2022年高考考前20天终极冲刺攻略（二）核心考点解读——立体几何

时间：5月 24 日 今日心情：
核心考点解读——立体几何
高考预测 1.掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，能够解决简单的实际问题；2.多面体和球体的相关计算问题是近几年考查的重点；3.运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果，突出考查直观想象和逻辑推理.4.近两年以立体几何作为高考压轴小题进行考查.
应试技巧 1.平面的基本性质(1)熟悉三个公理的三种语言的描述（自然语言.图形语言.符号语言），明白各自的作用，能够依据这三个公理及其推论对点与平面.直线与平面.平面与平面的位置关系作简单的判断.(2)掌握确定一个平面的依据：不共线的三点确定一个平面.直线与直线外一点确定一个平面.两相交直线确定一个平面.两平行直线确定一个平面.2.空间直线.平面的位置关系(1)空间两条直线与直线的位置关系：相交.平行.异面.判断依据：是否在同一个平面上；公共点的个数情况.理解平行公理与等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行；等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.(2)直线与平面的位置关系：直线在平面内.直线与平面平行或相交判断依据：直线与平面的公共点的个数.理解直线与平面平行的定义.(3)空间两个平面的位置关系：相交.平行判断依据：没有公共点则平行，有一条公共直线则相交.3.空间直线.平面平行的判定定理与性质定理(1)线面平行的判定定理与性质定理①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行.符号语言：.要判定直线与平面平行，只需证明直线平行于平面内的一条直线.②线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线平行.符号语言：.当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在两条直线共面时才平行.③面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号语言：.要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即可，这里的直线需是相交直线.④面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：.⑤平行关系的转化(2)直线.平面垂直的判定定理与性质定理①线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直.符号语言：.要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可.②线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：.此性质反映了平行.垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直.③面面垂直的判定定理：若直线垂直于平面，则过该直线的平面与已知平面垂直.符号语言：.要证明平面与平面垂直，关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线.④面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：.要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直，必须满足直线垂直于这两个平面的交线.⑤垂直关系的转化
1．（2021·湖南·高考真题）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【解析】
对于A：若，，则或，故选项A不正确；
对于B：如图平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，但与相交，故选项B不正确；
对于C：如图在正方体中，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，则，故选项C不正确；
对于D：若，，可得或，若，因为，由面面垂直的判定定理可得；若，可过作平面与相交，则交线在平面内，且交线与平行，由可得交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确；
故选：D.
2．（2021·江苏·高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意作图，
设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .
若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
则有，.
该圆锥的底面积与侧面积比值为.
故选：C.
3．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.故选：B.
4．（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【解析】
由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.故选：C.
5．（2021·全国·高考真题）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
6．（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【解析】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B，D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.故选：A.
7．（2021·全国·高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，所以.故选：A.
8．（2020·山东·高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A.，与相交，所以与异面，故A错误；
B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；
C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；
D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.
故选：D
9．（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.故选：A
10．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.故选：C.
（多选题）11．（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】设正方体的棱长为，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.
对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.
对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.故选：BC.
（多选题）12．（2021·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】BD
【解析】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．故选：BD．
13．（2020·海南·高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【答案】.
【解析】
如图：
取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得.故答案为：.
14．（2020·江苏·高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
【答案】
【解析】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为：
15．（2021·全国·高考真题（文））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.
【解析】
（1）由于，，所以，
又AB⊥BB1，，故平面，
则，为等腰直角三角形，
，.
（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，
正方形中，为中点，则，
又，
故平面，而平面，
从而.
16.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体.正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
【答案】26，
【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．
如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与的延长线交于点，延长交正方体的棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，
，
，
即该半正多面体的棱长为．
17.【2020年高考江苏】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
【解析】因为分别是的中点，所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以.
又，平面，平面，
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.