空间点、直线、平面之间的位置关系（3）(共19张PPT)

(共19张PPT)
空间点、直线、平面之间的位置关系（三）
不共线的三点
一条直线和这条直线外一点
两条相交直线
两条平行直线
唯一确定一个平面
复习回顾
1.确定平面的几个方法：
图形 文字语言(读法) 符号语言
相 交
（两直线共面且有一个公共点）
aIb=A
b
a
A
a∥b
平 行
（两直线共面且无公共点）
b
a
异面直线
（两直线不共面且无公共点）
a、b异面直线
b
a
2.两直线的位置关系
图 形 文字语言(读法) 符号语言
a
A
a
直线在平面内
（直线上所有的点都在平面内）
直线与平面相交
（直线与平面有且只有一个公共点）
直线与平面平行
（直线与平面无公共点）
a
a
a
a
我们常把直线与平面平行或相交的情况称为直线在平面外。记作
3.直线与平面的位置关系
图 形 文字语言(读法) 符号语言
相 交
(两个平面有一条公共交线)
α
β
平 行
（两个平面无公共点）
α∥β
α
β
1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
√
1
2
3
4
解析　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；
若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.
小试牛刀
2.若直线l∥平面α，直线a α，则
A.l∥a B.l与a异面
C.l与a相交 D.l与a没有公共点
√
1
2
3
4
解析　若直线l∥平面α，直线a α，则l∥a或l与a异面，
故l与a没有公共点，故选D.
3.(多选)两平面α，β平行，a α，则下列四个命题正确的是
A.a与β内的所有直线平行
B.a与β内无数条直线平行
C.a与β至少有一个公共点
D.a与β没有公共点
√
1
2
3
4
√
解析　a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面，A错误，B正确；
根据定义，a与β没有公共点，C错误，D正确.
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有____条，正方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C，面ABC1D1，面ADC1B1，面BB1D1D，面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有____个.
4
1
2
3
4
3
解析　与AA1异面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4条；
与AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个.
1.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是
A.相交 B.平行
C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内
√
解析　延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
综合运用
2.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是
A.α内的所有直线均与a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线均与a相交
D.直线a与平面α有公共点
√
解析　若直线a不平行于平面α，则a∩α＝A或a α，故D项正确.
解析　因为在△ABC中，AE∶EB＝AF∶FC，
所以EF∥BC.
又因为BC∥B1C1，所以EF∥B1C1.
3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，若AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是
A.异面 B.平行
C.相交 D.平行或相交
√
4.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
A.2对 B.3对 C.6对 D.12对
√
解析　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中没有与体对角线AC1平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，
∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，
∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对.
解析　对于A，正确；
对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误；
对于C，正确；
对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.
5.(多选)以下四个命题中正确的有
A.三个平面最多可以把空间分成八部分
B.若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C.若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面
√
√
6.不在同一条直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A α，给出以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α；②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是______(填序号).
解析　如图，三点A，B，C可能在α同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.
①
拓广探究
7.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中
A.AB∥CD B.AD∥EF
C.CD∥GH D.AB∥GH
解析　把正方体的展开图还原成正方体，
得到如图所示的正方体，
由正方体性质得，
AB与CD相交，AD与EF异面，CD与GH平行，
AB与GH异面.
√
8.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.
解　a∥b，a∥β.证明如下：
由α∩γ＝a知a α且a γ，
由β∩γ＝b知b β且b γ，
∵α∥β，a α，b β，
∴a，b无公共点.
又∵a γ且b γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点.
又a α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
9.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，C l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.
解　平面ABC与平面β的交线与l相交. 证明如下：
∵AB与l不平行，且AB α，l α，∴AB与l是相交直线.
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l. 又∵AB 平面ABC，l β，
∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，
而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，
即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交.
本课结束