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第十九章 一次函数
本章知识梳理
第23课时 变量与函数（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 掌握确定函数自变量取值范围的方法.
2. 通过实际问题，引导学生直观感知，理解实际背景对函数取值的限制.
本课目标
知识重点
知识点：函数自变量取值范围的确定
（1）整式：自变量的取值范围是__________；
（2）分式：分母__________；
（3）根式：开奇次方，被开方数为__________，开偶次方，被开方数________________；
（4）自变量的取值范围还应保证对实际问题有意义.
全体实数
不等于0
全体实数
大于或等于0
对点范例
写出下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y=3x+5；
（2）y=
（3）y=
解：（1）x取任意实数.
（2）由题意，得1-x≠0.解得x≠1.
（3）由题意，得4+x≥0.解得x≥-4.
课堂演练
典例精析
【例1】求下列函数的自变量x的取值范围：
（1）y=
解：由题意，得x-3＞0. 解得x＞3.
解：由题意，得2x-1≥0且x≠0. 解得x≥
（2）y=
（3）y=
解：由题意，得1+3x≥0且x-2≠0.
解得x≥－ 且x≠2.
（4）y=
解：由题意，得1-x＞0. 解得x＜1.
思路点拨：根据函数自变量取值范围的确定方法求解即可.
举一反三
解：x取全体实数.
1. 求下列函数的自变量x的取值范围：
（1）y=
（2）y=
解：由题意，得x+1＞0. 解得x＞-1.
（3）y=
（4）y= +(x－5)－2.
解：由题意，得2x-4≥0且x-3≠0.
解得x≥2且x≠3.
解：由题意，得x-3＞0且x-5≠0.
解得x＞3且x≠5.
典例精析
【例2】一辆汽车的油箱中现有汽油50 L，平均每小时耗油
0.1 L.
（1）设油箱中剩下的油量为y（L），已行驶的里程为x（km），求y与x之间的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围；
（3）当油箱中还有20 L汽油时，汽车行驶多少千米？
解：（1）由题意，得y=50-0.1x.
（2）∵0≤50-0.1x≤50，
∴0≤x≤500.
（3）当y=20时，20=50-0.1x，解得x=300.
答：当油箱中还有20 L汽油时，汽车行驶300 km.
思路点拨：（1）根据题意列出函数关系式即可；（2）结合x的实际意义进行取值即可；（3）把已知数据代入函数关系式求解即可.
举一反三
2. 已知水池中有800 m3的水，每小时抽50 m3.
（1）写出剩余水的体积Q（m3）与时间t（h）之间的函数解析式；
（2）写出自变量t的取值范围；
（3）10 h后，池中还有多少水？
解：（1）由题意，得Q=800－50t.
（2）∵0≤800-50t≤800,
∴0≤t≤16.
（3）当t=10时，Q=800－50×10=300.
答：10 h后，池中还有300 m3水.
典例精析
【例3】 如图19-23-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,设D为BC上任意一点,点D不与B,C重合,且DC=x,若△ABD的面积为y.
（1）请求出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
（2）当x=6时,求△ABD的面积y.
解：（1）∵BC=8,CD=x,
∴BD=BC-CD=8-x.
∴S△ABD= BD·AC= ×（8-x）×6=24-3x（0即y=24-3x（0（2）当x=6时，y=24-3x=24-3×6=6.
思路点拨：（1）根据三角形的面积公式代入数值即可得到y与x之间的函数关系式，再结合图中DC可能的长度即可得到x的取值范围；（2）将x的值代入函数解析式即可求解.
举一反三
3. 如图19-23-2，在矩形ABCD中，BC=8，CD=5，点E为边AD上一动点，连接CE，随着点E的运动，四边形ABCE的面积也发生变化.
（1）写出四边形ABCE的面积y与AE的
长x之间的关系式，并写出自变量x的
取值范围；
（2）当四边形ABCE的面积为35时，求
DE的长.
解：（1）∵S四边形ABCE= （AE+BC）·AB= ×(x+8)×5
=2.5x+20，
∴y＝2.5x+20（0＜x＜8）.
（2）当y=35时，2.5x+20＝35，解得x=6.
∴AE=6.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8.
∴DE=AD-AE=8-6=2.
