立体几何模拟题训练（含解析）
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立体几何模拟题训练
1．（2022·湖北·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，，平面，，分别是，的中点.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的正弦值等于，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)如图，作交于点，连接，取的中点，连接，.
由中位线定理得，且，
因为点是的中点，所以，且，故，且.
所以四边形是平行四边形.所以.
因为平面，平面，所以平面.
(2)如图，作交于点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，.
由得.
所以，，，.
所以，.
设平面的法向量为，则，
令，得.
又平面的一个法向量为，依题意得，
所以，解得，即，，.
所以.
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
(1)求证：平面平面；
(2)若点P为线段上靠近点的三等分点，求点到平面的距离？
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)在图1中取中点F，连接，，
∵，，，∴，，
∵，，，∴四边形为矩形，∴，
∴，又，∴为等边三角形；
又，∴为等边三角形；
在图2中，取中点G，连接，，
∵，为等边三角形，∴，，
∴，又，∴，∴，
又，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
(2)以G为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
∵，∴，
设平面的法向量，
则，令，则，∴，
∴到平面的距离为．
3．（2022·浙江·模拟预测）如图，在三棱柱中，，F是的中点．
(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)取中点为G，连接，在中，根据勾股定理可得，
因此，
而已知平面，
∴，∴，
由余弦定理可得，
故 ,
因此平面，
而平面，∴．
(2)由（1）得，，又平面，
故以C为坐标原点，分别 为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系，
则：，
，设平面的法向量为，则 ，
令，可取，又，
所以与平面所成角的正弦值．
4．（2022·四川·模拟预测（理））如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．
(1)确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明；
(2)在第（1）题的条件下，若，，求二面角的余弦值．
【答案】(1)点G为的重心；证明见解析(2)0
【解析】(1)证明：如图所示：
取AB中点D，连结CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面．
证明：连结DE．因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，
所以，且，则四边形是平行四边形，
故．又平面，平面
所以平面．
因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，
则且，四边形是平行四边形，
所以．又平面，平面，
所以平面．又平面，平面，，
所以平面平面．
(2)以C为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则．
设，由（1）知，，即．
解得，即．
所以．
设平面的一个法向量，
由，得．
令，则，即．
设平面的一个法向量，
由，得．
令，则，即．
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为0．
5．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱台中，，，四边形为平行四边形，点为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若四边形为正方形，平面，二面角为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：连接.
因为几何体为四棱台，且，
所以.所以四边形为平行四边形.
所以.又因为平面，平面，
所以平面.
(2)因为四边形为正方形，平面，
所以，.所以面.
连接，则.所以为二面角的平面角
由已知得.所以.
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，.
设平面的一个法向量为.
因为，.
由得
令，得
即.易知平面的一个法向量为.
因为，
所以二面角的余弦值为
6．（2022·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上的一动点.
(1)求证：当点为线段的中点时，平面；
(2)当点位于线段的什么位置时，与平面所成角的正弦值为，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)当或时，与平面所成角的正弦值为，理由见解析
【解析】
(1)连接，，
∵点为线段的中点，四边形为矩形，
∴，，三点共线，则点为的中点.
∵点，分别为和的中点，
∴.
在直三棱柱中，，
∴平面，
又平面，∴.
又，∴四边形为正方形，
∴.
∵，
∴平面.
∵，
∴平面.
(2)以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，
设，∴，
即，∴.
设平面的一个法向量为，
，.
由，得，令，得，
又.
设与平面所成角为，
由题意得
，
求得或.故当或时，与平面所成角的正弦值为.
7．（2022·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，平面，，且．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为平面，平面，所以．
因为平面，平面，所以平面．
在正方形中，，又平面，
平面，所以平面．因为，，平面，
所以平面平面．又平面，所以平面．
(2)由题，可以为坐标原点，分别以，，所在直线为，
，轴建立空间直角坐标系如图所示，（观察几何体的机构特征，合理建系）
设，则，，，，
所以，，．
设为平面的法向量，,即
取，则．设为平面的法向量，,即
取，则．因为二面角的大小为，
所以，即，
解得或，因为，所以．
因为平面，所以．
8．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））多面体如图所示，其中为等腰直角三角形，且．
(1)求证：；
(2)若，为的重心，平面，求直线与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)如下图所示：取中点，连接，，，因为，所以，
又，所以，，所以平面DO，
又平面，所以．
(2)由（1）得，为中点，且，平面，建立如下图空间直角坐标系，轴平行于.
