广东省2022届高三下学期5月模拟押题卷（二）数学试题（Word版含答案）

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2022届广东省普通高等学校模拟押题卷
数学（二）
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数（为虚数单位），则（ ）
A.1 B.2 C.0 D.
3.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知单位向量，满足，则向量，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.街头篮球比赛后，红、黄两队共6名队员（红队3人，黄队3人）合照，要求6人站成一排，红队3人中有且只有2名队员相邻，则不同排队的方法共有（ ）
A.432种 B.216种 C.144种 D.72种
8.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A.事件与事件是对立事件 B.事件与事件是相互独立事件
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.已知与线性相关，且求得回归方程为，变量，的部分取值如表所示，则（ ）
30 40 50 60
25 30 40 45
A.与负相关 B.
C.时，的预测值为10.5 D.处的残差为1.5
10.三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线.已知圆的圆心在的欧拉线上，为坐标原点，点与点在圆上，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A.圆的方程为
B.的方程为
C.圆上的点到的最大距离为3
D.若点在圆上，则的取值范围是
11.将函数的图象向右平移个单位得到奇函数的图象，向左平移个单位得到偶函数的图象，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
12.如图，在正三棱柱中，，，则下列结论正确的是（ ）
A.不存在，使得异面直线与垂直
B.当时，异面直线和所成角的余弦值为
C.若，当时，三棱锥的外接球的表面积为
D.过且与直线和直线所成角都是的直线有两条
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，，，则，，的大小关系为______.（用“>”连接）
14.已知，是抛物线上两点，若线段的中点到抛物线的准线的距离为5，则直线的方程可能是______.（本题答案不唯一，符合题意即可）
15.已知数列是首项为1的等差数列，其前项和为，且，记，则数列的前项和______.
16.已知函数的最大值为，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，，，分别是角，，的对边.若，，.
（1）求的长；
（2）求的面积.
18.（本小题满分12分）
已知数列中，且，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）从条件①，②中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答.
求数列______的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本小题满分12分）
某学生自制数学成绩成长曲线，统计了自高一入学至今100次数学测试的成绩，并将结果统计如下：（记成绩不低于120分为优秀）
测试成绩（单位：分）
次数 10 9 31 30 15 5
（1）受新冠疫情影响，在100次测试中有30次是在线上教学期间进行的，且这30次成绩中有10次成绩是优秀，补全列联表，并判断能否有95%的把握认为该学生数学测试成绩是否优秀与教学方式有关；
非优秀 优秀 合计
线上教学
线下教学
合计 100
（2）从30次在线上教学期间进行的数学测试中，按成绩是否优秀用分层抽样法抽取6次测试成绩，再从中随机抽取3次测试成绩进行学情分析，记3次测试成绩中优秀的次数为，求的分布列与数学期望.
附：，
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20.（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，，与交于点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的标准方程与离心率；
（2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积.
22.（本小题满分12分）
已知函数，求证：
（1）函数有且只有一个极值点；
（2）在上恒成立.
2022押题卷·数学（二）
参考答案
1.D 因为集合，集合，所以，故选D.
2.A 复数，则，故选A..
3.C 因为，所以，当时，.当且仅当时取等号，故充分性成立；反之，若，即，所以，所以，故必要性成立.综上，“”是“”的充要条件，故选C.
4.B 由题知，因为，所以，所以，所以向量，的夹角为60°，故选B.
5.C 如图，∵，为椭圆的两个焦点，∴，，
的周长为
若最小，则最大.
又当轴时，最小，此时，故，.
6.B 因为，所以.故选B.
7.A 由题意，分三步进行分析：①将3名红队队员分成2组，有种分组方法，将2人的一组看成一个元素，考虑2人之间的顺序，有种情况；②将黄队的3人全排列，有种排法，排好后，有4个空位；③在4个空位中任选2个，安排3名红队队员分成的两个组，有种方法，则6人站成一排照相，3名红队队员中有且只有两人相邻的站法有种，故选A.
8.C 对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，事件与事件具有关联性，不是相互独立事件，故B错误；对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有种，其中，事件发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有种，所以，因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以，，所以，故C正确；对于D，事件表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故，，故D错误，故选C.