典例精析
【例4】（创新题）根据如图19-23-3所示的程序，当输入x=-
时，则输出结果y为（ ）
A. +1
B. -1
C. - -1
D. - +1
D
思路点拨：把x的值代入相应的关系式求解即可.
举一反三
4. （创新题）根据如图19-23-4所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是0或8时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A. -16
B. -10
C. -8
D. -2
D
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第十九章 一次函数
单元复习课
专题一 中考重难点
一、函数的相关概念
1. 一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和x分别是（ ）
A. 常量，变量 B. 变量，变量
C. 常量，常量 D. 变量，常量
A
2. 下列各图象中，y不是x的函数的是（ ）
D
3. 从A地向B地打长途，不超过3 min，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元. 若通话时间t min（t≥3），则付话费y（元）与t（min）之间的函数关系式是（ ）
A. y=t-0.6（t≥3） B. y=2.4t+3（t≥3）
C. y=2.4+3t（t≥3） D. y=t+0.6（t≥3）
A
2
x≤2且x≠-1
4. 已知函数y=f（x）= 那么f（10）=__________.
5. 函数y＝ 中的自变量的取值范围是______________.
【中考对接】
6. （2021·无锡）函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≠2
A
7. （2021·海南）李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（km）与行驶的时间t（h）的函数关系的大致图象是（ ）
B
8. （2020·百色）黄老师某次加油时，加油站的加油表显示屏的部分读数如图D19-1-1所示，则加油金额y（元）与加油量x（0≤x≤60）（L）的关系式为______________________.
y=6x（0≤x≤60）
9. （2021·达州）如图D19-1-2是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为__________.
2
D
二、一次函数的图象与性质
10. 若m＜-2，则一次函数y＝（m+1）x+1-m的图象可能是（ ）
11. 一次函数y=3x-2的图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
12. 已知 （－1，y1）， （2，y2）是直线y＝2x＋1上的两点，则y1__________y2. （填“＞”“<”或“=”）
13. 已知一次函数y=2x-4，当1≤x≤m时，因变量y的最大值为7，
则m的值为_________ .
B
<
【中考对接】
14. （2021·长沙）下列函数图象中，表示直线y=2x+1的是（ ）
B
15. （2021·营口）已知一次函数y=kx－k过点（－1,4），则下列结论正确的是（ ）
A. y随x增大而增大
B. k=2
C. 直线过点(1,0)
D. 与坐标轴围成的三角形面积为2
C
16. （2021·阿坝州）已知一次函数y=ax-1，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第__________象限.
17. （2021·自贡）当自变量-1≤x≤3时，函数y=|x-k|（k为常数）的最小值为k+3，则满足条件的k的值为__________.
一
-2
三、一次函数的解析式
18. 已知一次函数的图象过点（2，0）和点（1，-1），则这个函数的解析式为（ ）
A. y=x-2 B. y=x+2
C. y=-x-2 D. y=-x+2
A
19. 某个一次函数的图象与直线y= x+6平行，并且经过点
（-2，-4），则这个一次函数的解析式为（ ）
A. y=－ x-5 B. y= x+3
C. y= x-3 D. y=-2x-8
C
20. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）中，自变量x的取值范围是-2≤x≤6，函数值y的取值范围是-11≤y≤9，则这个一次函数的
解析式为___________________________________.
y＝ x-6或y＝- x+4
【中考对接】
21. （2021·乐山）如图D19-1-3，已知直线l1∶y=-2x+4与坐标轴分别交于A，B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（ ）
A. y= x B. y=x
C. y= x D. y=2x
D
22. （2021·上海）已知函数y=kx经过二、四象限，且函数不经过（－1,1），请写出一个符合条件的函数解析式______________________.
23. （2021·毕节市）将直线y=－3x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______________.
y=－2x（答案不唯一）
y=-3x－2
四、一次函数综合题
24. 如图D19-1-4，已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），与y轴交于点D，直线y=2x-4与该直线交于点C，与y轴交于点E.
（1）求直线AB的表达式；
（2）求两直线与y轴围成的三角形面积；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x-4
≤kx+b的解集.
解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），
∴ 解得
∴直线AB的表达式为y=-x+5.
（2）联立 解得
∴点C（3，2）.
