必修第一册3.4函数的应用（一）同步练习（Word版含解析）

必修第一册 3.4 函数的应用（一）
一、单选题
1．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t的函数关系如图所示.下列说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度保持稳定；
③第三年后产量增长的速度保持稳定；
④第三年后，年产量保持不变；
⑤第三年后，这种产品停止生产.
其中说法正确的是（ ）
A．②⑤ B．①③ C．①④ D．②④
2．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
3．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.
A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①
4．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
5．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有(　　)
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
6．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）＝（ ）
A． B．4 C． D．
7．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是(　　)
A． B．
C． D．
8．已知定义域为R的奇函数满足，当时，，则函数在上零点的个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
9．某宾馆共有客床100张，各床每晚收费 10 元时可全部住满，若每晚收费每提高 2 元，便减少 10 张客床租出，则总收入 y(y>0)元与每床每晚收费应提高 x(假设 x 是 2 的正整数倍)元的关系式为(　　)
A．y＝(10＋x)(100－5x)
B．y＝(10＋x)(100－5x)，x∈N
C．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8，…，18
D．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8
10．设,,分别是方程,,的实根,则
A． B． C． D．
11．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸
A．215 份 B．350 份
C．400 份 D．250 份
12．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）
A．3100元 B．3000元 C．2900元 D．2800元
二、填空题
13．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
14．若成立，则的取值范围是___________．
15．某青年旅社有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租；若将出租费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张.若要使该旅社每晚的收入超过1.2万元，则每个床位的定价的取值范围是___________;
16．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
17．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ；
三、解答题
18．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则：
（1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式；
（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析.
19．要建造一个容积为，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/，池底的造价为135元/，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）？
20．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量(单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．
（1）求的值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
21．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
总产量C与时间t的函数是分段函数，按前三年与三年后两段图象的特征分别分析即可得解.
【详解】
观察函数图象知，在区间上图象是线段，直线上升，表明年产量增长的速度保持不变，②正确；
在区间上图象是线段，却是水平的，表明总产量停留在第三年末的总产量上未变，第三年后的年产量为0，即产品停止生产，⑤正确.
故选：A
2．A
利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.
【详解】
由题设有，
由得，故选A.
本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.
3．A
根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.
【详解】
对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；
对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；
对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；
故选：A.
4．D
设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可．
【详解】
解：设每生产单位试剂的成本为，
因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，
职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，
满足，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．
故选：D．
5．A
【详解】
设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝x－＝·x2＋(a－5)x－1 000(x＞0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
所以解得
答案：A
6．D
利用待定系数法求出函数的解析式，再代入求值即可.
【详解】
设f（x）＝xa，因为幂函数图象过（4，2），
则有2 ，∴a，即，
∴f（2）
故选：D
本题考查了待定系数法求函数解析式，考查了求函数值，属于基础题.
7．D
根据题意分段求解,再按分段函数形式列函数解析式.
【详解】
依题意，到达地需要＝2.5小时；
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以汽车离开A地的距离与时间之间的函数表达式是
.
本题考查分段函数解析式，考查基本分析求解能力.
8．D
根据奇函数的性质可得，令，根据题意运算可得是以4为周期的周期函数，作出函数在上的图象，结合数形结合的思想即可得出结果.
【详解】
解：因为是定义域为R的奇函数，所以．
因为，令，得，
即，所以．
又因为为奇函数，所以，所以，
所以是以4为周期的周期函数．
根据周期性及奇函数的性质画出函数在上的图象，如图．
由图可知，函数在上有零点-4，-3.5，-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13个零点．
故选：D
9．C
四个选项的差别在于的范围不同，根据题意可选出正确的的取值范围.
【详解】
依题意可知总收入的表达式为，由于是的正整数倍，且，即，故.答案为选项.
本小题主要考查简单的收入计算问题，收入等于单价乘以住的床数，根据题目写出自变量的取值范围即可得到正确选项.
10．C
将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项
【详解】
由题,对于,由与的图像,如图所示,
可得；
对于,由与的图像,如图所示,
可得；
对于,由与的图像,如图所示,
可得或
故
本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想
11．C
设每天从报社买进份报纸时，根据题意求得函数的解析式，结合一次函数的性质，即可求解．
【详解】
设每天从报社买进（，）份报纸时，每月所获利润为元，具体情况如下表．
数量/份 单价/元 金额/元
买进 2
卖出 3
退回
则推销员每月所获得的利润
又由在上单调递增，
所以当时，取得最大值8700．
故选C．
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元．故选C．
本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，结合一次函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
12．B
设 ，根据图像得到解得答案.
【详解】
设 ，根据图像知： 解得：
故选
本题考查了函数解析式的计算，意在考查学生的应用能力.
13．甲
将点的坐标代入验证，即可得到结论．
【详解】
甲：y=x2+1，(1,2)，(2,5)代入验证满足，x=3时，y=10；
乙：y=3x 1，(1,2)，(2,5)代入验证满足，x=3时，y=8,
∵测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2)，
∴选甲,
故答案为甲
14．
【详解】
如图所示，分别画出函数与的图象，由于两函数的图象都过点（1，1），
由图象可知不等式的解集为.
15．
设每床每晚的租金提高10的倍，由题意可得，解不等式可得的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解.
【详解】
设每床每晚的租金提高10的倍，即为元，
出租的床位会减少10的倍张，即为张，
由题意可得该旅社每晚的收入为，
整理可得：
解得：，
因为，所以，
此时每个床位的定价，
所以每个床位的定价的取值范围是，
故答案为：.
16．2米
【详解】
如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，
将A（2，-2）代入，
得m=-2，
∴，代入B得，
故水面宽为米，故答案为米．
考点：抛物线的应用
17．20吨
依题意写出表达式，均值不等式求最小值．
【详解】
由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨．
实际问题一定注意实际问题中自变量的取值，取等号的条件．
18．（1），，，；（2）分析见解析
（1）根据题意并利用常见函数的模型即可列出关系式.
（2）作出的图像，由图像可得出公司的赢利与亏损.
【详解】
解：（1）由题意，得，，，
.
（2）画出的图象如图.
由图象可知，当时，该公司亏损；
当时，公司不赔不赚；当时，公司赢利.
本题考查了常见函数的模型：一次函数、反比例函数的应用，属于基础题.
19．长度应该在内
设水池的长为，宽为，总造价为元；从而可得，，从而求解二次不等式的解集．
【详解】
解：设水池的长为，宽为；总造价为元；
则，故；
；
则；
解得，；
故水池的长在到时，才能使水池的总造价控制在万元以内．
本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．
20．（1）；（2）．
（1）把代入即可求得的值；
（2）根据，通过分段讨论列出不等式组，从而求解.
【详解】
（1）由题意可知，故；
（2）因为，所以，
又因为时，药物释放量对人体有害，
所以或，解得或，所以，
由，故对人体有害的时间为．
21．(1)；
(2)0.60元/kw·h.
(1)根据给定条件列出下调电价后年用电量的表达式，再列出收益函数关系即可作答.
(2)由(1)的结论结合给定的条件列出不等式组，求解即可作答.
(1)
设下调后的电价为x元/kw·h，依题意知，用电量增至()kw·h，
电力部门的收益为：，
所以电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式是：.
(2)
依题意，，化简整理得：，
解此不等式组得：，
所以当电价最低定为0.60元/kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页