9.BC 与正相关，A错误；因为，，所以样本中心点的坐标为，代入线性回归方程得，解得，B正确；时，，C正确；时，，残差为，D错误.故选BC.
10.BCD 因为圆的圆心在的欧拉线上，由题意可知，故的欧拉线即为的中垂线，而，，故的中点为，而，故的中垂线方程为，B正确；
又因为，，所以，设圆心为，则圆的方程为，
将代入可得或4，所以的方程为或，A错误；
因为过圆心，所以圆上的点到的最大距离为圆的半径3，C正确；
因为点在圆上，设，圆心在上，半径为3，则，D正确.
11.AD 由题知，奇函数，偶函数.因为奇函数的图象关于原点对称，所以，所以，，所以，，因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以，，所以，，所以，，所以，，因为，所以或，故选AD.
12.ABC 对于A，假设存在，使得，又，，所以平面，所以，这与是正三角形矛盾，所以假设不成立，故A正确；对于B，当时，，取靠近点的三等分点，连接，，则，则或其补角即异面直线和所成角，设，则，，在中，由余弦定理得，故B正确；对于C，，当时，由正弦定理得外接圆的半径，设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球球心为，半径为，则，，所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确；对于D，在平面和平面内，过点分别作直线和直线的平行线和，由异而直线所成的角的定义知：过的直线与直线和直线所成角与过的直线与直线和所成角相等，如图1，过作；如图2，过作，使得；如图3，过作，使得，共三条，故D错误，故选ABC.
图1 图2 图3
13. ，；，；，，则.
14.（本题答案不唯一，符合题意即可） 由题知，抛物线的准线为：，因为线段的中点到抛物线的准线的距离为5，所以线段的中点为.当斜率不存在时，符合题意；当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，代入，整理得，所以，所以，所以直线的方程为，令，得直线的方程为，即.本题答案不唯一，符合题意即可.
15. 设等差数列的公差为，则由，得，解得，所以，所以，所以数列的前项和
16. 因为，，所以的最大值为，易知函数有三个零点，等价于函数的图象与直线有三个交点，因为，所以当或时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增，所以，，又当时，；当时，，结合函数图象可知，若函数的图象与直线有三个交点，则.
17.解：（1）因为，，
所以，
又，
所以，
在中，由余弦定理得
整理可得，
解得或（舍去），即的长为4.
（2）因为，，，
所以，
所以
18.（1）证明：因为且，
所以当时，，
所以
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以，
因为，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）解：选①：因为，所以，
则
选②：因为，所以，则，（i）
，（ii）
（i）（ii）得
19.解：（1）列联表如下：
非优秀 优秀 合计
线上教学 20 10 30
线下教学 30 40 70
合计 50 50 100
则
所以有95%的把握认为该学生数学测试成绩是否优秀与教学方式有关，
（2）从30次在线上教学期间进行的数学测试中，按成绩是否优秀用分层抽样法抽取6次测试成绩，其中优秀的有2次，非优秀的有4次，从中随机抽取3次测试成绩，则优秀的次数的所有可能取值为0，1，2，
所以的分布列为
0 1 2
所以的数学期望为
20.（1）证明：在直四棱柱中，平面，
所以.
因为，，所以
又，即，，
所以，
又，所以，
所以，
所以，即
又，所以平面.
（2）解：如图，以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
由（1）知平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则
令，得，
所以
又二面角是钝角，
所以二面角的余弦值是
21.解：（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，
则
因为一条渐近线方程为，所以，
又，解得，，
所以双曲线的标准方程为，
离心率为.
（2）设直线：，，，
联立
则，
所以，
由
解得或（舍去），
所以，
：，令，得，
所以的面积为
22.证明：（1）因为，所以，
令，则，
所以是增函数，即是增函数，
又，
所以存在唯一的，使得，
且当时，；
当时，
所以函数有且只有一个极值点，.
（2）要证，即证.
①当时，，，显然成立；
②当时，，结合已知可得，，
于是问题转化为证明：
即证
令，
则，
令，
则，且在上单调递增，
因为，，
所以存在使得，即，
所以在上单调递减，在上单调递增
又，，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
故，即得证
综上，在上恒成立