令x=0，则y=2x-4=-4，y=-x+5=5.
∴点D（0，5），点E（0，-4）.
5k+b=0，
k+b=4.
k=－1，
b=5.
y=2x－4，
y=－x+5.
x=3，
y=2.
∴DE=5-（-4）=9.
∴S△ADE= DE·|xC|= ×9×3=
（3）由图象可知，关于x的不等式2x-4≤kx+b的解集为x≤3.
25. 如图D19-1-5，过点B（1，0）的直线l1∶y1=kx+b与直线l2∶y2=2x+4相交于点P（-1，a）.
（1）求直线l1的解析式；
（2）不等式y1≥y2的解集为
__________；
（3）求四边形PAOC的面积.
x≤-1
解：（1）∵点P（-1，a）在直线l2∶y2=2x+4上，
∴a=2×（-1）+4=2.
∴点P的坐标为（-1，2）.
∵直线l1∶y1=kx+b过点B（1，0），P（-1，2），
∴ 解得
∴直线l1的解析式为y=-x+1.
k+b=0，
－k+b=2.
k=－1，
b=1.
（3）令x=0，则y1=1. ∴点C的坐标为（0，1）.
令y2=0，则x=-2.
∴点A的坐标为（-2，0），∴OB=OC=1，AB=3.
∴S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC
= AB·|yP|- OB·OC
= ×3×2- ×1×1
=
【中考对接】
26. （2021·北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y= x的图象向下平移1个单位长度得到.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞-2时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围.
解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y= x的图象向下平移1个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y= x-1.
（2）把x=-2代入y= x-1，得y=-2；
把x=-2代入y=mx，得y=-2m.
由题意，得-2m≥-2且m≥
解得 ≤m≤1.
27. （2021·西藏）已知第一象限点P（x，y）在直线y=-x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S.
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S=4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并画出函数S的图象.
解：（1）∵点A（4，0），
∴OA=4.
把x=2代入，得y=-2+5=3.
∴点P（2，3）.
∴S△AOP= OA·|y|= ×4×3=6.
（2）当S=4时，即 OA·|y|= ×4×|y|=4.
解得y=2或y=-2（不合题意，舍去）.
当y=2时，2=-x+5，解得x=3.
∴点P的坐标为（3，2）.
（3）由题意，得S= OA·|y|=2y（y＞0）.
当y＞0，即0＜x＜5时，S=2（-x+5）=-2x+10.
∴S关于x的函数解析式为S=-2x+10（0＜x＜5）.
画出函数S的图象如答图D19-1-1.
五、一次函数的应用
28. 小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为___________________.
日期x/日 1 2 3 4
成绩y/个 40 43 46 49
y＝3x+37
29. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元.
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不少于A型电脑的3倍且不超过A型电脑的4倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元.
由题意，得 解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元.
10a+20b=4 000，
20a+10b=3 500.
a=100，
b=150.
（2）①由题意，得y=100x+150（100-x）=-50x+15 000.
②由题意，得3x≤100-x≤4x.
解得20≤x≤25.
∵y=-50x+15 000，∴y随x的增大而减小.
∵x为正整数，∴当x=20时，y取最大值.
则100-x=80.
∴该商店购进A型电脑20台，B型电脑80台，才能使销售总利润
最大.
【中考对接】
30. （2021·恩施州）（跨学科融合）某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图D19-1-6所示，则下列结论正确的是（ ）
A. W= s
B. W=20s
C. W=8s
D. s=
C
31. （2021·陕西）某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1 h后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地. 货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图D19-1-7所示.
（1）求货车B距甲地的距离y与时
间x的关系式；
（2）求货车B到乙地后，货车A还
需多长时间到达甲地.
解：（1）设货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y=kx+b（k≠0）.
由题意，得
解得
∴货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y=60x-60（1≤x≤5）.
k+b=0，
5k+b=240.
k=60，
b=－60.
（2）当x=3时，y=60x-60=120.
故货车A的速度为（240-120）÷3=40（km/h）.
货车A到达甲地所需时间为240÷40=6（h）.
则6-5=1（h）.
答：货车B到乙地后，货车A还需1 h到达甲地.
32. （2020·自贡）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品. 新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销. 甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打八折.
