必修第一册5.7三角函数的应用 同步练习（Word版含解析）

必修第一册 5.7 三角函数的应用
一、单选题
1．若将函数的图象向右平移个单位长度后为奇函数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
3．水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图2是一个水车的示意图，它的半径为2m，其中心（即圆心）O距水面1m．如果水车每60s逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h（单位：m）是一个变量，它是关于时间t（单位：s）的函数．为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始计时（），则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映h随t变化的周期规律．下面说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为40
B．
C．当时，水车P点离水面最高
D．当时，水车P点距水面2m
4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将简车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4，筒车转轮的中心O到水面的距离为2，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：），则点P第一次到达最高点需要的时间为（ ）.
A．2 B．3 C．5 D．10
5．如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（ ）
A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为
C．该质点在和时振动速度最大 D．该质点在和时的振动速度为0
6．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当时，（ ）
A．6 B． C． D．
7．如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin，则当t=0时，角θ的大小及单摆的频率是（ ）
A． ， B． 2， C． ，π D． 2，π
8．一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点第一次到达最高点需要
B．在水轮转动的一圈内，点距离水面的高度不低于共有的时间
C．点距离水面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为
D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
9．已知函数，那么下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上的最小值为
C．函数的图象关于直线对称
D．要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位长度
10．在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
11．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）
A．y＝3sint＋12 B．y＝－3sint＋12
C．y＝3sint＋12 D．y＝3cost＋12
12．我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为________．
14．如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．则（米）关于（分钟）的解析式为______
15．汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面.如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记， 标记到该轮轴中心的距离为.若该小汽车启动时，标记离地面的距离为，汽车以的速度在水平地面匀速行驶，标记离地面的高度（单位：）与小汽车行驶时间（单位：）的函数关系式是，其中，，，则_______________________.
16．如图，教室里悬挂着日光灯，，灯线，将灯管绕着中点O的铅垂线顺时针旋转60°至，且始终保持灯线绷紧，则旋转后灯管升高的高度为___________cm．
17．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动.习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流.早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来.下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）.
时刻（t） 0 2 4 6 8 10 12
水深（y）单位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
时刻（t） 14 16 18 20 22 24
水深（y）单位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
用函数模型来近似地描述这些数据，则________.
三、解答题
18．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈.图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ到OB.设B点与地面的距离为h.
（1）求h与θ的函数关系式；
（2）设从OA开始转动，经过10秒到达OB，求h.
19．潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同．
下表给出了某沿海港口在一天（24小时）中海水深度的部分统计数据：
时间（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
水深（米） 13.4 14 13.4 12 10 8 6.6 6 6.6 8 10 12 13
（1）请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度与时间的函数图像，并根据你所学知识，请从，，（，，），（，，）这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深与时间的函数关系，求出其解析式；
（2）现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．（参考数据：，）
20．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转而成，如图2.已知圆的半径为10cm，设，圆锥的侧面积为cm2.
（1）求关于的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求最大，求的最大值并求此时腰的长度.
21．如图1，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图2，某摩天轮最高点距离地面高度为110m，转盘直径为100m，设置有48个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30.
（1）求游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到10后距离地面的高度；
（2）以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为m，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（结果精确到0.1m）.
参考公式：.
参考数据：，
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
先由平移公式得出平移后的函数为，由该函数为奇函数可得答案.
【详解】
函数的图象向右平移个单位长度后可得
由题意为奇函数，则
所以，
对照分析答案，当时，
故选：C
2．C
由图中最小值求出，从而可得最大值．
【详解】
由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
故选：C
本题考查（）的性质，的最大值为，最小值为．
3．D
先求出，．对于选项A：直接求出的最小正周期；对于选项B：由解析式直接判断；对于选项C：直接带入求出，即可判断；对于选项D：直接带入即可求出．
【详解】
依题意可知，水车转动的角速度（rad/s），
由，，解得，，
由，得．又，则，
所以，．
对于选项A：函数的最小正周期为60．所以A错误；
对于选项B：，所以B错误；
对于选项C：，所以C错误；
对于选项D：，所以D正确．
故选：D．
4．C
设点离水面的高度为，根据题意求出，再令可求出结果.
【详解】
设点离水面的高度为，
依题意可得，，，
所以，
令，得，得，，
得，，
因为点P第一次到达最高点，所以，
所以.