设，则，，，
因为为的重心，所以，，
则，，，，则．
设平面的法向量为，且，
则，即，所以，令，则，
所以，设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
9．（2022·浙江·模拟预测）已知四边形中，，E为中点，连接，将沿翻折到．
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)在四边形中，求得：均为正三角形，
所以也为正三角形，取中点O，连接，
则，，又
∴平面，∴
(2)如图建系，设二面角的平面角为，即，
则，
∴，∴，，
设面的法向量为，则，
设直线与面所成角为，∴．
10．（2022·河南焦作·三模（理））如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2．
(1)若点F在棱上，且平面，求；(2)求二面角的正弦值
【答案】(1)(2)
【解析】(1)如图，在上取点，使得，连接，，
则．因为平面，平面平面，所以，
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为，所以．
(2)在平面内，过作，垂足为．以为坐标原点，，所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则，
即，令，则．
设平面的法向量为，则，
即，令，则．
所以，
设二面角的大小为，所以．
11．（2022·浙江·效实中学模拟预测）如图，在多面体中，四边形是菱形，，平面，，且.
(1)求证：平面；
(2)已知点G在CF上，当时，求直线DG与平面BDE所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)设，取BF的中点N，连接EN，MN.
∵M是BD中点，N是BF中点，
∴，∴是平行四边形，
∴，即.
∵平面，平面，
∴平面.
(2)取AD的中点O，根据题意，可得，以OA为x轴，OB为y轴，如图建立空间直角坐标系，设，∴，，，，，，
设，，∴，
∴，∴
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴.
令平面的法向量，
∵，，∴
取，，，∴，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
12．（2022·浙江·模拟预测）如图，在四棱台中，底面为正方形，H在棱上，，．
(1)求证：平面；
(2)若M为的中点，且，求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为，所以，
又因为，所以面，
于是面面且交于，又因为，
所以面．
(2)以A为原点，建立如图所示的坐标系，令，
则，则，，于是
，
设平面的一个法向量为，
则，取，
则所求线面角的正弦值为．
13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，D为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取的中点，连结．因为是正三角形，所以，
又因为，．所以，又平面，平，，
所以平面，又因为平面，所以．
(2)如图，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则，，，．
因为，为的中点，所以，
又，，
所以平面ABC．所以，．
设平面PAC的法向量为，又，，
由，得．可取．
设直线与平面所成角为．．
因此，直线BP与平面PAC所成角的正弦值为．
14．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在三棱锥中，底面是边长2的等边三角形，，点F在线段BC上，且，为的中点，为的中点.
(Ⅰ)求证：//平面；
(Ⅱ)若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)取的中点，连接、，因为为的中点，为的中点，所以，，又，所以，因为面，面，面，所以面，面，又，面，所以面面，因为面，所以平面；
(Ⅱ)连接，因为底面是边长2的等边三角形，，所以，，所以为二面角的平面角，即，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设面的法向量为，则，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以
故直线与平面所成角的正弦值为；
15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，四棱锥中，，是对角线的交点，．
(1)求证：;
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)在 中，由余弦定理得，有，故，
又，平面，所以平面，
所以；(2)
平面ABCD，平面ABCD，
平面ABCD，
以为坐标原点，直线，为，轴，过A点平行于PO的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，则，，，
因为 ，，故 ， ，
，
所以， ， ， ，
，，，
设平面的法向量为，则有 ，
，得，
设直线与平面所成角为，；
综上，直线与平面所成角的正弦值为 .
16．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图所示的几何体中，四边形为正方形，为等腰梯形，，平面平面．
(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】(1)如图，取△ABC的AB边中点为G，连接CG，则BC=BG，
又∵∠ABC=60°，∴△BCG是等边三角形，∴GC=GB=GA，故G是△ABC外接圆圆心，∴AC⊥BC．
∵平面平面，平面平面=AC，BC平面ABCD，
∴平面，∵AE，∴．(2)如图建立平面直角坐标系，
设，则，∵平面平面，∴点E在底面的投影落在直线上，设，由得，
解得，∴，∴，，，
设平面的法向量为，则，即，取，则
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立体几何模拟题训练
1．（2022·湖北·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，，平面，，分别是，的中点.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的正弦值等于，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)如图，作交于点，连接，取的中点，连接，.