（1）以x（元）表示商品原价，y（元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
解：（1）由题意，得y甲=0.9x.
当0≤x≤100时，y乙=x；
当x＞100时，y乙=100+（x-100）×0.8=0.8x+20.
∴y乙=
x(0≤x≤100)，
0.8x+20（x＞100）.
（2）①当0≤x≤100时，y甲＜y乙；
②当x＞100时，
令y甲＜y乙，得0.9x＜0.8x+20. 解得x＜200；
令y甲=y乙，得0.9x=0.8x+20. 解得x=200；
令y甲＞y乙，得0.9x＞0.8x+20. 解得x＞200.
综上所述，当x＜200时，选择甲商场购物更省钱；当x=200时，两家商场购物费用一样；当x＞200时，选择乙商场购物更省钱.
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第十九章 一次函数
本章知识梳理
第30课时 一次函数与方程（组）、不等式（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会根据函数图象求二元一次方程组的解.
2. 体验数形结合的思想，学会用函数的观点去认识问题.
本课目标
知识重点
知识点一：一次函数与二元一次方程
任何一个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条__________，直线上每个点的坐标都是这个二元一次方程的__________.
直线
解
对点范例
1. 一次函数y=kx+b的图象如图19-30-1，二元一次方程y=kx+b的
一个解是__________________.
x=3,
y=4
知识重点
知识点二：一次函数与二元一次方程组
任何一个二元一次方程组，都对应两个一次函数，也对应两条__________.从“数”的角度看，解这个方程组相当于求__________为何值时相应的两个函数值相等，以及函数值为多少；从“形”的角度看，解这个方程组相当于确定两条直线________的坐标.
直线
自变量
交点
对点范例
2. 直线y=2x和直线x+y=3在同一平面
直角坐标系中如图19-30-2，则方程
组 的解为__________.
y=2x,
x+y=3
x=1,
y=2
课堂演练
典例精析
【例1】已知y=－ x-4和y= x的图象交于点P（-4，-2），
则方程组 的解是__________.
思路点拨：根据一次函数与二元一次方程组的关系解答即可.
x+y+4=0，
x－y=0
x=－4，
y=－2
举一反三
x=1,
y=3
1. 函数y=k1x+b1和函数y=k2x+b2的图象如图19-30-3，则方程
组 的解为__________．
y=k1x+b1,
y=k2x+b2
典例精析
【例2】函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2在同一平面直角坐标系中的图象如图19-30-4所示，则
（1）当x__________2时，y1≥y2；
（2）当x__________2时，y1＜y2.
思路点拨：根据一次函数与一元一次不
等式以及二元一次方程组的关系解答即可.
≥
＜
举一反三
2. 直线l1∶y=k1x+b与直线l2∶y=k2x在同一平面直角坐标系中如图19-30-5所示，则关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为__________.
x<-1
典例精析
【例3】如图19-30-6，已知直线y1=2x-4与直线y2=-x+5交于点P，两直线与y轴分别交于A，B两点.
（1）求点P的坐标；
（2）根据图象，直接写出不等式y1≥y2的解集.
解：（1）联立
解得
∴点P的坐标为（3，2）.
（2）由图象可知，不等式y1≥y2的解集为x≥3.
y=－x+5，
y=2x－4.
x=3，
y=2.
思路点拨：（1）联立两个函数的解析式求解即可；（2）根据函数的图象确定不等式的解集即可.
举一反三
3. 如图19-30-7，已知直线y=x+5与x轴交于点A，直线y=-x+b与x轴交于点B（1，0），且这两条直线
交于点C.
（1）求直线BC的解析式和点C的坐标；
（2）直接写出关于x的不等式x+5＞-x+b
的解集.
解：（1）∵直线y=-x+b与x轴交于点B（1，0），
∴-1+b=0. 解得b=1.
∴直线BC的解析式为y=-x+1.
联立 解得
∴点C的坐标为（-2，3）.
（2）由图象可知，关于x的不等式x+5＞-x+b的解集为x＞-2.
y=x+5，
y=－x+1.
x=－2，
y=3.
