2.4单摆
1．如图甲所示，O是单摆的平衡位置，是摆球所能达到的最远位置，以向右摆动为正方向，此单摆的振动图象如图乙所示，则（ ）
A．单摆的振幅是
B．单摆的摆长约为
C．摆球经过O点时，速度最大，加速度为零
D．P点时刻摆球正在间向正方向摆动
【答案】B
【详解】
A．由振动图像可知，单摆的振幅是，选项A错误；
B．单摆的周期为2s，根据
可得摆长
选项B正确；
C．摆球经过O点时，速度最大，但是有向心加速度，即加速度不为零，选项C错误；
D．P点时刻摆球正在间向负方向摆动，选项D错误。
故选B。
2．在淄博走时准确的摆钟，被考察队员带到珠穆朗玛峰的顶端，则这个摆钟（ ）
A．变慢了，重新校准应减小摆长 B．变慢了，重新校准应增大摆长
C．变快了，重新校准应减小摆长 D．变快了，重新校准应增大摆长
【答案】A
【详解】
根据单摆周期公式
在淄博走时准确的摆钟，被考察队员带到珠穆朗玛峰的顶端，重力加速度g变小，周期T变大，所以摆钟变慢了，为了使T变回原来的值，需要重新校准，应减小摆长L。
故选A。
3．如图是两个单摆的振动图象，以下说法正确的是（ ）
A．甲、乙两个摆的频率之比为1：1 B．甲、乙两个摆的频率之比为1：2
C．甲、乙两个摆的摆长之比为1：2 D．甲、乙两个摆的摆长之比为1：4
【答案】D
【详解】
AB．由图可知甲、乙两个摆的周期之比为1:2，则频率之比为2:1，选项AB错误；
CD．根据
可得
可知甲、乙两个摆的摆长之比为1：4，选项C错误，D正确。
故选D。
4．如图所示，一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球，上端系在位于光滑斜面O处的钉子上，小球处于静止状态，细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度，使小球偏离平衡位置，最大偏角小于5%。已知斜面倾角为θ，悬点到小球球心的距离为L，重力加速度为g。则小球回到最低点所需的最短时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为小球偏离平衡位置，最大偏角小于5%，小球的运动可以看作单摆，根据牛顿第二定律理单摆的周期公式
小球回到最低点所需的最短时间为
解得
故选C。
5．将一单摆的周期变为原来的2倍，下列措施可行的是（ ）
A．只将摆球的质量变为原来的
B．只将摆长变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将振幅变为原来的2倍
【答案】C
【详解】
根据单摆的周期公式
将一单摆的周期变为原来的2倍，则需要将摆长变为原来的4倍。
故选C。
6．两个质量相等的弹性小球分别挂在l1＝1.00m，l2＝0.25m的细绳上，两球重心等高，如图所示。现将B球在竖直面内拉开一个较小的角度放开后，从B球开始运动计算，经过4s两球相碰的次数为（ ）
A．3次 B．4次
C．5次 D．6次
【答案】C
【详解】
先计算两球运动的周期，
T1＝2π＝2 s
T2＝2π＝1 s
从B开始运动经，即0.25 s第一次相碰，并经，即1 s第二次相碰；再经，即0.5 s第三次相碰，可推证到第5次相碰共用时3.25 s，到第六次相碰共用时4.25 s，故经过4s两球相碰的次数为5次。
故选C。
7．如图所示，曲面AO是一段半径为2m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为10cm，现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端的速度分别为v1和v2，经历的时间分别为t1和t2，那么 （ ）
A．v1< v2，t1B．v1>v2，t1=t2
C．v1=v2，t1=t2
D．以上三项都有可能
【答案】B
【详解】
因为AO弧长远小于半径，所以小球从A、B处沿圆弧滑下可等效成摆长为2m单摆，即做简谐运动，单摆的周期与振幅无关
根据机械能守恒定律得
解得
故选B。
8．图示为同一位置的甲乙两个单摆的振动图像，根据图像可以知道两个单摆的（ ）
A．甲的摆长大于乙的摆长
B．甲摆球质量大于乙摆球质量
C．甲摆球机械能大于乙摆球机械能
D．摆球甲的最大偏角大于乙的最大偏角
【答案】A
【详解】
A．由图可知，甲的周期大于乙的周期，根据周期公式可知，甲的的摆长大于乙的摆长，A正确；
BC．单摆跟摆球质量无关，所以无法确定摆球质量关系及机械能关系，BC错误；
D．由图可知，甲球摆动的振幅小于乙球摆动的振幅，故甲球的最大偏角小于乙球的最大偏角，D错误。
故选A。
9．如图所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自A点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v1，用时为t1；第二次自B点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v2，用时为t2，下列关系正确的是（ ）
