沪科版数学八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系-教案

一元二次方程根与系数关系
一、复习目标：掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理，并会灵活运用它们解决问题.
二、复习重点和难点：
（一）复习重点： 一元二次方程根的韦达定理.
（二）复习难点：灵活运用韦达定理解决问题.
三、复习过程：
一、复习引入
一元二次方程：
一般形式是什么？
根的判别式是什么？
根与系数的关系是什么？
用根与系数关系解题的条件是 ？
口答训练
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
x2 - 2x - 1=0(2) 2x2 - 3x + =0 (3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
教师提醒：在使用韦达定理时，应注意：
⑴、不是一般式的要先化成一般式；
⑵、在使用X1+X2=－ 时，注意“－ ”不要漏写。
（3） 前提是方程有实数根即Δ≥0
三、几种常见韦达定理的运用
（一）、几种常见的求代数式的值：
（二）、利用根与系数的关系判定一元二次方程的两根符号：
由可判断两根符号之间的关系：
若，则x1，x2同号； 若，则x1，x2异号，即一正一负
（三）、由x1，x2两根可构造的一元二次方程 以x1，x2为根的一个一元二次方程为；
四、典例精析：
作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出k的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及k的值。
练习1.方程 的两根互为倒数，求k的值。
练习2.方程3x2+x+k=0的两根之积为-3,求k的值。
作用2：求代数式的值
已知2x2-x-2=0的两根是x1,x2 。求下列代数式的值
x12+x22 （2） （3） （x1-x2)2
(x1+1)(x2+1) （5）∣x1-x2∣ （6）
已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根，求代数式a2+4a+b的值
练习：已知m、n是方程x2-3x+1=0的两根，求2m2+4n2-6n+2014的值。
作用3：求作一个一元二次方程
例1.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x2-6x+2=0的两根平方的倒数.
作用4：研究方程根的情况
例1：已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0
k 为何值时，方程有两个负数根？
k 为何值时，方程有一正根和负根？
练习 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
总结归纳
1、应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
2、熟练掌握根与系数的关系，灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。