC⊥DE，
∴DE是异面直线AB与CD的公垂线，（4分）
在△ABC中，PA·DE=PG·AD，∴.
∴异面直线PA与BC的距离为. （4分）
也可以用空间向量求异面直线距离：任意找一个连接两直线的向量，然后求其在公垂线方向上的投影即可
19、解：（1）设，，.
依题意有，.……………………3分
由，得，解得，故点应选在距点2处.…………6分
（2）设，，.
依题意有，，
…………10分
令，由，得，，
………………12分
，，
当，所张的角为钝角，最大角当，即时取得，故点应选在距点处.………………14分
20．解：（1），
∴
∴为集合中的元素，即.………………………………………2分
，
∴
∴为集合中的元素，即.………………………………………4分
（2），
当时，对恒成立，此时，；…………7分
当时，令，，；
设为不超过的最大整数，令，，
，此时，，.…………………………10分
（3）先由，得知，
，令，
，即；
当时，，于是，
当时，，于是；………………13分
∵，，
，，，，
∴有和项，共82项.……………………16分
21、解：（1）依题意可得，---------------------------------------1’
双曲线的焦距为，，------------3’
双曲线的方程为--------------------------------------------4’
（2）证明：设点、（，），直线的斜率为（），
则直线的方程为------------------------------------------------5’
联立方程组 整理，得---6’
解得或---------------------------------------7’
同理方程组可得：---------------------------------9’
为一定值----------------------------------------10’
（3）设点、（，），
则，．
，，即-----------11’
点在双曲线上，则，所以，即--12’
又点是双曲线在第一象限内的一点，所以-------------------------13’
，
-----------------14’
由（2）知，，即，设，则，
，在上单调递减，在上单调递增---15’
当，即时，-------------------------------16’
当，即时，-----------------------------17’
的取值范围为-----------------------------------------------------------18’
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