A．t1＝t2，v1>v2
B．t1>t2，v1C．t1v2
D．t1>t2，v1>v2
【答案】A
【详解】
从A、B点均做单摆模型运动，由单摆周期公式
可得
，
R为球面半径，故t1＝t2；A点离平衡位置远些，高度差大，故从A点滚下到达平衡位置O时速度大，即v1＞v2。故A正确，BCD错误。
故选A。
10．夏天的河上，有几名熟悉水性的青年将绳子挂在桥下荡秋千，绳子来回荡几次后跳入河中，现把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，则下列说法正确的是（ ）
A．小王荡秋千时，其周期大于6.28s
B．图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力为零
C．小明荡到图中对应的b点时，动能最小
D．该秋千的绳子长度约为10m
【答案】D
【详解】
A．小王荡秋千时，根据
可知做单摆运动的物体的周期与质量无关，其周期等于6.28s，故A错误；
B．图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力最大，故B错误；
C．小明荡到图中对应的b点时，b点为平衡位置，速度最大，动能最大，故C错误；
D．根据
计算得l≈10m，故D正确。
11．如图，两个摆长相同的单摆一前一后悬挂在同一高度，虚线表示竖直方向，分别拉开一定的角度（都小于5°）同时由静止释放，不计空气阻力。沿两单摆平衡位置的连线方向观察，释放后可能看到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因两个单摆的摆长相同，根据单摆周期公式，可知两个单摆的周期相同，两摆同时由静止释放，应同时到达平衡位置，同时到达右边最大位移处。
故选C。
12．某小组利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，即用在同一张底片上多次曝光的方法。从摆球离开左侧最高点A时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从A位置由静止运动到右侧最高点B的照片，如图所示，其中摆球运动到最低点O时摆线被一把刻度尺挡住。对照片进行分析可知（ ）
A．摆球在A点所受的合力等于在B点所受的合力
B．左侧摆线与右侧摆线长度之比为9：4
C．摆球经过O点前后瞬间摆线上的拉力大小不变
D．从A点到O点的过程中，重力对摆球做功的功率不断变大
【答案】B
【详解】
A.摆球在A点受到的合力是重力沿切线方向的分力，等于，摆球在A点和B点时，摆线与竖直方向夹角不同，所以合力大小不等，故A错误；
B.根据图可知，摆球从A到O运动时间(t0是曝光一次的时间)，从O到B运动时间，而，所以，由单摆周期公式可得，左侧和右侧摆长之比为，故B正确；
C.摆球经过O点时速度不变，但摆线长变短，由向心力公式可知，摆线上的拉力变大，故C错误；
D.摆球在A点速度为零，所以在A点重力的功率为零，摆球在C的速度与重力垂直，重力的功率也为零，所以从A点到O点的过程中，重力对摆球做功的功率先变大后变小，故D错误。
故选B。
13．如图，长为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球（小球可视为质点），在O点正下方距O点为的P点固定一小钉子，现将小球拉至A点，使细线与竖直方向间夹角为θ（θ很小），然后由静止释放小球，小球运动的最低点为B，点C（图中未标出）是小球能够到达的左方最高位置，PC与竖直方向夹角仍然很小。A、B、P、O、C在同一竖直平面内，不计一切机械能损失。下列说法正确的有（ ）
A．点C与点A等高
B．点C在点A上方
C．小球摆动的周期为没有钉子时周期的倍
D．小球在平衡位置左、右两侧振幅之比为1：2
【答案】ACD
【详解】
AB．由于不计一切机械能损失，小球在从A摆到C的过程中机械能守恒，C与A等高，A正确，B错误；
C．没有钉子时的周期
有钉子后，周期变为
对比可知，C正确；
D．单摆的最大动能与最大势能相等，即
设单摆的摆长为L，由单摆的原理可知，代入可得
左右两侧的最大速度相等，摆长之比为1：4，可知振幅之比为1：2，D正确。
故选ACD。
14．细长轻绳下端拴一小球构成单摆，摆长为，在悬挂点正下方摆长处有一个能挡住摆线的钉子，如图所示。现将单摆向左方拉开一个小角度然后无初速度释放。忽略空气阻力，对于以后的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小
B．摆球在左、右两侧上升的最大高度一样
C．摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等
D．摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的2倍
【答案】AB
【详解】
A．根据单摆做简谐运动的周期公式
