必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式 同步练习（Word版含解析）

必修第一册 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题
1．已知二次函数 在区间 上的最小值为，最大值为4，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则=
A． B． C． D．
3．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
5．使“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．对于实数时，关于的一元二次不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
7．已知函数，，若对于任意，均有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
9．不等式4-x2≤0的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
10．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知集合，则
A． B．
C． D．
12．若不等式对任意的恒成立，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
13．若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________.
14．已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数a的取值范围是______．
15．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______.
16．不等式的解集是________.
17．设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________
三、解答题
18．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
19．解关于的不等式：．
20．解下列不等式.
（1）；
（2）；
（3）.
21．设f(x)=ax2+(1-a)x+a-2.
(1)若命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式f(x)试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
根据二次函数对称轴与定义区间位置关系分析确定实数满足的条件.
【详解】
因为，对称轴为,
所以实数的取值范围是,选C.
本题考查二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．C
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
3．C
由等价于，进而可求出不等式的解集.
【详解】
由题意，等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.
4．A
首先设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，结合条件列式，根据，求的取值范围，即可得到的取值范围.
【详解】
设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，
则.
要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为.
故选：A
5．B
先利用参变量分离法求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
【详解】
解：因为不等式在上恒成立，
所以，
即，而可以推出，不能推出，
所以“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是，
故选：．
6．C
由，得，从而得到一元二次不等式的解集得选项.
【详解】
因为，所以，所以的解集为或，
故选：C.
7．A
由得恒成立，分离参数，转化为求函数的最小值，然后可得解的范围．
【详解】
设，恒成立，即恒成立，
时，恒成立，即恒成立，
时，，当且仅当时等号成立，∴的最小值为4．
∴，解得．
故选：A．
8．D
根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】
解：因为的实数根为和，
所以根据一元二次不等式与方程的关系得不等式的解集为.
故选：D
9．B
根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可.
【详解】
不等式即，解得或，
故不等式的解集为或.
故选：B.
10．A
根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
解：原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.
11．B
【详解】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
12．B
由选项可知，故原不等式等价于
，当时，不满足题意，故，再由二次函数的性质即可求解
【详解】
由选项可知，故原不等式等价于
，
当时，显然不满足题意，故，
由二次函数的性质可知，此时必有，即，
故选：B
13．
根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】
因为不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，
所以Δ＝m2－4×1×1<0，所以－2故答案为：
14．
画出函数、的图象，结合题意得到的值域为，对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】
作出函数、的图象如图所示：
根据题意，函数，若对任意实数，总存在实数，使得，也即的值域为.
当时，要使的值域为，结合图象可知，解得，所以；
当时，要使的值域为，结合图象可知，解得，所以.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
15．
由一元一次不等式的解集可确定且，将所求不等式转化为，解一元二次不等式可求得结果
【详解】
的解集是，且，
由得：，
，解得：，
不等式的解集为.
故答案为：.
16．
把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，根据分式不等式解法，然后转化为两个一元一次不等式组，注意分母不为0的要求，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．
【详解】
不等式得 ，
故 ，
故答案为：.
17．
先确定，再利用0为其中的一个解，，求出的值，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论.
【详解】
设，其图象为抛物线，
对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，
因为0为其中一个解可以求得，
又，所以或，
则不等式为和，
可分别求得和，
因为位整数，所以和，
所以全部不等式的整数解的和为.
故答案为：.
本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中根据题设条件确定出实数的值，求出相应的一元二次不等式的解集是解答关键，推理与运算能力.
18．(－∞，－4]∪
根据一元二次不等式的解法，求得p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又由p是q的充分不必要条件，得到A是B的真子集，列出关于的不等式，即可求解.
【详解】
由题意，命题p，得x2－4ax＋3a2 =(x－3a)(x－a)<0，
当a<0时，3a由题意，命题q：得x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，
即x<－4或x≥－2.
设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，
又由p是q的充分不必要条件，可知A是B的真子集，
∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或，
又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用充分不必要条件求解参数问题，其中解答中利用一元二次不等式的解法，求得集合命题中实数的取值范围是解答的关键，同时注意充分不必要条件的转化及应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．见解析
根据条件得，讨论与的大小,求解即可.
【详解】
原不等式可化为，
讨论与的大小．
（1）当，即时，不等式的解为或；
（2）当，即时，不等式的解为；
（3）当，即时，不等式的解为或.
综上：当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或.
20．（1）；（2）；（3）.
（1）由，得，求解即可；
（2）由，得，结合判别式，可得解；
（3）由，得，求解即可.
【详解】
（1）由，得，解得或，
所以该不等式的解集为；
（2）由，得，
∵判别式，二次函数图象开口向上，
∴该不等式的解集为；
（3）由，得，解得，
所以该不等式的解集为.
21．(1)a≥
(2)答案见解析
（1）根据“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，知ax2+(1-a)x+a-2≥-2，即ax2+(1-a)x+a≥0，此时对a进行分类讨论，再结合判别式Δ即可求出a的范围.
（2）由f(x)(1)
∵命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，
∴ax2+(1-a)x+a-2≥-2恒成立，即ax2+(1-a)x+a≥0恒成立.
当a=0时，x≥0，不满足题意；
当a≠0时，知即解得a≥.
故实数a的取值范围为a≥.
(2)
∵f(x)当a=0时，x<1，∴不等式的解集为{x|x<1}；
当a>0时，ax2+(1-a)x-1<0 (ax+1)(x-1)<0，此时方程(ax+1)(x-1)=0的解分别为-，1，
∵-<1，∴不等式的解集为{ x当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x-1)<0，
①当a=-1时，-=1，∴不等式的解集为{x|x≠1}；
②当-11，此时不等式的解集为{ x或x<1}；
③当a<-1时，-<1，此时不等式的解集为{ x或x<}
答案第1页，共2页
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