典例精析
【例4】某新华书店对学校推出租书优惠月活动，活动方案如下：
方案一：不购买会员卡租书，每本收费1元；
方案二：购买会员卡租书，需交会员费12元，
租书费每本0.4元；
设学生租书x（本），按照方案一所需费用为
y1（元），且y1=k1x；按照方案二所需费用为
y2（元），且y2=k2x+b. 其函数图象如图19-
30-8所示.
（1）填空：k1=__________，k2=__________，b=__________；
（2）求两种方案的函数图象交点A的坐标，并解释点A的实际意义；
（3）若七（1）班本周准备借阅图书30本，应选择哪种方案所需费用较少？请说明理由.
1
0.4
12
解：（2）由（1）得，y1=x，y2=0.4x+12.
联立 解得
∴点A的坐标为（20，20）.
点A的实际意义为：当借阅图书20本时，两种方案所需费用相同，均为20元.
y=x，
y=0.4x+12.
x=20，
y=20.
（3）选择方案二所需费用较少. 理由如下：
由图可知，当x＞20时，y1＞y2，
∴当x=30时，y1＞y2. ∴应选择方案二.
思路点拨：（1）根据图象用待定系数法求解即可；（2）联立两函数的解析式求解即可；（3）根据函数的图象进行比较即可.
举一反三
4. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城. 在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与行驶的时间t（h）之间的函数关系如图19-30-9所示.
（1）求甲、乙两车离A城的距离y
（km）与行驶的时间t（h）之间的
函数关系式；
（2）求乙车出发后几小时追上甲车.
解：（1）设甲对应的函数关系式为y=kx（k≠0）.
将点（5，300）代入，得300=5k. 解得k=60.
∴甲对应的函数关系式为y=60t（0≤t≤5）.
设乙对应的函数关系式为y=mx+n（m≠0）.
把点（1，0）和点（4，300）代入，得
解得
∴乙对应的函数关系式为y=100t-100（1≤t≤4）.
m+n=0，
4m+n=300.
m=100，
n=－100.
（2）联立 解得
则2.5-1=1.5（h）.
∴乙车出发1.5 h追上甲车.
y=60t，
y=100t－100.
t=2.5，
y=150.
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第十九章 一次函数
本章知识梳理
第26课时 正比例函数
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解正比例函数的概念.
2. 理解正比例函数的图象与性质，会画正比例函数的图象.
3. 能利用所学正比例函数的知识解决相关问题.
本课目标
知识重点
知识点一：正比例函数的定义
一般地，形如__________（k是常数，k__________0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做________________.
y=kx
≠
比例系数
对点范例
1. 下列函数①y=2x；②y=x2；③y= ④y=－ ⑤y=-2x+2；⑥y= ⑦y= x-x中，是正比例函数的有__________.
①④⑦
知识重点
知识点二：正比例函数的图象与性质
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过__________的直线，我们称它为直线y=kx.
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的性质：
（1）当k＞0时，直线y=kx经过______________象限，从左向右上升，即随着x的增大y也__________；
（2）当k＜0时，直线y=kx经过______________象限，从左向右下降，即随着x的增大y_____________.
原点
第一、第三
增大
第二、第四
反而减小
对点范例
二、四
减小
2. 填空：
（1）正比例函数y=-5x的图象是经第__________象限的一条直线， y随着x的增大而__________;
（2）函数y= x的图象是经第__________象限的一条直线， y随着x的增大而__________．
一、三
增大
课堂演练
典例精析
【例1】下列函数哪些是正比例函数？是正比例函数的请指出它的比例系数.
（1）y= （2）y＝3- x；
（3）y＝2x； （4）y＝（ -1）x.
解：（1）y= 是正比例函数，比例系数是
（2）y＝3- x不是正比例函数.
（3）y＝2x是正比例函数，比例系数是2.
（4）y＝（ -1）x是正比例函数，比例系数是 -1.
思路点拨：根据正比例函数的定义进行判断即可.
举一反三
1. 下列函数哪些是正比例函数？是正比例函数的请指出它的比例系数．
（1）y＝-4x2；（2）y＝3x-1；
（3）y＝ （4）y＝
解：（1）y＝-4x2不是正比例函数.
（2）y＝3x-1 不是正比例函数.
（3）y＝ 是正比例函数，比例系数是
（4）y＝ 不是正比例函数.