可知，与及成正比，摆长减小，周期变小，故A项正确；
B．摆球在摆动过程中，空气阻力忽略，悬线拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，摆球在左、右两侧上升的最大高度一样，故B项正确；
CD．假若无钉子时，摆球摆至右侧最高点，与初位置对称，若有钉子，摆球摆至右侧最高点，、在同一水平线上，如图所示，由几何关系知，，故D项错误；
摆球在平衡位置左侧走过的最大弧长大于在右侧走过的最大弧长，故C项错误。
故选AB。
15．如图是均匀小球做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N点关于O点对称。下列说法正确的是___________。
A．小球受重力、绳子拉力和回复力
B．小球所受合外力就是单摆的回复力
C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0
D．小球经过M点的位移与小球在N的位移大小相等、方向相反
E.小球在A、B两点仍受绳子拉力
【答案】CDE
【详解】
A．物体只受两个力：重力、绳子拉力，A错误；
B．回复力的大小为振动方向上的合外力，对于单摆，它是重力沿运动方向的分力，因为小球做的是圆周运动，所以法向合外力等于向心力，B错误；
C．平衡位置是指回复力为0的位置，但合外力不一定是0，比如在单摆O点，回复力为0，但由于在做圆周运动，法向合外力是指向圆心的，C正确；
D．位移既有大小，也有方向，根据运动的对称性可知，D正确；
E．在最大位移处，小球不做圆周运动，法向合外力为0，所以绳子拉力等于重力在法向的分力，E正确。
故选CDE。
16．如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球。在距O点处的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C（图中未标出）是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，当地的重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．点C与点B高度差小于h
B．点C与点B高度差等于h
C．小球摆动的周期等于
D．小球摆动的周期等于
【答案】BC
【详解】
AB．小球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，两侧最高点动能均为零，故重力势能也相等，故最大高度相同，故A错误，B正确；
CD．小球B→A→B的时间为
小球B→C→B的时间为
故小球摆动的周期为
故C正确，D错误。
故选BC。
17．如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，且甲、乙两摆球质量相等，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是（ ）
A．甲的摆长与乙的摆长相等
B．甲的摆长比乙的摆长长
C．甲的机械能比乙的大
D．在时有负向最大加速度的是乙摆
【答案】AC
【详解】
AB．从图中可得两者的周期相同，都为2.0s，又知道两者在同一个地点测量的，g相同，所以根据单摆周期公式
可知两单摆的摆长相等，故A正确，B错误；
C．甲摆的振幅为10cm，乙摆的振幅为7cm，则甲摆的振幅比乙摆大，由于甲、乙两摆球质量相等，因此甲球的机械能比乙球的机械能大。故C正确；
D．在t=0.5s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负的最大，则乙摆具有正向最大加速度。故D错误。
故选AC。
18．将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像提供的信息作出的下列判断中，正确的是（ ）
A．t＝0.2 s时摆球正经过最低点
B．t＝1.1 s时摆球正经过最低点
C．摆球摆动过程中机械能不变
D．摆球摆动的周期是T＝1.2 s
【答案】AD
【详解】
A. 单摆在最低点悬线拉力最大，最高点拉力最小，t＝0.2 s时拉力最大，摆球正经过最低点，A正确；
B. t＝1.1 s时拉力最小，摆球正经过最高点，B错误；
C. 摆球摆动过程中，拉力的峰值越来越小，说明摆球在最低点的速度越来越小，则机械能越来越小，C错误；
D. 摆球从最低点开始摆动，要经过两个最高点才能回到初始位置，所以摆球的每个周期都包含远走一个波峰两个波谷，则单摆的周期是
D正确。
故选AD。
19．甲、乙两位同学分别使用图甲中所示的同一套装置，观察单摆做运动时的振动图象。已知两人实验时所用的摆长相同，落在同一木板上的细砂分别形成的曲线如图乙中N1、N2所示。下列关于两图线相关的分析，正确的是______
A．N1表示砂摆动的幅度较大，N2转动的度较小
B．N1与N2动的周期相同
C．N1对应的木板运动速度比N2对应的木板运动速度大