故选：C
5．B
根据简谐运动的概念判断AB，运动曲线与速度的关系判断CD．
【详解】
由图象可知周期是，A错，振幅为，B正确；曲线上各点处的切线的斜率（导数值）才是相应的速度，质点在和时振动速度为0，C错，质点在和时的振动速度不为0，D错．
故选：B．
本题考查简谐运动的图象，考查三角函数图象的物理意义，属于基础题．
6．A
计算，可得的值，将当时，代入结合可得的值，即可得的解析式，由可得点的坐标，即可求解.
【详解】
由题意得：，
，所以，
所以，
当时，，可得，即，
因为，所以，所以，
所以，
当时，，
此时，即点，
所以，
故选：A.
7．A
根据单摆所摆动角所满足的关系式和频率的定义可得选项.
【详解】
当t=0时，θ=sin，由函数解析式易知单摆的周期为=π，故单摆的频率为.
故选：A.
本题考查三角函数的实际应用，关键在于理解三角函数所表达的实际意义，属于基础题.
8．C
设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）依题意可知f（t）的最大值为7.2，最小为﹣2.4，可得A+B＝7.2，﹣A+B＝﹣2.4，解得A，B．60，解得ω．当t＝0时，f（t）＝0，得sinφ求出φ，可得所求的函数关系式为f（t）．进而对各个选项依次判断即可．
【详解】
设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）
依题意可知f（t）的最大值为7.2，最小为﹣2.4，
∴A+B＝7.2，﹣A+B＝﹣2，解得A＝4.8，B＝2.4．
60，解得ω．
∴f（t）＝4.8sin（t+φ）+2.4，
当t＝0时，f（t）＝0，得sinφ，|φ|，φ，
故所求的函数关系式为f（t）＝4.8sin（t ）+2.4，C对，
令4.8sin（t ）+2.4＝7.2，
可得：sin（t）＝1，
∴t，解得t＝20．
点P第一次到达最高点要20s时间．A错，
4.8sin（t ）+2.4≥4.8 sin（t ） t 10≤t≤30；
∴在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米；B错
t＝50时，f（t）＝4.8sin（t ）+2.4＝4.8sin（50 ）+2.4＝4.8sin2.4＝﹣2.4，D错．
故选： C．
本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．D
利用二倍角公式和两角和的正弦展开式化简得，求出的单调递减区间可判断A；求出函数在上的最小值可判断B；求出可判断C；利用图象平移规律和诱导公式可判断D.
【详解】
，
由得，
所以的单调递减区间为，
当时，单调递减区间为，当时，单调递减区间为，
当时，单调递减区间为，所以A错误；
当时， ，，
所以函数在上的最小值为，故B错误；
因为，函数的图象不关于直线对称，故C错误；
将的图象向右平移个单位长度后，
得，故D正确.
故选：D.
10．D
设，根据振幅确定，根据周期确定，根据确定，即可得出结果.
【详解】
设位移关于时间的函数为，
根据题中条件，可得，周期，故，
由题意可知当时，取得最大值，故，则，
所以.
故选：D．
本题主要考查三角函数的应用，考查由三角函数的性质求参数，属于基础题型.
11．A
由两次高潮的时间间隔知，且得，又由最高水深和最低水深得，，将 y＝15代入解析式解出φ，进而求出该函数的解析式．
【详解】
由相邻两次高潮的时间间隔为12 h，知T＝12，且T＝12＝(ω＞0)，得ω＝，又由高潮时水深15 m和低潮时水深9 m，得A＝3，k＝12，由题意知当t＝3时，y＝15．故将t＝3，y＝15代入解析式y＝3sin＋12中，得3sin＋12＝15，得×3＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z)．所以该函数的解析式可以是y＝3sin＋12＝3sint＋12．
12．B
利用扇形面积公式，根据面度数定义，求角.
【详解】
由面度数的定义可知，即，
.
故选：B
13．
由题意利用函数的图象变换规律，即可得到结果．
【详解】
将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式，即.
故答案为：.
14．；
建立坐标系，根据三角函数的定义，求出点的纵坐标，即可求出结论.
【详解】
建立如图坐标系，地面所在的直线方程为，
点初始位置对应的角为，设在（分钟）时点坐标为，
点对应的角为，由三角函数定义得，
.
故答案为:
本题考查三角函数定义的实际应用问题，属于中档题.
15．
根据速度、车轮直径，计算出周期，利用三角函数的图像和性质进行求解.