典例精析
【例2】已知函数y=2x.
（1）函数图象经过第__________象限，从左向右__________，y随着x的增大而__________；
（2）函数图象经过点（ 0，________）和点（2，________）；
（3）当-1≤x≤4时，y的取值范围是______________；
一、三
上升
增大
0
4
-2≤y≤8
（4）若点A（-2，y1）和点B（2，y2）在该函数图象上，则y1 __________y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
思路点拨：根据正比例函数的图象与性质进行解答即可.
＜
举一反三
2. 已知函数y=－ x.
（1）函数图象经过第__________象限，从左向右__________，y随着x的增大而__________；
（2）函数图象经过点（________，0 ）和点（________，4）；
（3）当-2≤x≤3时，y的取值范围是_______________；
（4）若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在该函数图象上，且x1＞x2，则y1__________y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
二、四
下降
减小
0
-12
-1≤x≤
＜
典例精析
【例3】已知函数y＝（2m+4）x.
（1）m为何值时，函数为正比例函数？
（2）m为何值时，函数图象经过第一、三象限？
（3）m为何值时，y随x的增大而减小？
思路点拨：根据正比例函数的定义和性质进行解答即可.
解：（1）由题意，得2m+4≠0.解得m≠-2.
（2）由题意，得2m+4＞0.解得m＞-2.
（3）由题意，得2m+4＜0.解得m＜-2.
举一反三
3. 已知函数y=（5-2k）x.
（1）当k取何值时，函数为正比例函数？
（2）当k取何值时，y随x的增大而增大？
（3）当k取何值时，函数图象从左到右下降？
解：（1）由题意，得5-2k≠0. 解得k≠
（2）由题意，得5-2k＞0. 解得k<
（3）由题意，得5-2k＜0. 解得k>
典例精析
【例4】函数y=（k+1）x|k+2|是正比例函数，求k的值.
思路点拨：根据正比例函数的定义求解即可.
解：由题意，得|k+2|=1且k+1≠0.
解得k=-3.
∴k的值为-3.
举一反三
4. 已知函数y=（m-1）xm2－3是正比例函数.
（1）若函数关系式中，y随x的增大而减小，求m的值；
（2）若函数的图象过第一、三象限，求m的值.
解：由题意，得m2-3＝1且m-1≠0.
解得m=-2或m=2.
（1）∵y随x的增大而减小，
∴m-1＜0. 解得m＜1.
∴m=-2.
（2）∵函数的图象过第一、三象限，
∴m-1＞0. 解得m＞1.
∴m=2.
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第十九章 一次函数
本章知识梳理
第22课时 变量与函数（一）
1. 函数
（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义.
（2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例.
本章知识梳理
课标要求
（3）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
（4）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值.
（5）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
（6）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
2. 一次函数
（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式.
（2）会利用待定系数法确定一次函数的表达式.
（3）能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况.
（4）理解正比例函数.
（5）体会一次函数与二元一次方程的关系.
（6）能用一次函数解决简单实际问题.
知识梳理
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 了解常量、变量、函数的概念.
2. 了解函数解析式及函数值的概念.
3. 能正确的写出函数解析式并求解函数值.
本课目标
知识重点
知识点一：变量与常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值_____________的量为变量，数值始终不变的量为__________.
发生变化
常量
对点范例
1.齿轮每分钟转120转，如果n表示转数，t表示转动时间（单位：min），那么n与t之间的关系是__________，其中__________为变量，__________为常量.
n=120t
t，n
120
知识重点
知识点二：函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有__________确定的值与其对应，那么我们就说x是__________，y是x的__________. 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的__________. 用关于自变量的__________表示函数与自变量之间的关系叫做函数的解析式.
唯一
自变量
函数
函数值
数学式子
对点范例
2. 在函数关系式y=4x中，自变量为__________，常量为__________.当x=2.5时，函数值为__________.
x
4
10
课堂演练
典例精析
【例1】某报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，填写下表：
用含x的式子表示y=__________，其中__________是常量，__________是变量.
数量x/份 1 2 3 4 …
总价y/元 __________ __________ __________ __________ …
0.4
0.8
1.2
1.6
0.4x
0.4
x，y
思路点拨：先根据题意填写表格和写出函数关系式，再根据变量、常量的概念解答即可.