D．N1对应的砂摆摆到最低点时，摆线的拉力比N2对应的拉力大
【答案】BC
【详解】
A．由图乙可知，N1表示砂摆振动的幅度与N1表示砂摆振动的幅度相同，故A错误；
B．由公式可知，两摆由于摆长相同，则由单摆的性质可知，两摆的周期相同，故B正确；
C．由图可知，N1对应的木板的时间为T，N2对应的木板运动的时间为2T，则N1对应的木板运动速度比N2对应的木板运动速度大，故C正确；
D．由动能定理有
在最低点有
解得
由于两摆的振动幅度相同，即相同，则拉力相同，故D错误。
故选BC。
20．细长轻绳拴一质量为m的小球构成单摆，摆长为L。将单摆拉开一个小角度，然后无初速地释放，小球在竖直平面内做简谐运动，其振动图像如图所示，图中A、T为已知量，重力加速度为g。（提示：；当θ趋近于0时，）
(1)写出小球做简谐运动的位移x与运动时间t的函数表达式；
(2)求小球运动过程中的最大速度；
(3)求小球运动过程中轻绳的最大拉力。
【答案】(1)或；(2)；(3)
【详解】
(1)简谐运动的角速度
位移x与运动时间t的函数表达式
或
(2)小球在最低点的速度最大记为vm，
从最高点运动到最低点
得
当θ趋近于0时，
可得
(3)摆动到最低点时拉力最大，最大拉力为Tmax
可得2.4单摆
1．如图甲所示，O是单摆的平衡位置，是摆球所能达到的最远位置，以向右摆动为正方向，此单摆的振动图象如图乙所示，则（ ）
A．单摆的振幅是
B．单摆的摆长约为
C．摆球经过O点时，速度最大，加速度为零
D．P点时刻摆球正在间向正方向摆动
2．在淄博走时准确的摆钟，被考察队员带到珠穆朗玛峰的顶端，则这个摆钟（ ）
A．变慢了，重新校准应减小摆长 B．变慢了，重新校准应增大摆长
C．变快了，重新校准应减小摆长 D．变快了，重新校准应增大摆长
3．如图是两个单摆的振动图象，以下说法正确的是（ ）
A．甲、乙两个摆的频率之比为1：1 B．甲、乙两个摆的频率之比为1：2
C．甲、乙两个摆的摆长之比为1：2 D．甲、乙两个摆的摆长之比为1：4
4．如图所示，一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球，上端系在位于光滑斜面O处的钉子上，小球处于静止状态，细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度，使小球偏离平衡位置，最大偏角小于5%。已知斜面倾角为θ，悬点到小球球心的距离为L，重力加速度为g。则小球回到最低点所需的最短时间为（ ）
A． B． C． D．
5．将一单摆的周期变为原来的2倍，下列措施可行的是（ ）
A．只将摆球的质量变为原来的
B．只将摆长变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将振幅变为原来的2倍
6．两个质量相等的弹性小球分别挂在l1＝1.00m，l2＝0.25m的细绳上，两球重心等高，如图所示。现将B球在竖直面内拉开一个较小的角度放开后，从B球开始运动计算，经过4s两球相碰的次数为（ ）
A．3次 B．4次
C．5次 D．6次
7．如图所示，曲面AO是一段半径为2m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为10cm，现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端的速度分别为v1和v2，经历的时间分别为t1和t2，那么 （ ）
A．v1< v2，t1B．v1>v2，t1=t2
C．v1=v2，t1=t2
D．以上三项都有可能
8．图示为同一位置的甲乙两个单摆的振动图像，根据图像可以知道两个单摆的（ ）
A．甲的摆长大于乙的摆长
B．甲摆球质量大于乙摆球质量
C．甲摆球机械能大于乙摆球机械能
D．摆球甲的最大偏角大于乙的最大偏角
9．如图所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自A点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v1，用时为t1；第二次自B点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v2，用时为t2，下列关系正确的是（ ）
A．t1＝t2，v1>v2
B．t1>t2，v1C．t1v2
D．t1>t2，v1>v2
10．夏天的河上，有几名熟悉水性的青年将绳子挂在桥下荡秋千，绳子来回荡几次后跳入河中，现把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，则下列说法正确的是（ ）
A．小王荡秋千时，其周期大于6.28s
B．图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力为零
C．小明荡到图中对应的b点时，动能最小
D．该秋千的绳子长度约为10m
