必修第一册4.2指数函数 同步练习（Word版含解析）

必修第一册 4.2 指数函数 同步练习
一、单选题
1．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
2．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)
3．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）
A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
7．定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．函数是（ ）
A．偶函数，在是增函数
B．奇函数，在是增函数
C．偶函数，在是减函数
D．奇函数，在是减函数
9．函数（且）与函数（且）在同一个坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
11．设函数，若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
13．若，且，则的值是（ ）
A．18 B．24 C．21 D．27
14．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
15．阅读下面程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.
17．已知函数y＝ax－m＋2的图象过定点(2，3)，则实数m＝________．
18．按从小到大的顺序，可将，，重新排列为___________.
三、解答题
19．已知函数的图象过点．
Ⅰ判断函数的奇偶性并求其值域；
Ⅱ若关于x的方程在上有解，求实数t的取值范围．
20．已知函数，（且，为常数），若为上的奇函数，且满足．
（1）求实数的值，并判断函数的单调性（不用证明）；
（2）对任意不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．求下列函数的值域和单调区间：
（1）；
（2）.
22．已知函数．
(1)求在上的值域；
(2)解不等式；
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【详解】
分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
2．A
令，即可求出定点坐标；
【详解】
当，即时，，为常数，
此时，即点P的坐标为(－1，5).
故选：A.
本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.
3．C
根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．
【详解】
∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是减函数，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：C．
4．B
列出使函数有意义的不等式组，解不等式组可得结果.
【详解】
要使有意义，则，解得，所以函数的定义域为.
故选：B.
5．D
利用分段的方法，得到，由此确定正确选项.
【详解】
因为，所以.
故选:D
6．B
根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
【详解】
依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B
7．B
依题意可得为偶函数，且在上单调递减，根据奇偶性及单调性可得对任意的恒成立，两边平方即可得到，再对分类讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解；
【详解】
解：因为定义在上的函数满足，所以为偶函数，当时，，则当时函数在定义域上单调递减，，当时，函数在上单调递减，且当时，所以函数在上单调递减，当时函数图象如下所示：
因为对任意的，不等式恒成立，即恒成立，即，平方可得；
①当，即时，即，对任意的，所以，即，所以；
②当，即时，显然符号题意；
③当，即时，即，对任意的，所以，即，与矛盾；
综上所述，，即实数的最大值为；
故选：B
8．B
利用奇偶性定义判断的奇偶性，根据解析式结合指数函数的单调性判断的单调性即可.
【详解】
由且定义域为R，故为奇函数，
又是增函数，为减函数，
∴为增函数．
故选：B.
9．C
由二次函数图象过点特殊点，排除AD，再根据二次函数图象的对称轴和指数函数的单调性分类讨论判断．
【详解】
两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A，D；
二次函数图象的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；
当时，指数函数递增，，B不符合题意．
故选：C．
10．D
由对数函数的单调性直接求解即可.
【详解】
由题意得，所以，解得．
故选：D.
11．D
【详解】
当时，在上单调递增，则值域为；
当时，在上单调递减，则值域为；
因为函数，
所以函数有最小值时，需满足，即，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有指数函数的值域，以及根据分段函数有最值求参数的取值范围，属于简单题目.
12．D
分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
13．D
根据、得到关于的两个方程，解出的值即可得到答案.
【详解】
解：，有，；
又，，；
联立方程，解得，，
故选：C.
14．D
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由观察图像的变化情况或取特殊值即可得答案
【详解】
由为偶函数可排除A，C；
当时，图象高于图象，即，排除B；
故选：D．
识图常用的方法：
（1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
（2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
（3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
15．B
根据框图输出值在，得到函数的值域在之间，从而得到的范围，得到答案.
【详解】
根据框图可得
当输入值时，输出值为函数的值域，
因为单调递增，且要使的值域在区间，
从而得到
故选：B.
本题考查根据框图的输出值求输入值，根据指数函数的值域求定义域，属于简单题.
16．（-∞，2）∪（4，+∞）
根据函数解析式作出函数图像，对参数a分类讨论，数形结合求得函数有2个零点时满足的参数范围.
【详解】
作出函数图像，易知与有3个交点，其中，是其两个交点的横坐标，
①当时，函数的图像为：
由图知，存在实数b，使函数有两个零点；
②当时，函数的图像为：
由图知，函数单调递增，不存在实数b，使函数有两个零点；
③当时，函数的图像为：
或
由图知，存在实数b，使函数有两个零点；
综上所述，存在实数b，使函数有两个零点的参数a的范围为
故答案为：
17．2
根据指数函数的图象所过定点求解．
【详解】
由，得m＝2.
故答案为：2
18．
利用指数函数的单调性求解.
【详解】
解：∵，，
∴，
故答案为：.
19．（Ⅰ）； （Ⅱ）.
（Ⅰ）首先求解出函数解析式，再根据奇偶性判断方法得到奇偶性；然后求解出真数所处范围，从而得到函数值域；（Ⅱ）根据函数解析式，将问题转化为在上有解的问题，通过对勾函数图像得到所求结果.
【详解】
函数的图象过点
即：
（Ⅰ）
则的定义域为，关于原点对称
且
故为偶函数
又由
故，即和值域为
（Ⅱ）若关于的方程在上有解
即，即在上有解
即在上有解
由对勾函数的图象和性质可得：
当时，取最小值；当或时，取最大值
故实数的取值范围是
本题考查函数解析式求解、奇偶性判断、方程解的问题.求解问题的关键是能够通过函数图像确定函数值域，从而通过交点情况得到参数范围.
20．（1），在上单调递增；（2）.
（1）由奇函数定义得值，利用复合函数单调性可得的单调性；
（2）利用奇偶性和单调性把不等式变形，再用分离参数法转化为求函数的最值．
【详解】
（1）因为是上的奇函数，所以
，解得
此时，
即函数为上的奇函数
由得，单调递减，且，因此单调递增，
所以在上单调递增
（2）因为函数为上的奇函数所以不等式可化为
由于为上的单调增函数
所以不等式等价于
因为，所以有恒成立
又由于当时，（当且仅当时等号成立）
所以
21．（1）值域，增区间，减区间；（2）值域，减区间，增区间.
（1）令，求得的取值范围，结合指数函数的单调性可求得原函数的值域，利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递增区间和递减区间；
（2）设，可得，利用二次函数的基本性质可求得原函数的值域，利用复合函数的单调性可得出原函数的单调递增区间和递减区间.
【详解】
（1）函数的定义域为，设，则，
又因为指数函数单调递增，且，.
所以函数的值域为.
因为在区间上单调递增，而指数函数单调递增，
所以，函数的单调递增区间为.
同理，因为在区间上单调递减，而指数函数单调递增，
所以，函数的单调递减区间为；
（2）函数的定义域为，设，则.
，
所以函数的值域为.
因为在上单调递减，此时由得.
而指数函数在上单调递增，
所以，函数的单调递减区间为.
同理，因为在上单调递增，此时由得.
而指数函数在上单调递增，
所以，函数的单调递增区间为.
本题考查指数型复合函数的值域和单调区间的求解，解答的关键就是将函数分解为内层函数和外层函数综合进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
22．(1)
(2)
（1）令，将问题转化为二次函数值域的求解问题，由二次函数性质可求得结果；
（2）将不等式整理为，可得，由指数函数单调性可解不等式求得结果．
(1)
令，当时，，则可将原函数转化为，
当时，；当时，；
∴在上的值域为；
(2)
∵，即，
∴，
解得：，
∴，即不等式的解集为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页