举一反三
1. 一辆汽车从甲地到乙地，每小时行驶50 km，行驶的时间为t（h），离乙地的路程为s（km）.
用t的式子表示s为s=__________，其中__________是常量，__________是变量，t的取值范围是______________.
t/h 1 2 3 4 5 6
s/km 250 200 150 100 50 0
300-50t
300，-50
s，t
0≤t≤6
典例精析
【例2】如图19-22-1是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题：
（1）自变量是__________，
因变量是__________；
（2）护士每隔__________h
给病人量一次体温；
时间
体温
6
（3）这位病人的最高体温是__________℃，最低体温是__________℃；
（4）他在4月8日12时的体温是__________℃.
思路点拨：从体温随时间变化的图象中得出答案即可.
39.5
36.8
37.5
举一反三
2. （跨学科融合）植物呼吸作用受温度影响很大，观察如图19-22-2，回答问题：
（1）此图反映的自变量和因变量分
别是什么？
（2）温度在什么范围内时豌豆苗的
呼吸强度逐渐变强？在什么范围内逐
渐减弱？
（3）要使豌豆呼吸作用最强，应控制在什么温度左右？要抑制豌豆的呼吸应控制在什么温度左右？
解：（1）此图反映的自变量是温度，因变量是呼吸作用强度.
（2）由图象知，温度在0 ℃到35 ℃范围内时豌豆苗的呼吸强度逐渐变强；在35 ℃到50 ℃范围内逐渐减弱；
（3）由图象知，要使豌豆呼吸作用最强，应控制在35 ℃左右；要抑制豌豆的呼吸应控制在0 ℃左右.
典例精析
【例3】等腰△ABC的周长为10 cm，底边BC长为y cm，腰AB长为x cm，则y与x的关系式为：______________________. 当x=4 cm时，y=__________cm；当y=4 cm时，x=__________cm.
思路点拨：先根据题意列出函数解析式，再代入自变量的值进行计算即可.
y=10-2x（2.5＜x＜5）
2
3
举一反三
3. 弹簧原长3 cm，每加重1 kg弹簧伸长0.5 cm，写出弹簧长度L（cm）与载重m（kg）的函数关系式为______________. 当载重2 kg时，弹簧长度为__________.
L=3+0.5m
4 cm
典例精析
【例4】下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
思路点拨：根据函数的概念进行判断即可.
D
举一反三
4. 下列图象中，y是x的函数的是（ ）
B
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第十九章 一次函数
本章知识梳理
第27课时 一次函数（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式.
2. 掌握一次函数的定义，理解正比例函数和一次函数的关系.
3. 掌握一次函数的图象和性质.
4. 能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式探索并理解图象的变化情况.
5. 能利用一次函数解决简单的实际问题.
本课目标
知识重点
知识点一：一次函数的定义
一般地，形如________________（k,b是常数，k__________0）的函数，叫做一次函数．当b=0时，y=kx+b即__________,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．
y=kx+b
≠
y=kx
对点范例
1. 下列函数关系式：①y＝kx+1；②y＝ ③y＝x2+1；④y＝22-x. 一定是一次函数的有__________个.
1
知识重点
知识点二：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象和性质
（1）当k＞0时，y随x的增大而__________，直线从左向右__________；
（2）当k＜0时，y随x的增大而__________，直线从左向右__________.
增大
上升
减小
下降
对点范例
2. 已知一次函数y=（2m-1）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________．
m＞
知识重点
知识点三：一次函数的平移
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位得到（当b＞0时，向__________平移；当b＜0时，向__________平移）.
上
下
对点范例
3. 将y=2x-3的图象向上平移2个单位长度得到的直线的表达式为___________________.
y=2x-1
课堂演练
典例精析
【例1】已知函数y=（m-1）x+m2-1.
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）当m为何值时，y是x的正比例函数？
思路点拨：（1）根据一次函数的定义求解即可；（2）根据正比例函数的定义求解即可.
解：（1）由题意，得m-1≠0.
解得m≠1.
（2）由题意，得m2-1=0且m-1≠0.
解得m=-1.
举一反三
1． 已知y=（m-1）x2-|m|+n+3.
