必修第一册4.5函数的应用（二）同步练习（Word版含解析）

必修第一册 4.5 函数的应用（二） 同步练习
一、单选题
1．函数零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
5．若是二次函数的两个零点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如下表.
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y 0.01 0.98 2.00
则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是A． B． C． D．
8．函数在的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
9．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸
A．215 份 B．350 份
C．400 份 D．250 份
10．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
12．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.已知在上为“局部奇函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若函数的零点在区间，中，则的值为__．
14．函数在区间和内各有一个零点，则实数的取值范围是___________.
15．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0℃，那么t后物体的温度θ（单位：）可由公式（k为正常数）求得.若，将55的物体放在15的空气中冷却，则物体冷却到35所需要的时间为___________.
16．函数的零点个数为_______.
17．已知函数为偶函数，当时，，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围为_______
三、解答题
18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当时，函数的解析式；
(2)若方程恰有3个不同的实数解，求实数a的取值范围．
19．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.
20．设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若，且关于的方程在[－2，6]上有实数解，求实数的取值范围．
21．如图所示，定义域为的函数的图象由一条射线及抛物线的一部分组成．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围；
(3)若，求实数x的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据函数的函数零点存在定理和单调性，即可得到结果.
【详解】
因为，，
所以，所以存在，使得，
又函数是单调递增函数，
所以存在唯一，使得，
所以函数零点的个数为1个.
故选：D.
2．A
判断出所给区间的端点值的乘积小于0可得答案.
【详解】
；；
；；；
所以.
故选：A.
3．C
由第一次所取的区间是，取该区间的中点，可得第二次所取的区间，利用同样的方法得到第三次所取的区间.
【详解】
因为第一次所取的区间是，
所以第二次所取的区间可能是，
则第三次所取的区间可能是，
故选：C
4．C
由函数，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得函数为单调递增函数，
可得，，，
，，
所以，所以函数的零点所在区间为.
故选：C.
5．D
解方程可得，代入运算即可得解.
【详解】
由题意，令，解得或，
不妨设，代入可得.
故选：D.
6．C
转化为两个函数交点问题分析
【详解】
即
分别画出和的函数图像，则两图像有4个交点
所以，即
故选 ：C
7．D
根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论.
【详解】
将，代入计算，可以排除A；
将代入计算，可以排除B，C；
将各数据代入函数，可知满足题意.
故选：D.
本题主要考查拟合函数，注意排除法的应用，属于基础题.
8．B
令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】
由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
9．C
设每天从报社买进份报纸时，根据题意求得函数的解析式，结合一次函数的性质，即可求解．
【详解】
设每天从报社买进（，）份报纸时，每月所获利润为元，具体情况如下表．
数量/份 单价/元 金额/元
买进 2
卖出 3
退回
则推销员每月所获得的利润
又由在上单调递增，
所以当时，取得最大值8700．
故选C．
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元．故选C．
本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，结合一次函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10．D
由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】
注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.

【点晴】
本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
11．C
【详解】
分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
12．B
由得出（用表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即得参数范围．
【详解】
因为，所以，所以，则.因为（当且仅当时，等号成立），所以，即.
故选：B．
13．0
判断在上递增，判定，（1）的符号，根据零点存在性定理即可得到所求值．
【详解】
函数，
可得在上递增，
由，
（1），
可得在内存在零点，
则．
故答案为：0．
14．
由二次函数的特点和零点存在定理可构造不等式组求得结果.
【详解】
为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
，即，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
15．2
将数据，，，代入公式，得到，解指数方程，即得解
【详解】
将，，，
代入得，
所以，
，
所以，
即.
故答案为：2
16．2
由题意结合函数零点的概念可转化条件得，在同一直角坐标系中作出函数与的图象，由函数图象的交点个数即可得函数的零点个数.
【详解】
令，则，
在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：
由图象可知，函数与的图象有两个交点，
所以方程有两个不同实根，所以函数的零点个数为2.
故答案为：2.
本题考查了函数零点个数的求解及函数与方程的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.
17．
作出函数与的图象，可知这两个函数图象有个交点，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
令，可得，所以，函数与的图象有个交点，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
18．(1)
(2)
（1）当时，，则，然后代入的解析式即可求解；
（2）等价于与的图象有三个交点，结合图象即可求解.
(1)
解：∵为奇函数，
∴，
∴当时，，
∴，
故当时，．
(2)
解：方程恰有3个不同的实数解，
等价于函数与函数的图象恰好有3个不同的交点，
作出的图象：
由图象可得，
即实数a的取值范围为．
19．当家庭中只有一个孩子时，两家旅行社收费相等；当家庭中有两个以上孩子时，甲旅行社更优惠．
设家庭中孩子数为（，)，旅游收费为y，旅游原价为a，分别求出甲旅行社和乙旅行社的收费，二者作差比较即可解决.
【详解】
设家庭中孩子数为（，)，旅游收费为y，旅游原价为a，
甲旅行社收费：，乙旅行社收费：，
∵，
∴当时，两家旅行社收费相等；当时，甲旅行社更优惠．
即当家庭中只有一个孩子时，两家旅行社收费相等；当家庭中有两个以上孩子时，甲旅行社更优惠．
本题考查建立函数模型解决实际问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
20．（1）；（2）.
（1）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解.
（2）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解.
【详解】
（1）由题意，知，则
由得或，由得，
所以，原不等式的解集为
（2），
即
因为在上是增函数，在上减函数，
所以函数在上是增函数，
所以时，；时，，
所以，实数的取值范围是．
21．(1)
(2)
(3)实数x的值是或
（1）当时，设一次函数为，当时，设二次函数为，结合待定系数法即可求解；
（2）由（1）结合二次函数求出函数最小值，再采用数形结合法即可求解；
（3）结合分段函数，分别将代入解析式，求出符合条件自变量即可.
(1)
①当时，函数为一次函数，设其解析式为．
∵点和在该一次函数的图象上，∴，解得，
∴．
②当时，函数是二次函数，由题可设其解析式为．
∵点，在该二次函数的图象上，
∴，解得，
∴．
综上，；
(2)
由（1）得当时，，
∴．
结合题图，可知若方程有三个不同的实数解，则，
∴实数a的取值范围为；
(3)
当时，由，得，解得；
当时，由，得，整理得，解得或（舍去）．
综上，实数x的值是或．
答案第1页，共2页
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