必修第一册2.2基本不等式同步练习（Word含答案解析）

必修第一册 2.2 基本不等式 同步练习
一、单选题
1．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B． C． D．
2．已知函数，则函数的最小值等于（ ）
A． B． C．5 D．9
3．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
4．下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若，且，则
5．已知，函数的最小值为（ ）
A．4 B．7 C．2 D．8
6．在边长为1的正三角形ABC中，且则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．设a b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，那么函数有（ ）
A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4
9．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．设，则取得最小值时，的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
11．若x>1，则有（ ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值-1 D．最大值-1
12．若正实数满足，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值2 D．有最小值
13．已知，，则y的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．设正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
16．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是______．
17．已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.
18．若命题“对任意实数，且，不等式恒成立”为假命题，则的取值范围为_______.
三、解答题
19．已知a，b，c均为正实数，且满足.
证明：（1）；
（2）.
20．已知，满足.
（1）求证：；
（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数，使对任意恒成立，试写出一个，并证明之.
21．过点作直线 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 的方程.
22．设，均为正数，．
（1）若恒成立，求的最大值；
（2）若，求的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
原不等式即，再利用基本不等式求得的最大值，可得的范围．
【详解】
解：依题意得，当时， 恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，所以，解得的取值范围为．
故选：．
本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．
2．C
利用基本不等式求最值即可，注意等号成立的条件.
【详解】
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
3．A
将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.
【详解】
因为，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为3.
故选：A.
方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
4．D
利用基本不等式成立的条件判断出证明过程正确的选项.
【详解】
对于A选项，当时，，所以A选项错误.
对于B选项，如时，，所以B选项错误.
对于C选项，由于，则，，所以C选项错误.
对于D选项，根据基本不等式成立的条件可知D选项正确.
故选：D
本小题主要考查基本不等式成立的条件，属于基础题.
5．B
结合基本不等式即可.
【详解】
因为，所以，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为7.
故选：B
6．B
根据，可将表示为，利用数量积运算及基本不等式，可求的最大值．
【详解】
由题意，
∵
∴1
∵x＞0，y＞0，且x+y＝1
∴xy
∴﹣11
当且仅当x＝y时，取等号
∴当x＝y时，的最大值为
故选：B．
本题考查向量知识的运用，考查向量的加法，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，综合性强．
7．D
根据不等式性质和基本不等式逐项分析判断即可得解.
【详解】
对于选项A，因为a b是正实数，所以，则，可得到，当且仅当时等号成立，故选项A错误；
对于选项B，因为a b是正实数，所以，当且仅当，即时取等号，故选项B错误；
对于选项C，，当且仅当时取等号，故选项C错误；
对于选项D，，则恒成立，故选项D正确；
故选：D.
8．B
利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】
，等号成立当且仅当，
函数的最小值2，
故选：B.
9．D
根据恒成立思想将不等式转化为求函数的最小值大于或等于0，再运用二次函数配方，可得解.
【详解】
记，则原问题等价于二次函数的最小值大于或等于0．
而，当时，，
所以，即．
故选D．
本题考查不等式的恒成立思想和二次函数的配方法求最值，属于基础题.
10．A
转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.
【详解】
，
当且仅当，即，，时，等号成立.
故选：A.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．A
将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.
【详解】
因x>1，则1，当且仅当，即时取等号.
所以有最小值为1.
故选：A
12．A
A.根据正实数满足，由判断.B..由判断.C.由，判断.D.由判断.
【详解】
因为正实数满足
所以，当且仅当，，即取等号，故A正确.
，当且仅当，，即取等号，故B错误.
，当且仅当，，即取等号，故C错误.
，当且仅当，，即取等号，故D错误.
故选:A
本题主要考查基本不等式的变形以及应用，变形灵活，特别注意使用条件，属于中档题.
13．D
由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
故选：D.
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.
14．B
利用基本不等式即可求解.
【详解】
由，则，
所以，
当且仅当时，取等号，
故选：B
本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
15．A
将所求式子展开后，化为，由题中条件，结合基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为正数满足，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
本题主要考查由基本不等式求最值，属于基础题型.
16．
转化条件为，令，进而可得，转化条件为，结合基本不等式即可得解.
【详解】
已知，
由得，即，
令，
所以，所以，
故
，
当且仅当即时，取等号.
故答案为：．
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．
由已知可得，利用两元换一元及基本不等式即得．
【详解】
由x2+xy=1，得，
所以，
当且仅当 时取等号.
故答案为：.
18．
利用基本不等式求出的最小值，可得不等式恒成立时，的取值范围，再取其补集即可.
【详解】
若不等式对任意实数，且恒成立，则
，
当且仅当且，即，时等号成立.
所以，故命题为假命题时，的取值范围为.
故答案为:
本题主要考查命题的真假，基本不等式的应用，属于中档题.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）首先推得，再由条件转化为的式子，运用基本不等式可得结论；
（2）运用基本不等式推得，，，再相加即可得到所求结论．
【详解】
（1）由，，均为正实数，且满足，
，
可得，当且仅当时取得等号．
则，
当且仅当，时取得等号．
（2）由，，均为正实数，且满足，
，当且仅当取得等号，
同理可得，当且仅当取得等号，
同理可得，当且仅当取得等号，
上面三式相加可得（当且仅当时取得等号）．
本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，考查逻辑推理能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
20．（1）证明见解析；（2），证明见解析.
（1）由分析法，只需证明即可, 利用基本不等式即可证明.
（2）只需，左边，进而可得结果.
【详解】
（1）由于，所以，，，
要证，
只需证明.
左边
（2）要使，只需，
左边，
所以只需即可，即，所以可以取，3代入上面过程即可.
21．（1）；（2）
由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，
（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，
（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
【详解】
由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
（2）由于，当且仅当，即且时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．
本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．
22．（1）8 ；（2） 2．
（1）分离常数，结合基本不等式求得的取值范围.
（2）利用基本不等式，首先求得，由此求得的最小值.
【详解】
（1）由题设可得：，
，当且仅当时等号成立，
，的最大值为8；
（2），，，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立.
的最小值为2．
答案第1页，共2页
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