第十八章《平行四边形》单元测试卷（困难）（含答案）

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人教版初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》单元测试卷
考试范围：第十八章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为
A. B. C. D.
如图，在平行四边形中，点是上一点，，，点是的中点，平分，，则的面积是
A. B. C. D.
如图， 中，对角线与相交于点，，，将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，若点的落点记为，恰好，若点为上一点，则的最短距离是
A. B. C. D.
如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，联结、，那么下列结论中一定成立的个数是
；；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
平行四边形一边的长是，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是
A. ， B. ， C. ， D. ，
如图，在平行四边形中，若点是的中点，点是上一动点，连接，，，并延长交于点，设，有以下结论：若≌，则当时，则；当时，则；，。其中正确有个
A. B. C. D.
如图，正方形的边长为，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为
A.
B.
C.
D.
如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下个结论：
；；；．
其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
如图，先有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接下列结论：；四边形是菱形；，重合时，；的面积的取值范围是其中正确的是
A. B. C. D.
如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长为
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，四边形是菱形，，以为边作菱形，使顶点在的延长线上，再以为边作菱形，使顶点在的延长线上，再以为边作菱形，使顶点在的延长线上，按照此规律继续下去，则的坐标是
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为______．
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，点是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是______．
如图，在中，，，分别是边，，的中点，四边形周长为，则的长为______．
如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则______．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
如图，在 中，对角线，相交于点，，点在线段上，且．
求证：；
若，分别是，的中点，且，
求证：是等腰三角形；
当时，求 的面积．
已知：如图 的对角线、交于点，、是上的两点，并且求证：四边形是平行四边形．
已知：在平行四边形中，过点作，过点作的垂线，分別交、、于点、、，且，．
若，，求的值；
连接，证明：．
如图，在 中，对角线，相交于点，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为，连结并延长交于点设运动时间为．
当为何值时，四边形是平行四边形
当时，四边形的面积为多少
是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
在正方形中，，点、分别是边、上的中点，点是一动点记，，．
如图，若点运动到线段中点时，_________，______ ．
如图，若点在线段上运动时，、和之间有何关系
当点在直线上在线段之外且与不重合运动时，、、和之间又有何关系说明理由．
定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径如图，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的如图中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时．
请在图中再找出一对这样的角来：_____________________．
如图，中，，以为一边向外作菱形，为菱形对角线的交点，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由．
在第题的条件下，若此时，，求的长．
阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如下图所示，矩形即为的“友好矩形”，显然，当是钝角三角形时，其“友好矩形”，只有一个．
仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”
若为直角三角形，且，在图中画出的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
若是锐角三角形，且，在下图中画出的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
如图，矩形的对角线相交于点，，，，，求的度数和的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当与重合时，的值最小，则的值最小．
设与交于点，作于首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值，从而求解．
【解答】
解：设与交于点，作于如图所示：
在中，，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
解得，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：如图，延长和交于点，
在平行四边形中，
，，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积．
故选：．
延长和交于点，证明≌，可得，然后根据等腰三角形的性质证明，再根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
如图，连接，过点作于点，
由折叠性质可知：
，．
，
．
，
是等腰直角三角形．
．
，
，
由折叠性质可知：，，
是等边三角形，
，
．
则的最短距离是．
故选：．
连接，过点作于点，由翻折的性质可证明是等腰直角三角形．可得然后证明是等边三角形，可得，进而可以解决问题．
