2022年高考考前20天终极冲刺攻略（二）核心考点解读—— 平面向量与复数

时间：5月 23 日 今日心情：
核心考点解读—— 平面向量与复数
高考预测 1.平面向量是高考考查的重点.热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算.数量积.夹角.垂直的条件等问题； 2.同三角函数.解析几何.不等式等知识相结合，考查数形结合思想.函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.3.考查复数的概念.几何意义.复数的运算.常见题型有选择题.填空题，重点考查除法.乘法等运算，同时考查复数的模.共轭复数等概念.
应试技巧 一.平面向量1.共线向量基本定理（1）如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.（2）平面向量共线的坐标表示若，，则的充要条件是，这与在本质上是没有差异的，只是形式上不同.2.平面向量基本定理：如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为.（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）3.向量数量积运算，其中为向量的夹角4.数量积运算法则：（1）交换律： （2）系数结合律：（3）分配律：5.平面向量数量积的重要性质(1)；(2)非零向量，，；(3)当与同向时，；当与反向时，，，；(4)；(5).8.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量，，则，由此得到(1)若，则或.(2)设，则A.B两点间的距离.(3)设两个非零向量，，，，则.(4)设是与的夹角，则二.复数1.基本概念（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.（2）形如的数叫复数，记作.①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. ②两个复数相等（两复数对应同一点）③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.2.复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数.（3）.实数的全部运算律（加法和乘法的交换律.结合律.分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.3.复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
平面向量部分
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
如图所示，，当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴，∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
连结，则为的中位线，
，
故选：A
3．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C
4．（2020·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
5．（2020·全国·高考真题（理））已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，，，.
，
因此，.
故选：D.
（多选题）6．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
A.B写出，.，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C.D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
7．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F，则的值为____________；的最小值为____________．
【答案】 1
【解析】
设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
8．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
，
∵，∴的坐标为，
∵又∵，则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
9．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】
【解析】
以点为坐标原点，.所在直线分别为.轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点...，
，
则点，，，
因此，，.故答案为：；.
10．（2021·湖南·高考真题）已知向量，，则___________
【答案】
【解析】
，所以.故答案为：
11．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．
【答案】
【解析】
由已知可得，
因此，.故答案为：.
12．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以由可得，
，解得．故答案为：．
13．（2021·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
【答案】
【解析】∵，∴
∴.故答案为：.
14．（2020·全国·高考真题（理））已知单位向量，的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
复数部分
1．（2021·江苏·高考真题）若复数满足，则的虚部等于（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】C
【解析】若复数满足，则，
所以的虚部等于.故选：C.
2．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，故选：A.
3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：.故选：D.
4．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，.故选：B.
5．（2021·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，则，
所以，，解得，因此，.故选：C.
6．（2021·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【解析】，
利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.
7．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，.故选：B.
8．（2020·浙江·高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1 B．–1 C．2 D．–2
【答案】C
【解析】因为为实数，所以，故选：C
9．（2020·全国·高考真题（文））（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4
C．–4i D．4i
【答案】A
【解析】
.故选：A.
10．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．
【答案】
【解析】.故答案为：.
11．（2020·天津·高考真题）是虚数单位，复数_________．
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
12．（2020·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
【答案】3
【解析】
∵复数
∴
∴复数的实部为3.
13．（2020·全国·高考真题（理））设复数，满足，，则=__________.
【答案】
【解析】方法一：设，，
，
，又，所以，，
.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为，，
由已知，
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，
∴.