8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（1）(共22张PPT)

(共22张PPT)
空间点、直线、平面之间的位置关系（一）
导 语
前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素，我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结构特征.为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间的位置关系.
问题　生活中的一些物体给我们以平面的直观感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？
平面的几个特征：确对的平、可以无限延展、不计厚薄等
平面的画法及表示
画 法

表示 平面水平放置
平面竖直放置
（1）平行四边形的四个顶点：平面ABCD
（2）对角顶点：平面AC 或平面BD
（3）希腊字母：平面 α 或平面 β
例1　(多选)下列说法正确的是
A.平面是处处平的面
B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形
D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
√
解析　平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；
CD两种说法是错误的.
√
反思感悟　(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；
(2)“平面”无厚薄之分；
(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，
这是区别“平面”与“平面图形”的依据.
跟踪训练1　下列说法正确的是
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.一个平面可以将空间分成两部分
√
问题1　我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面
在凹凸不平的地面上放一个三条腿的凳子和一个四条腿的凳子，哪个稳定？
可以得到下面的的基本事实：
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1
A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
点A在直线l上，记作A∈l；
点B在直线l外，记作B l
过不在一条直线上的三个点，确定一个平面
问题2　
如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？
如果直线l与平面α有两个公共点呢？
若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？
基本事实 内容 图形 符号
基本事实2
如果一条直线上的两个
点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l α；否则，就说直线l不在平面α内，记作l α
问题3　把三角板的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？
基本事实 内容 图形 符号
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l
P∈α且P∈β
α∩β＝l，且P∈l
推论 内容 图形
推论1
推论2
推论3
问题1　利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有一个平面
经过两条平行直线，有且只有一个平面
推论1-3给我们提供了确定一个平面的另外几种方法
不共线的三点
一条直线和这条直线外一点
两条相交直线
两条平行直线
确定一个平面
例2　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明　方法一　(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
角度1　点、线共面问题
方法二　(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
反思感悟　证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”.
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个
平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”.
角度2　共线、共点问题
例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.
证明　如图，连接EF，D1C，A1B，
因为E为AB的中点，F为AA1的中点，
所以E，F，D1，C四点共面，可设D1F∩CE＝P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以由基本事实3可得P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点.
延伸探究
若将题目条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D，A，M三点共线.
证明　因为D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立.
所以点D，A，M三点共线.
反思感悟　(1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
1.知识清单：
(1)平面的概念.
(2)基本事实.
(3)共面、共线、共点问题.
2.方法归纳：同一法、纳入法.
3.常见误区：三种语言的相互转换.
课堂小结
本课结束