必修第一册5.4三角函数的图象与性质 同步练习（Word版含解析）

必修第一册 5.4 三角函数的图象与性质
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数在上的递增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．函数在其定义域上是
A．奇函数 B．偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．不能确定
7．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的零点的个数为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．在①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③
10．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
11．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数，则人流量增加的时间段是
A． B． C． D．
12．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知余弦函数过点，则的值为__________．
14．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为______．
15．已知，则的值是_____.
16．函数的最小值为___________．
17．函数在上的值域是___________.
三、解答题
18．已知函数，其中．
(1)当a为何值时，为偶函数
(2)当a为何值时，为奇函数
19．确定函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性.
20．已知函数的最大值为，最小值为，求实数的最大值、最小值．
21．已知函数，.
（1）当时，写出的单调递减区间（不必证明），并求的值域；
（2）设函数，若对任意，总有，使得，求实数t的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据求解，即可得出结果.
【详解】
为使函数有意义，只需，
即，
所以函数定义域为：.
故选：A.
本题主要考查求正切型函数的定义域，熟记正切函数定义域即可，属于基础题型.
2．D
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，
对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，
对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，
故选：．
3．C
求出最小正周期可得．
【详解】
函数的最小正周期是，因此相邻两条对称轴之间的距离是．
故选：C．
4．C
根据函数的定义域，对称性，偶函数定义进行判断.
【详解】
对于A,函数关于对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；
对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B错误；
对于C,，则函数是偶函数，满足条件，故C正确；
对于D,由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：C.
本题考查偶函数的判断，首先需要考虑对称轴是否关于原点对称，再根据图象是否关于轴对称或利用定义判断.
5．B
根据正弦函数图象求单调区间即可
【详解】
的递增区间就是的递增区间，由三角函数图象可得在上递减，在上递增，在上递减，
故选：B．
6．B
根据三角函数的诱导公式化简函数，即可得出它的性质是什么．
【详解】
函数，此时函数为偶函数，故选B．
本题考查了三角函数的诱导公式与三角函数的图象与性质的问题，是基础题目．
7．C
求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】
,
当时，，所以，
故的值域为，
因为在上有解即在上有解，
故即，
故选：C.
8．C
在同个坐标系画出两个函数可得它们交点的个数，即可得出结果.
【详解】
函数的零点个数就是与的图像交点的个数，
在同个坐标系中作图，如下，
它们共有5个不同的交点，故的零点个数为5.
故选：C
9．C
根据正弦函数，余弦函数，正切函数的周期以及周期公式即可解出．
【详解】
最小正周期为的所有函数为②③，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为．
故选：C．
10．C
化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．
11．C
利用三角函数的性质求函数的单调增区间，判断选项在哪个增区间，确定结论.
【详解】
由，知函数的单调递增区间为.当时，.因为，故选C.
本题考查三角函数的应用，运算求解能力，属于基本题.
12．C
由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
13．
将代入余弦函数即可求解.
【详解】
设余弦函数为，
由函数过点可得.
故答案为：.
14．
参变分离后画出函数图象，数形结合得到，进而求出的取值范围.
【详解】
由题意得：，因为，所以，画出函数图象如下：要想保证有两个不同的实数解，则只需与函数图象有两个交点，显然，解得：
故答案为：
15．.
由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】
由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.
16．.
本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】
，
，当时，，
故函数的最小值为．
解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
17．
化简解析式后，利用正弦函数与二次函数的性质求解.
【详解】
令，则，
因为的对称轴方程为，
所以
所以，所以，
所以函数在上的值域是，
故答案为：
18．(1)
(2)
（1）由题意求得，根据，求得，结合偶函数的定义，即可求解；
（2）由题意求得，根据，求得，结合奇函数的定义，即可求解；
(1)
解：由函数，
可得，，
若是偶函数，则，即，可得，
当时，函数，
此时函数满足，函数为偶函数.
(2)
解：由，可得，
若是奇函数，则，可得，
当时，，
此时函数满足，函数为奇函数.
19．定义域：；值域：；单调区间：的递减区间是；递增区间；奇偶性：非奇非偶函数；周期性：周期函数，且最小正周期是
化简函数式为，根据对数函数的真数，结合正弦函数的性质，可得定义域；由正弦函数的有界性和对数函数的单调性，可得的值域；利用复合函数单调性增减原则，结合正弦型函数的单调性，即可求出的单调性；先判断定义域是否关于原点对称，否则就是非奇非偶，若对称，再判断与的关系；的周期取决于的周期.
【详解】
由已知.
（1）欲使有意义，必须，
,
即,
所以的定义域为；
（2），
即，所以的值域为.
（3）考虑到，即.
当，即时，
单调递增，单调递减，
所以的递减区间是.
同理可求，的递增区间.
（4）由于的定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数.
（5）由于是周期为的函数，
所以是周期函数，且最小正周期是.
本题考查复合函数的性质，涉及到对数函数和三角函数的性质，掌握正弦函数性质是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
20．最大值为2，最小值为
根据最值与的关系求解的值，再根据正弦函数的性质求得函数的最值.
【详解】
因为，且的最大值为，最小值为，
当时,由题意得，解得.
此时，，；
当时,由题意得，解得.
此时，，；
综上所述，，.
方法点睛：本题考查三角函数的最值，考查了分类讨论思想，属于中档题．分类讨论思想的常见类型有：
（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
（2）问题中的条件是分类给出的；
（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
21．（1）单调递减区间为；值域为；（2）.
（1）由对勾函数的图像，直接写出递减区间和值域；
（2）先求出的值域，把对任意，总有，使得转化为两个值域的包含关系，解不等式即可.
【详解】
（1）当时，的图像如图示，
∴的单调递减区间为；值域为
（2），由知：，
∵上递减；上递增；
∴在上单增，在上单减，
∴在上的值域为，记B=
设的值域为A，要使“对任意，总有，使得”，只需.
对于：
当时，在上单增，有，
此时，只需，解得：.
当时，在上单减，值域为；在上单增，值域为，
此时，只需，解得：；
当时，在上单减，有，
此时，只需，无解.
综上：.
∴实数t的取值范围为
方法点睛：含双量词的数学问题中参数范围的求解分为两大类：
（1）不等式型转化为最值的比较；
（2）等式型的转化为值域的包含关系.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页