必修第一册5.1任意角和弧度制 同步练习（Word版含解析）

必修第一册 5.1 任意角和弧度制 同步练习
一、单选题
1．如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弧长等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是（ ）平方米.
A． B． C． D．
3．古希腊地理学家埃拉托色尼（Eratosthenes，前275一前193）用下面的方法估算地球的周长（即赤道周长）．他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城，立杆可测得日影角大约为（如图），埃拉托色尼猜想造成这个差异的原因是地球是圆的，并且因为太阳距离地球很远（现代科学观察得知，太阳光到达地球表面需要，光速），太阳光平行照射在地球上．根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，他又派人测得两地距离大约5000希腊里，约合：按照埃拉托色尼所得数据可以测算地球的半径约为（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．终边在第二象限的角是钝角 B．终边相同的角必相等
C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同
5．是以下哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．设是第一象限角，且，则是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
8．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周八步，径四步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（ ）
A．8平方步 B．6平方步 C．4平方步 D．16平方步
10．《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）
A．6m2 B．9m2 C．12m2 D．15m2
11．角，则角终边所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．半径为1cm，圆心角为的扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．将下列各角度化成弧度.
_______________； _______________；
_______________； _______________.
14．如图所示，一圆形钟的时针长，年月日上午至，时针的针头自点处转动到点处，则线段的长为___________.
15．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.
16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.
三、解答题
17．（1）写出与角终边相同的角的集合M；
（2）把角写成的形式，并指出其是第几象限角；
（3）若角且，求角．
18．已知角的终边在第四象限.
（1）试分别判断、是哪个象限的角；
（2）求的范围.
19．如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．
(1)求弦AB所对的圆心角的大小；
(2)求圆心角所对应的弧长l及阴影部分的面积S．
20．写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合．（包括边界）
21．若点在角的终边上，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
首先确定当时针指向，分针指向时，时针与分针的夹角，减掉分针指向时，时针由向移动的弧度即可得到结果.
【详解】
表有个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为；
当时针指向，分针指向时，时针与分针夹角为；
但当分针指向时，时针由向移动了；
该时刻的时针与分针所夹钝角为.
故选：B.
2．D
由已知求得矢和弦长，再由公式计算．
【详解】
设半径为，则，，所以弦长为，
矢为，
所以弧田面积为．
故选：D．
3．D
根据，对应的弧长为，可求得地球的周长，代入公式，即可求得答案.
【详解】
由题意得：，对应的弧长为，
设地球的周长为C，地球半径为R，则，解得，
又，所以，解得，
所以按照埃拉托色尼所得数据可以测算地球的半径约为，
故选：D
4．C
根据终边相同的角的定义即可判断.
【详解】
-240°在第二象限但不是钝角，A错误；
60°和420°终边相同，但不相等，B错误；
由定义可知，C正确；
60°和420°不相等，但终边相同，D错误
故选：C.
5．D
首先写出终边相同的角的集合，再判断
【详解】
，角的终边在第四象限，所以角的终边也是第四象限.
故选：D
6．A
先求得的表达式，进而可得的表达式，对k赋值，分析即可得答案
【详解】
因为角的终边与300°角的终边重合，
所以，所以，
令，，终边位于第二象限；
令，，终边位于第三象限，
令，，终边位于第四象限，
令，，终边位于第二象限
所以的终边不可能在第一象限，
故选：A
7．B
计算得到，，再根据得到答案.
【详解】
∵是第一象限角，∴，，
∴，，
∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角，
∵，∴，∴是第二象限角.
故选：.
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8．A
设某时刻两圆相切于点，此时动点所处的位置为点，以切点在如图上运动为例，记直线与此时小圆的交点为，利用弧长公式计算，可知小圆的圆弧与圆弧的长相等，可得点与点重合，即动点在线段上运动，同理可知，此时点在与垂直的线段上运动，再通过观察四个选项可得答案.
【详解】
如图所示：
由题意可知，小圆总与大圆相内切，且小圆总经过大圆的圆心，
设某时刻两圆相切于点，此时动点所处的位置为点，
则大圆圆弧与小圆转过的圆弧相等，
以切点在如图上运动为例，记直线与此时小圆的交点为，
记，则，
所以，
所以大圆圆弧的长为，小圆圆弧的长为，
所以，
所以小圆的圆弧与圆弧的长相等，
所以点与点重合，即动点在线段上运动，
同理可知，此时点在与垂直的线段上运动，
点在其它位置类似可得，、的轨迹为互相垂直的线段.
观察四个选项可知，只有选项符合.
故选：A.
本题考查了弧长公式的应用，解题关键是利用弧长公式得到弧长相等.属于中档题.
9．A
根据扇形的面积公式即可求解.
【详解】
解：∵弧长8步，其所在圆的直径是4步，
∴（平方步），
故选：A.
10．B
根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.
【详解】
依题意，弦(m)，矢(m)，
则弧田面积=(m2)，
所以弧田面积约是9m2.
故选：B
11．C
根据，确定终边所在的象限.
【详解】
角
则角终边所在象限是第三象限.
故选：C
考查象限角的定义，属于基础题.
12．D
利用扇形弧长公式直接计算即可.
【详解】
圆心角化为弧度为，
则弧长为.
故选：D.
13．
根据角度制化弧度制的规则计算可得；
【详解】
解：，，，
故答案为：；；；
14．
计算出时针转过的弧度数，再结合锐角三角函数的定义可求得线段的长.
【详解】
年月日上午至，时针的针头自点处转动到点处，
则时针转过的弧度数为，故.
故答案为：.
15．
作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.
【详解】
作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：
∴.
设底面圆的半径为r,则有,解得,
所以这个圆锥的高为，
则这个圆锥的体积为.
故答案为：.
立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.
16．120
利用扇形的面积公式求解.
【详解】
由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，
所以扇形的面积为：，
故答案为：120
17．（1）；（2），第四象限角；（3）.
（1）根据，写出终边相等的角的集合即可.
（2）利用周期性，写出与终边相同的最小正角，进而判断所在的象限.
（3）由（1）所得范围，结合给定的范围写出角．
【详解】
（1）由终边相同的角的概念得：．
（2）∵，而是第四象限角，
∴是第四象限角．
（3），又且，
∴取得，．
18．（1）是第二或第四象限的角，是第三或第四象限或轴的非正半轴的角；（2）（）.
（1）先写出的范围，再求出和的范围，即可求解；
（2）由写出的范围，再求出的范围，再判断即可.
【详解】
是第四象限的角，
，
，
当时，
此时是第二象限；
当时，
此时是第四象限；
又
此时是第三象限或第四象限或轴的非正半轴；
（2）
19．(1)
(2)；
（1）根据为等边三角形，可得，即可求解.
（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解.
(1)
由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，
所以为等边三角形，，所以．
(2)
因为，所以，
．
又，
所以．
20．（1） （2）
由题意直接利用终边相同的角的集合的表示方法表示即可．
【详解】
解：（1）图中阴影区域内的角的集合为
（2）图中阴影区域内的角的集合为
21．，，．
先求出原点到点的距离，根据任意角的三角函数的定义求，，的值，然后代入式子运算．
【详解】
由题意，知点在第二象限，
且．
故，
，
．
本题考查任意角的三角函数的定义，，属于基础题．
答案第1页，共2页
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