由中位线定理得，且，
因为点是的中点，所以，且，故，且.
所以四边形是平行四边形.所以.
因为平面，平面，所以平面.
(2)如图，作交于点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，.
由得.
所以，，，.
所以，.
设平面的法向量为，则，
令，得.
又平面的一个法向量为，依题意得，
所以，解得，即，，.
所以.
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
(1)求证：平面平面；
(2)若点P为线段上靠近点的三等分点，求点到平面的距离？
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)在图1中取中点F，连接，，
∵，，，∴，，
∵，，，∴四边形为矩形，∴，
∴，又，∴为等边三角形；
又，∴为等边三角形；
在图2中，取中点G，连接，，
∵，为等边三角形，∴，，
∴，又，∴，∴，
又，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
(2)以G为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
∵，∴，
设平面的法向量，
则，令，则，∴，
∴到平面的距离为．
3．（2022·浙江·模拟预测）如图，在三棱柱中，，F是的中点．
(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)取中点为G，连接，在中，根据勾股定理可得，
因此，
而已知平面，
∴，∴，
由余弦定理可得，
故 ,
因此平面，
而平面，∴．
(2)由（1）得，，又平面，
故以C为坐标原点，分别 为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系，
则：，
，设平面的法向量为，则 ，
令，可取，又，
所以与平面所成角的正弦值．
4．（2022·四川·模拟预测（理））如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．
(1)确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明；
(2)在第（1）题的条件下，若，，求二面角的余弦值．
【答案】(1)点G为的重心；证明见解析(2)0
【解析】(1)证明：如图所示：
取AB中点D，连结CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面．
证明：连结DE．因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，
所以，且，则四边形是平行四边形，
故．又平面，平面
所以平面．
因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，
则且，四边形是平行四边形，
所以．又平面，平面，
所以平面．又平面，平面，，
所以平面平面．
(2)以C为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则．
设，由（1）知，，即．
解得，即．
所以．
设平面的一个法向量，
由，得．
令，则，即．
设平面的一个法向量，
由，得．
令，则，即．
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为0．
5．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱台中，，，四边形为平行四边形，点为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若四边形为正方形，平面，二面角为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：连接.
因为几何体为四棱台，且，
所以.所以四边形为平行四边形.
所以.又因为平面，平面，
所以平面.
(2)因为四边形为正方形，平面，
所以，.所以面.
连接，则.所以为二面角的平面角
由已知得.所以.
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，.
设平面的一个法向量为.
因为，.
由得
令，得
即.易知平面的一个法向量为.
因为，
所以二面角的余弦值为
6．（2022·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上的一动点.
(1)求证：当点为线段的中点时，平面；
(2)当点位于线段的什么位置时，与平面所成角的正弦值为，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)当或时，与平面所成角的正弦值为，理由见解析
【解析】
(1)连接，，
∵点为线段的中点，四边形为矩形，
∴，，三点共线，则点为的中点.
∵点，分别为和的中点，
∴.
在直三棱柱中，，
∴平面，
又平面，∴.
又，∴四边形为正方形，
∴.
∵，
∴平面.
∵，
∴平面.
(2)以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，
设，∴，
即，∴.
设平面的一个法向量为，
，.
由，得，令，得，
又.
设与平面所成角为，
由题意得
，
求得或.故当或时，与平面所成角的正弦值为.
7．（2022·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，平面，，且．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为平面，平面，所以．
因为平面，平面，所以平面．
在正方形中，，又平面，
平面，所以平面．因为，，平面，
所以平面平面．又平面，所以平面．
(2)由题，可以为坐标原点，分别以，，所在直线为，
，轴建立空间直角坐标系如图所示，（观察几何体的机构特征，合理建系）
设，则，，，，
所以，，．
设为平面的法向量，,即
取，则．设为平面的法向量，,即
取，则．因为二面角的大小为，
所以，即，
解得或，因为，所以．
因为平面，所以．
8．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））多面体如图所示，其中为等腰直角三角形，且．
(1)求证：；
(2)若，为的重心，平面，求直线与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)如下图所示：取中点，连接，，，因为，所以，
又，所以，，所以平面DO，
又平面，所以．
(2)由（1）得，为中点，且，平面，建立如下图空间直角坐标系，轴平行于.
