§4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差数列的判断与证明方法．
知识点一 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．
思考 你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？
答案 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．
知识点二 等差中项的概念
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b.
思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.
答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4).
知识点三 等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
思考 由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
答案 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
知识点四 从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
1．数列4,4,4，…是等差数列．( √ )
2．数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列．( × )
3．若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
4．若三个数a，b，c满足a＋c＝2b，则a，b，c一定是等差数列．( √ )
一、等差数列的通项公式及其应用
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
解 (1)由题意知
解得
(2)由题意知
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.
反思感悟 等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
跟踪训练1 在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝ .
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝ .
(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝ .
答案 (1)10 (2)－ (3)58
解析 (1)由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×，
故a1＝10.
(2)设首项为a1，公差为d，
则解得
(3)由题意得，d＝6－2＝4，
把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
∴a15＝4×15－2＝58.
二、等差数列的判定与证明
例2 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
解 (1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由上述可知＝＋(n－1)d＝，
∴an＝，n∈N*.
延伸探究
将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝＝.
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)解 由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n.
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2，n∈N*.
反思感悟 判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列．
跟踪训练2 已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，又b1＝＝1，
∴{bn}是首项为1，公差为的等差数列．
(2)解 由(1)知bn＝n＋，
∴an－1＝，∴an＝.
三、等差中项及应用
例3 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
解 因为－1，a，b，c，7成等差数列，
所以b是－1与7的等差中项，
则b＝＝3，
又a是－1与3的等差中项，
所以a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，
所以c＝＝5.
所以该数列为－1,1,3,5,7.
(2)已知，，成等差数列．求证：，，也成等差数列．
证明 因为，，成等差数列，
所以＝＋，即2ac＝b(a＋c)．
因为＋＝
＝
＝
＝＝，
所以，，成等差数列．
反思感悟 若a，A，b成等差数列，则A＝；反之，由A＝也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项 A＝.
跟踪训练3 (1)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
(2)已知a，b，c成等差数列，证明：a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)也成等差数列．
证明 因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.
又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)
＝0，
所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)．
故a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．
等差数列的实际应用
典例 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
[素养提升] (1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
(2)能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现．
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N*)，则它的公差d为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
答案 C
解析 由等差数列的定义，得d＝－2.
2．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26 B．29 C．39 D．52
答案 C
解析 ∵5，x，y，z，21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.
3．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为( )
A．21 B．22 C．23 D．24
答案 B
解析 ∵公差d＝a2－a1＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)×(－4)＝88－4n，
令
即 21
又∵n∈N*，∴n＝22.
4．已知＋1与－1的等差中项为a，等差数列{an}的通项公式为an＝a2n＋1(n∈N*)，公差为d，则a＋d＝ .
答案 3＋
解析 由题意，知a＝＝，d＝3，
所以a＋d＝3＋.
5．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为 升．
答案
解析 设从最上至最下每节的容量构成等差数列{an}，公差为d，由题意知
则解得
故a5＝a1＋4d＝.
1．知识清单：
(1)等差数列的有关概念．
(2)等差数列的通项公式．
(3)等差数列的判定与证明．
2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．
3．常见误区：在具体应用问题中项数不清．
1．设数列{an}是等差数列，若a2＝4，a4＝6，则an等于( )
A．n B．2n C．2n－1 D．n＋2
答案 D
解析 ∵a4－a2＝2d＝6－4＝2.
∴d＝1.∴a1＝a2－d＝3.∴an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于( )
A．10 B．18 C．20 D．28
答案 C
解析 设公差为d，
则a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝2a1＋9d＝10.
∴3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝20.
3．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝a，则公差d等于( )
A．0 B. C．1 D．2
答案 AB
解析 根据题意知，a4＋a8＝a a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.
又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，
解得d＝或d＝0.
4．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵b是x，2x的等差中项，
∴b＝＝，
又∵x是a，b的等差中项，
∴2x＝a＋b，
∴a＝，∴＝.
5．在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 对an＋1＝取倒数得＝＋3，
∴－＝3，
∴是以为首项，3为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)·3
＝3n－＝，
∴an＝，
∴a20＝.