本题主要考查了折叠的对称性以及平行四边形的性质，解决折叠问题的关键是找到对应相等的边和角，构造新的三角形求解．
4.【答案】
【解析】解：是的中点，
，
在 中，，
，
，
，
，
，
，故此选项正确；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
故错误；
设，则，
，
，
，
，
，故此选项正确．
故选C．
由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出≌，得出对应线段之间关系进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出≌是解题关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质、三角形的三边关系，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
对角线互相平分，两对角线的一半与一边必须能构成三角形
A.，不能够成三角形，故此选项错误；
B.，不能够成三角形，故此选项错误；
C.，不能构成三角形，故此选项错误；
D.，能构成三角形，故此选项正确；
故选D．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．根据平行四边形的性质，再由“”可证≌，可得，，由线段垂直平分线的性质和三角形的面积关系依次判断可求解．
【解答】
解：若≌，则，但不一定等于，即不一定等于，
不一定成立，故错误，
四边形是平行四边形，
，，
，
点是的中点，
，
在和中，
≌，
，，
，
，
，
只有当时，，
错误，
当时，则，
，
，
，
，
，故正确；
在平行四边形中，，，故正确．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接交于一点，连接，
四边形是正方形，
点与点关于对称，
，
的周长，此时的周长最小，
正方形的边长为，
，，
点在上且，
，
，
的周长，
故选：．
连接交于一点，连接，根据正方形的对称性得到此时的周长最小，利用勾股定理求出即可得到答案．
连接交于点时的周长有最小值，这是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接．
四边形都是正方形，
，，
由翻折可知：，，，，
，，，
≌，
，，设，
，故正确，
在中，，
，
，
，
，
，
易知不是等边三角形，显然，故错误，
，
，
，
，，
，
，故正确，
，：：：，
：：，
，故错误，
故选：．
正确．证明，即可．
错误．可以证明，显然不是等边三角形，可得结论．
正确．证明，即可．
错误．证明：：，求出的面积即可．
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；假设，得≌，进而得，这个不一定成立，判断错误；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出正确；当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值即可．
【解答】
解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确；
，，
，
，
若，则≌，
，这个不一定成立，
故错误；
点与点重合时，如图所示：
设，则，
在中，，
即，
解得，
，，
，
，
．
故正确；
当过点时，如图所示：
此时，最短，四边形的面积最小，则最小为，
当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为，
，
故错误．
故选C．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在上找到点，使点到点和点的距离之和最小是本题的关键．
作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，可得点到点和点的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】
解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，
点，将对角线三等分，且，
，，
点与点关于对称，
，，
，
，
则在线段存在点到点和点的距离之和最小为，
在点右侧，当点与点重合时，
则，
点在上时，
，
在点左侧，当点与点重合时，
，
，，，
≌，
，
，
点在上时，，
在线段上点的左右两边各有一个点使，
同理在线段，，上都存在两个点使．
即共有个点满足，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接交于点，过点作 于点．
在中，由勾股定理，可得，
是的中点
，
此时为直角三角形．
由，
得．
根据折叠的特征，得垂直平分线段．
由 ，
得，
．
在中，由勾股定理，得．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：连接、，分别交、于点、，
的坐标为，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
过点作轴于点，
在中，，
，
，
同理可得：，，，，
，，，
，，，
，
由此可以发现规律“每经过次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次菱形的边长变成原来的倍，即，
，
的纵坐标符号与的相同，则在轴的负半轴上，
又，
的坐标为，
故选：．
连接、，分别交、于点、，利用菱形的性质及勾股定理即可得的长，进一步在菱形计算出，过点作轴于，利用勾股定理计算出，，从而得的坐标，同理可得，，，，，，，，，，，根据循环规律可得的坐标．
本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理方法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图所示，以为对称轴作的对称点，连接，，
根据轴对称性质可知，，
，
当，，三点共线时，取“”，
过做于点，
为的中位线，
，，
，
为等腰直角三角形，，
正方形边长为，，
，
，
即的最大值为，
故答案为：．
以为对称轴作的对称点，连接，，依据，可得当，，三点共线时，取“”，过做于点，即可得出，，得到为等腰直角三角形，即可得到．
本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决即可．
14.【答案】
【解析】解：如图所示：
在的运动过程中在以为圆心，的长为半径的圆上，
是定值，长度取最小值时，即在上时，
过点作于点，
在边长为的菱形中，，为中点，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据题意，在的运动过程中在以为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时、、三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可．