11．如图，两个摆长相同的单摆一前一后悬挂在同一高度，虚线表示竖直方向，分别拉开一定的角度（都小于5°）同时由静止释放，不计空气阻力。沿两单摆平衡位置的连线方向观察，释放后可能看到的是（ ）
A． B． C． D．
12．某小组利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，即用在同一张底片上多次曝光的方法。从摆球离开左侧最高点A时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从A位置由静止运动到右侧最高点B的照片，如图所示，其中摆球运动到最低点O时摆线被一把刻度尺挡住。对照片进行分析可知（ ）
A．摆球在A点所受的合力等于在B点所受的合力
B．左侧摆线与右侧摆线长度之比为9：4
C．摆球经过O点前后瞬间摆线上的拉力大小不变
D．从A点到O点的过程中，重力对摆球做功的功率不断变大
13．如图，长为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球（小球可视为质点），在O点正下方距O点为的P点固定一小钉子，现将小球拉至A点，使细线与竖直方向间夹角为θ（θ很小），然后由静止释放小球，小球运动的最低点为B，点C（图中未标出）是小球能够到达的左方最高位置，PC与竖直方向夹角仍然很小。A、B、P、O、C在同一竖直平面内，不计一切机械能损失。下列说法正确的有（ ）
A．点C与点A等高
B．点C在点A上方
C．小球摆动的周期为没有钉子时周期的倍
D．小球在平衡位置左、右两侧振幅之比为1：2
14．细长轻绳下端拴一小球构成单摆，摆长为，在悬挂点正下方摆长处有一个能挡住摆线的钉子，如图所示。现将单摆向左方拉开一个小角度然后无初速度释放。忽略空气阻力，对于以后的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小
B．摆球在左、右两侧上升的最大高度一样
C．摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等
D．摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的2倍
15．如图是均匀小球做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N点关于O点对称。下列说法正确的是___________。
A．小球受重力、绳子拉力和回复力
B．小球所受合外力就是单摆的回复力
C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0
D．小球经过M点的位移与小球在N的位移大小相等、方向相反
E.小球在A、B两点仍受绳子拉力
16．如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一小球。在距O点处的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释放小球。点B是小球运动的最低位置，点C（图中未标出）是小球能够到达的左方最高位置。已知点A与点B之间的高度差为h，当地的重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．点C与点B高度差小于h
B．点C与点B高度差等于h
C．小球摆动的周期等于
D．小球摆动的周期等于
17．如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，且甲、乙两摆球质量相等，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是（ ）
A．甲的摆长与乙的摆长相等
B．甲的摆长比乙的摆长长
C．甲的机械能比乙的大
D．在时有负向最大加速度的是乙摆
18．将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像提供的信息作出的下列判断中，正确的是（ ）
A．t＝0.2 s时摆球正经过最低点
B．t＝1.1 s时摆球正经过最低点
C．摆球摆动过程中机械能不变
D．摆球摆动的周期是T＝1.2 s
19．甲、乙两位同学分别使用图甲中所示的同一套装置，观察单摆做运动时的振动图象。已知两人实验时所用的摆长相同，落在同一木板上的细砂分别形成的曲线如图乙中N1、N2所示。下列关于两图线相关的分析，正确的是______
A．N1表示砂摆动的幅度较大，N2转动的度较小
B．N1与N2动的周期相同
C．N1对应的木板运动速度比N2对应的木板运动速度大
D．N1对应的砂摆摆到最低点时，摆线的拉力比N2对应的拉力大
20．细长轻绳拴一质量为m的小球构成单摆，摆长为L。将单摆拉开一个小角度，然后无初速地释放，小球在竖直平面内做简谐运动，其振动图像如图所示，图中A、T为已知量，重力加速度为g。（提示：；当θ趋近于0时，）
(1)写出小球做简谐运动的位移x与运动时间t的函数表达式；
(2)求小球运动过程中的最大速度；
(3)求小球运动过程中轻绳的最大拉力。