6．在等差数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则该数列的公差为 ．
答案
解析 ∵an＋1＝an＋，
∴an＋1－an＝(n∈N*)，
∴数列{an}是以2为首项，为公差的等差数列．
7．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是 ．
答案 a＝－b或a＝3b
解析 由等差中项的定义知，x＝，x2＝，
∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0，
∴(a－3b)(a＋b)＝0，∴a＝3b或a＝－b.
8．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费 元．
答案 23.2
解析 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)问112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间有多少项？
解 设数列{an}的公差为d，则
解得
(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，
解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项．
(3)由80<3n－5<110，解得
28所以n的取值为29,30，…，38，共10项．
10．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由＝＝＝＝＝＋，
得－＝，
故数列是首项为1，公差为的等差数列．
(2)解 由(1)知＝＋(n－1)×＝，
所以an＝，n∈N*.
11．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
答案 AC
解析 A项中，∵a，b，c为等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴2·(2b)＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确．
C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．故C正确．
12．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设an＝－24＋(n－1)d，n∈N*，
由
解得13．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则( )
A．a3a6>a4a5 B．a3a6C．a3＋a6>a4＋a5 D．a3a6＝a4a5
答案 B
解析 由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0.
14．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝ .
答案 n2(n∈N*)
解析 由题设可得－＋1＝0，
即－＝1，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
故通项公式为＝n，
所以an＝n2(n∈N*)．
15．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝ .
答案 ，n∈N*
解析 ∵a－a＝4，
∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，
∴a＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
又an>0，∴an＝，n∈N*.
16．若数列{bn}对于n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．例如cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 因为an＋an＋1＝2n(n∈N*)，①
所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，②
②－①得an＋2－an＝2(n∈N*)，
所以数列{an}是公差为2的准等差数列．
(2)解 因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，
所以a1＋a2＝2×1，
即a2＝2－a.
因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列，
a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列，
所以当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a，
当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1.
所以an＝第2课时 等差数列的性质
学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．
知识点一 等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
知识点二 等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
4．等差数列{an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；
d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列．
思考 若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？
答案 不一定．如常数列{an},1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.
1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( )
A．5 B．8 C．10 D．14
答案 C
解析 a1＋a7＝a3＋a5＝10.
2．在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于( )
A．2 B．20 C．100 D．不确定
答案 A
解析 ∵a100－a90＝10d，
∴10d＝20，即d＝2.
3．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.
答案 33
解析 由题意得d＝＝＝3.
∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.
4．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.
答案 15
解析 由等差数列的性质，得a7＋a9＝a4＋a12＝16，
又∵a4＝1，
∴a12＝15.
一、an＝am＋(n－m)d的应用
例1 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
解 方法一 (利用an＝am＋(n－m)d)
设数列 {an}的公差为d，
则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，
所以d＝＝＝，
所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
方法二 (利用隔项成等差数列)
因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，
设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，
所以a60＝a15＋3d，得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24.
反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
跟踪训练1 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
答案 8
解析 方法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
方法二 由＝＝d，
得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.
二、等差数列性质的应用
例2 (1)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )
A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
答案 B
解析 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，
所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
答案 C
解析 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，
所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．
又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，
所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
反思感悟 等差数列运算的两种常用思路
(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
跟踪训练2 (1)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－ C．2 D.
答案 C
解析 由3＋an＝an＋1，
得an＋1－an＝3.
所以{an}是公差为3的等差数列．
又a2＋a4＋a6＝9，
且a2＋a6＝2a4，
所以3a4＝9，
则a4＝3，
所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，
故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
答案 35
解析 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，
所以数列{an＋bn}也构成等差数列，
所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
所以2×21＝7＋a5＋b5，
所以a5＋b5＝35.
三、等差数列中对称设项法的应用
例3 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解 (1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得所以这三个数为4,3,2.
(2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
反思感悟 等差数列的设项方法和技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式．
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出．
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出．
跟踪训练3 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
解 设第三个数为a，公差为d，
则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
由已知有
整理得
解得a＝1，d＝±.
当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；
当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.
综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.