设，则，，，
因为为的重心，所以，，
则，，，，则．
设平面的法向量为，且，
则，即，所以，令，则，
所以，设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
9．（2022·浙江·模拟预测）已知四边形中，，E为中点，连接，将沿翻折到．
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)在四边形中，求得：均为正三角形，
所以也为正三角形，取中点O，连接，
则，，又
∴平面，∴
(2)如图建系，设二面角的平面角为，即，
则，
∴，∴，，
设面的法向量为，则，
设直线与面所成角为，∴．
10．（2022·河南焦作·三模（理））如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2．
(1)若点F在棱上，且平面，求；(2)求二面角的正弦值
【答案】(1)(2)
【解析】(1)如图，在上取点，使得，连接，，
则．因为平面，平面平面，所以，
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为，所以．
(2)在平面内，过作，垂足为．以为坐标原点，，所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则，
即，令，则．
设平面的法向量为，则，
即，令，则．
所以，
设二面角的大小为，所以．
11．（2022·浙江·效实中学模拟预测）如图，在多面体中，四边形是菱形，，平面，，且.
(1)求证：平面；
(2)已知点G在CF上，当时，求直线DG与平面BDE所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)设，取BF的中点N，连接EN，MN.
∵M是BD中点，N是BF中点，
∴，∴是平行四边形，
∴，即.
∵平面，平面，
∴平面.
(2)取AD的中点O，根据题意，可得，以OA为x轴，OB为y轴，如图建立空间直角坐标系，设，∴，，，，，，
设，，∴，
∴，∴
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴.
令平面的法向量，
∵，，∴
取，，，∴，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
12．（2022·浙江·模拟预测）如图，在四棱台中，底面为正方形，H在棱上，，．
(1)求证：平面；
(2)若M为的中点，且，求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为，所以，
又因为，所以面，
于是面面且交于，又因为，
所以面．
(2)以A为原点，建立如图所示的坐标系，令，
则，则，，于是
，
设平面的一个法向量为，
则，取，
则所求线面角的正弦值为．
13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，D为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取的中点，连结．因为是正三角形，所以，
又因为，．所以，又平面，平，，
所以平面，又因为平面，所以．
(2)如图，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则，，，．
因为，为的中点，所以，
又，，
所以平面ABC．所以，．
设平面PAC的法向量为，又，，
由，得．可取．
设直线与平面所成角为．．
因此，直线BP与平面PAC所成角的正弦值为．
14．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在三棱锥中，底面是边长2的等边三角形，，点F在线段BC上，且，为的中点，为的中点.
(Ⅰ)求证：//平面；
(Ⅱ)若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)取的中点，连接、，因为为的中点，为的中点，所以，，又，所以，因为面，面，面，所以面，面，又，面，所以面面，因为面，所以平面；
(Ⅱ)连接，因为底面是边长2的等边三角形，，所以，，所以为二面角的平面角，即，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设面的法向量为，则，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以
故直线与平面所成角的正弦值为；
15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，四棱锥中，，是对角线的交点，．
(1)求证：;
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)在 中，由余弦定理得，有，故，
又，平面，所以平面，
所以；(2)
平面ABCD，平面ABCD，
平面ABCD，
以为坐标原点，直线，为，轴，过A点平行于PO的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，则，，，
因为 ，，故 ， ，
，
所以， ， ， ，
，，，
设平面的法向量为，则有 ，
，得，
设直线与平面所成角为，；
综上，直线与平面所成角的正弦值为 .
16．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图所示的几何体中，四边形为正方形，为等腰梯形，，平面平面．
(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】(1)如图，取△ABC的AB边中点为G，连接CG，则BC=BG，
又∵∠ABC=60°，∴△BCG是等边三角形，∴GC=GB=GA，故G是△ABC外接圆圆心，∴AC⊥BC．
∵平面平面，平面平面=AC，BC平面ABCD，
∴平面，∵AE，∴．(2)如图建立平面直角坐标系，
设，则，∵平面平面，∴点E在底面的投影落在直线上，设，由得，
解得，∴，∴，，，
设平面的法向量为，则，即，取，则
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