2022年高考考前20天终极冲刺攻略（二）核心考点解读——直线与圆

时间：5月 26 日 今日心情：
核心考点解读——直线与圆
高考预测 1.高考对直线方程的考查比较稳定，考查内容.频率.题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率.直线方程的求法.两条直线的位置关系.距离公式.对称问题等，特别要重视直线方程的求法.两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点.2.高考对直线与圆.圆与圆的位置关系的考查比较稳定，考查内容.频率.题型难度均变化不大，但命题形式上比较灵活，备考时应熟练掌握相关题型与方法，除了直线与圆.圆与圆的位置关系的判断外，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题.
应试技巧 一.圆的有关概念和方程1.定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2.圆的标准方程：设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：3.圆的一般方程：圆方程为（1）的系数相同（2）方程中无项（3）对于的取值要求：4.确定圆的方程的方法和步骤；确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D.E.F的方程组；(3)解出a.b.r或D.E.F代入标准方程或一般方程.5.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程，点M(x0，y0)(1)点在圆上：；(2)点在圆外：；(3)点在圆内：.二.直线与圆的位置关系1.直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则：① 当时，直线与圆相交② 当时，直线与圆相切③ 当时，直线与圆相离（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数.设直线：，圆：，则：消去可得关于的一元二次方程，考虑其判别式的符号① ，方程组有两组解，所以直线与圆相交② ，方程组有一组解，所以直线与圆相切③ ，方程组无解，所以直线与圆相离2.直线与圆相交：弦长计算公式：3.直线与圆相切：（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径三.方法技巧1.是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长.弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长.2.求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.②定义法：根据圆.直线等定义列方程.③几何法：利用圆的几何性质列方程.④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
1．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.故选：C.
2．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.
3．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】设圆心，则，化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.
4．（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.
5．（2020·全国·高考真题（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时，根据弦长公式得最小值为.故选：B.
6．（2020·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.
由题意可得，可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.故选：B.
（多选题）7．（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.
（多选题）8．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于
C．当最小时， D．当最大时，
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
9．（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
【答案】
【解析】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.故答案为：
10．（2021·湖南·高考真题）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________
【答案】
【解析】由可得，所以圆心为，
由可得，所以直线的斜率为，
所以与直线垂直的直线的斜率为，
所以所求直线的方程为：，即，故答案为：.
11．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【解析】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.