数列问题如何选择运算方法
典例 在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
解 方法一 设数列{an}的公差为d.
则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d)
＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)＝4a10＝40，
∴a10＝10.
方法二 ∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，
∴a10＝10.
[素养提升] (1)等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a1，d，n)，然后解方程(组)；二是借助等差数列的性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法．
(2)本例中明确题目的运算对象，选择适当的运算方法，灵活运用运算技巧，充分体现数学运算的数学核心素养．
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A．3 B．－6 C．4 D．－3
答案 B
解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
所以d＝＝－6.
2．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )
A．3 B．－3 C. D．－
答案 A
解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
3．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13的值为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
答案 C
解析 ∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
∴a7＝20.
∴a1＋a13＝2a7＝40.
4．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是( )
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
答案 C
解析 因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
5．在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.
答案 10
解析 由5是a3和a6的等差中项，可得a3＋a6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a1＋a8＝a3＋a6＝10.
1．知识清单：
(1)等差数列通项公式的变形运用．
(2)等差数列的性质．
(3)等差数列中项的设法.
2．方法归纳：解方程组法．
3．常见误区：
(1)对等差数列的性质不理解而致错．
(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐．
1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为( )
A．12 B．8 C．6 D．4
答案 B
解析 由等差数列的性质，得
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
2．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为( )
A．7 B．5
C．3 D．1
答案 D
解析 由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.
3．若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于( )
A．13 B．3－
C．3－ D．5－
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝5，am＝3，
所以d＝＝.
所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－.
4．(多选)若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是( )
A．{|an|} B．{an＋1－an}
C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n}
答案 BCD
解析 数列－1,1,3是等差数列，
取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立．
若{an}是等差数列，利用等差数列的定义，
{an＋1－an}为常数列，
故是等差数列，B成立．
若{an}的公差为d，
则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，
故{pan＋q}是等差数列，C成立．
(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1，
故{2an＋n}是等差数列，D成立．
5．已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根
B．有两个相等的实根
C．有两个不等的实根
D．不能确定有无实根
答案 A
解析 因为a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，
所以a5＝3，
则方程为x2＋6x＋10＝0，
因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根．
6．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15 ＝________，若ak＝15，则k＝________.
答案 11 21
解析 ∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，
∴a9＝7.
故d＝＝＝.
∴a15＝a9＋(15－9)d＝7＋6×＝11，
∵ak＝a9＋(k－9)d＝15，
∴15－7＝(k－9)×，
∴k＝21.
7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
答案 －21
解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴它们的积为－21.
8．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
答案 1或2
解析 ∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
9．在等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
解 (1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，
得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17，
由
解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
10．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，得
解得或
又四个数成递减等差数列，所以d<0，
所以d＝－，故所求的四个数为11,8,5,2.
11．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则( )
A．d>0 B．d<0
C．a1d>0 D．a1d<0
答案 D
解析 由数列为递减数列，得再由指数函数性质得a1an－1>a1an，由等差数列的公差为d知，an－an－1＝d，所以a1an－1>a1an a1an－a1an－1<0 a1(an－an－1)<0 a1d<0.
12．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
答案 C
解析 设公差为d，
∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴5a8＝120，a8＝24，
∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.
13．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
答案 C
解析 由等差数列的性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，
由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，
所以a51＝0，
故a3＋a99＝2a51＝0.
14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d>0，
则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20.
由(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，
得3a＋3d＝7(2a－3d)，
∴24d＝11a，∴d＝，
∴最小的一份为a－2d＝20－＝.
15．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差d＝________，m＋n的值为________．
答案
解析 设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m>0,1－4n>0)．
设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1＝，
∴x2＝，数列的公差d＝＝，
∴数列的中间两项分别为＋＝，＋＝.
∴x1·x2＝m＝，x3·x4＝n＝×＝.
∴m＋n＝＋＝.
16．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bk}：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
解 由题意，知an＝3n＋2(n∈N*)，bk＝4k－1(k∈N*)，
两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得，
所以n＝k－1.而n∈N*，k∈N*，
所以设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1.
由已知
且r∈N*，可得1≤r≤25.
所以共有25个相同数值的项.