此题主要考查了菱形的性质及翻折变换等知识，得出点位置是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：，，分别是边，，的中点，
，，，，
四边形为平行四边形，
四边形周长为，
，
．
故答案为．
根据三角形的中位线可得，，判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质可求解．
本题主要考查三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，判定四边形为平行四边形是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作交于，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
矩形中，，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
故答案为：．
过点作交于，根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，根据等边对等角可得，然后求出，根据等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出，根据矩形的对边相等可得，再利用勾股定理列式求出，然后求出，再次利用勾股定理列式计算即可求出，从而得解．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
是中点，
，
；
证明：，
是等腰三角形，
是中点，
，
，
为中点，
，
四边形是平行四边形，
，
、分别是、的中点，
，
，
是等腰三角形；
由得，
，
，
是的中点，
，
设，则，
，
在中，，
，
即，
解得，
，，
．
【解析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．
根据平行四边形的性质可得，再证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，进而可证明结论；
首先证明，再根据三角形中位线的性质可得，进而得到，可证明结论；
由得，由，是的中点，可证得，设，则，利用勾股定理可求解值，进而可求解，，再利用平行四边形的面积公式可求解．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
又，
．
四边形是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质可求得，再结合条件可求得，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可证得结论．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用平行四边形的性质求得是解题的关键．
19.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
，
；
证明：过点作，交延长线于，如图所示：
≌，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识．
证明，，由证得≌得出，即可得出结果；
过点作，交延长线于，由≌，得出，由证得≌得出，由证得≌得出，，则是等腰直角三角形，得出，即可得出结论．
20.【答案】解：当时，四边形是平行四边形．
理由：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
若四边形是平行四边形，则，
，
，
即当时，四边形是平行四边形．
如图，过作于．
在中，，，
．
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
．
在中，，，
．
设，则，
在与中，
，
，
解得，
即，
．
当时，由知，
，
．
存在如图，过作直线，使，交于，交于，
，
．
若垂直平分，
则，
由知，，
易证，
，
由勾股定理得，
，
负值舍去，
当时，点在线段的垂直平分线上．
【解析】见答案．
21.【答案】解：； ．
、和之间的关系是．
理由：如图中，连接．
，，
．
如图：分三种情况讨论：
如图所示：当点在线段的延长线上时，
，，
．
．
如图所示：当点在线段的延长线上且在直线的上方时，
，，
．
当点在直线的下方时，设交于连接，
是外角，
，
同理，
，
，，
．
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质、平行线的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．
只要证明是等腰直角三角形，四边形是长方形即可解决问题；
连接利用三角形的外角的性质即可解决问题；
分三种情形分别利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】
解：如图中，
四边形是正方形，
，，，
点、、分别是边、、上的中点，
，，，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
。
故答案为；．
见答案．
见答案．
22.【答案】解：；；
四边形为正方形，理由是：
，平分，
，
四边形是菱形，
，
，
，
四边形是损矩形，
由得
菱形形为正方形
如图，过作于，过作，交的延长线于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
≌，
，
，，
，
，
．
【解析】
【分析】
本题是四边形的综合题，也是新定义问题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，认真阅读理解新定义，第问有难度，作辅助线构建全等三角形是关键．
以为公共边，有；
证明四边形是菱形，根据，由得，从而得到结论；
过作于，过作，交的延长线于，证明≌，得，根据题意可得，从而得结论．
【解答】
解：由图得：四边形是损矩形，和有公共边，在同侧有和，此时；
见答案．
23.【答案】解：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
如图，此时共有个“友好矩形”，矩形和矩形．
易知矩形和矩形的面积都等于面积的倍，
的“友好矩形”的面积相等．
如图，此时共有个“友好矩形”，矩形、矩形及矩形，其中矩形的周长最小．
证明：易知这三个矩形的面积相等，令其为，设矩形、矩形及矩形的周长分别为，，，中，，，
则，，，
，
易知，且，
，即，同理可得，，
最小，即矩形的周长最小．
24.【答案】解：由矩形的性质可知，
：：，
是的中点．
又，
，
，
即是等边三角形，
故，
；
，
，
，
．
【解析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，矩形的轴对称性根据矩形的对角线互相平分且相等可得，再求出是的中点，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再根据列式计算即可求出；再根据得到，然后进行计算即可得解
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