【详解】
由题意，汽车的速度，轮胎的半径，所以周长
所以，又，所以，.
因为到该轮轴中心的距离为，所以，，
即，
∵刚开始启动时，离地面的距离为，
∴时，，即，得，
∵，∴，即.
故答案为：.
16．20
设与的交点为N，过点作于M，连接AN，解三角形可得答案.
【详解】
解：设与的交点为N，过点作于M，连接AN，如图所示：
在中，，，所以，
在中，，由勾股定理得，即，所以，又，
所以旋转后灯管升高的高度为，
故答案为：20.
17．##
根据题意条件，结合表内给的数据，通过一天内水深的最大值和最小值，即可列出关于、之间的关系，通过解方程解出、，即可求解出答案.
【详解】
由表中某市码头某一天水深与时间的关系近似为函数，从表中数据可知，函数的最大值为5.0，最小值为4.2，所以,解得，，故.
故答案为：或写成.
18．（1）；（2）3.2m.
（1）建立平面直角坐标系，结合条件求出点B的坐标后可得h与θ间的函数关系式；
（2）由60秒转动一圈，易得点A在圆上转动的角速度是，再计算出经过10秒后转过的弧度数为，然后代入（1）中所求函数解析式计算即可得到答案.
【详解】
（1）以圆心O原点，建立如图所示的坐标系，如下图所示，
则以为始边，为终边的角为，
故点B坐标为，
∴；
（2）点A在圆O上逆时针运动的角速度是，
∴经过t秒后转过的角度，则经过10秒后转过的角度为，
∴（m）.
关键点点睛：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心为原点，以水平方向为轴方向，以竖直方向为轴方向建立平面直角坐标系，是解决本题的关键．
19．（1）作图见解析；答案不唯一，具体见解析；（2）应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17个小时．
（1）选取或，根据周期求得，根据最值求得，利用待定系数法求得，即可得解；
（2）根据题意可知，根据三角函数得单调性解不等式，即可得解.
【详解】
解：（1）可选择以下6个点：，，，，，，其图像如下：
选法一：设选取的函数解析式为：（，，），
由题意得：，所以，，
又因为，
解得，，
所以，
由，得，
所以，，
又，所以当时，，
所以，；
选法二：设选取的函数解析式为：（，，），求解过程同上，可得，．
（2）根据题意可知：货轮安全进港的水深至少达到12.8米，
由，
解得：，
即
所以，，
故，
又因为，所以，
所以可安排货轮在0时到5时之间进港．
货轮安全离港的水深要求至少达到12米，
根据表中数据可知最早在晚上22时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港时间最短为17个小时．
综上规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17个小时．
20．（1），；（2）的最大值为，的长度为cm..
（1）利用含的式子表示出圆锥的母线，表示出圆锥的底面半径，计算出底面圆的周长即为圆锥侧面展开扇形的弧长，再根据扇形面积公式表示出；
（2）由（1）可知的表达式，代入得关于的表达式，然后利用三角恒等变换公式进行化简整理，结合三角函数知识分析其最值.
【详解】
解：（1）设交于点，过作，垂足为，
在中，，，
在中，，
所以，
（2）由（1）得：
当时，的最大值为.
此时，，为正三角形.此时，.
答：的最大值为，此时的长度为cm.
本题考查三角函数的实际应用问题，难度较大.解答时注意数形结合，根据题目中的几何条件表示出关键量，将目标问题的表达式求解出来是关键.
21．（1）m；（2）；
（3），；m
（1）设时，游客甲位于，得到以为始边的角，即初相，再利用周期性和最值得到函数的解析式，令求解即可.
（2）由（1）的求解过程即可得出答案.
（3）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则，分别求出后甲和乙距离地面的高度，从而求出高度差，再利用已知条件给出的参考公式进行化简变形，利用三角函数的有界性进行分析求解即可.
【详解】
（1）设时，游客甲位于，得到以为始边的角为，
根据摩天轮转一周需要30，可知座舱转动的速度约为，
由题意可得，，（），
当时，，
所以游客甲坐在摩天轮的座舱后，
开始转到10后距离地面的高度为米.
（2）由（1）可得，，；
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示，则，
经过后，甲距离地面的高度为，
点相对于始终落后，
此时乙距离地面的高度，
则甲、乙高度差为，
利用，
可得，，
当或，即或，
所以的最大值为米，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为米.
答案第1页，共2页
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