（1）当m,n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m,n取何值时，y是x的正比例函数？
解：由题意，得m-1≠0且2-|m|=1.
解得m=-1.
（2）∵当m=-1时，y是x的一次函数,
∴当n+3=0时，y是x的正比例函数.
∴n=-3.
∴当m=-1，n=-3时，y是x的正比例函数.
典例精析
【例2】我们知道，海拔高度每上升1 km，温度下降6 ℃. 某时刻，某地地面温度为30 ℃，设高出地面x km处的温度为y ℃.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知该地一座山峰高出地面约2 500 m，求这时山顶的温度；
（3）此刻，有一架飞机飞过该地上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-36 ℃，求飞机离地的高度.
解：（1）由题意，得y=30-6x.
（2）2500 m=2.5 km.
当x=2.5时，y=30-6×2.5=15.
答：这时山顶的温度大约是15 ℃.
（3）当y=-36时，得-36=30-6x.
解得x=11.
答：飞机离地的高度是11 km.
思路点拨：（1）根据题意列出函数关系式即可；（2）（3）将已知数据代入关系式求解即可.
举一反三
2. 某商店有东部华侨城明信片每套12元，暑假临近，为吸引顾客，商店制定了两种优惠方案. 方案一：花60元买一张该商店会员卡，每套明信片可打六折；方案二：直接按总金额的八折付款.
（1）写出两种优惠方案的实际付款金额y（元）与x（套）之间的关系式；
（2）当购买多少套明信片时，两种优惠方案的实付金额一样？
解：（1）方案一：y1=60+12x·60%=7.2x+60；
方案二：y2=12x·80%=9.6x.
（2）当y1=y2时，得9.6x=7.2x+60.
解得x=25.
答：当购买25套明信片时，两种优惠方案的实付金额一样.
典例精析
【例3】已知k＜0，b＜0，则一次函数y=kx+b的图象可能是（ ）
思路点拨：根据一次函数图象的性质判断即可.
D
举一反三
3. 下列图象可能是一次函数y=kx-k（k≠0）的图象的是（ ）
D
典例精析
【例4】已知一次函数y=3x+2.
（1）函数图象经过第________________象限，从左向右________，y随着x的增大而__________；
（2）函数图象经过点（ 0，________）和点（__________，0）；
（3）当-2≤x≤2时，y的取值范围是______________；
一、二、三
上升
增大
2
－
-4≤y≤8
（4）若点A（-1，y1）和点B（1，y2）在该函数图象上，则y1__________y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
思路点拨：根据一次函数的图象与性质进行解答即可.
＜
举一反三
4. 已知一次函数y=-2x-3.
（1）函数图象经过第__________________象限，从左向右__________，y随着x的增大而__________；
（2）函数图象经过点（ 0，________）和点（________，0）；
（3）当-1≤x≤3时，y的取值范围是______________；
二、三、四
下降
减小
-3
－
-9≤y≤-1
（4）若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在该函数图象上，且x1＞x2，则y1__________y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
＜
典例精析
【例5】已知一次函数y=（2m+4）x+2n-4．
（1）m为何值时，y随x的增大而减小？
（2）m,n为何值时，函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上？
解:（1）由题意，得2m+4<0.
解得m<-2.
∴当m<-2时，y随x的增大而减小.
（2）由题意，得
解得
∴当m≠-2且n<2时，函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.
2m+4≠0,
2n-4＜0.
m≠-2,
n＜2.
思路点拨：根据一次函数的图象与性质解答即可.
举一反三
5. 已知一次函数y=（m+2）x+3-n.
（1）m，n满足什么条件时，y随x的增大而减小？
（2）m，n为何值时，函数的图象经过原点？
（3）若函数图象经过第二、三、四象限，求m，n的取值范围.
解：（1）由题意，得m+2＜0.
解得m＜-2.
∴当m＜-2且n为任意实数时，y随x的增大而减小.
（2）由题意，得m+2≠0且3-n=0.
解得m≠-2且n=3.
∴当m≠-2且n=3时，函数的图象经过原点.
（3）由题意，得
解得
∴当m＜-2且n＞3时，函数的图象经过第二、三、四象限.
m+2<0，
3－n<0.
m<－2，
n>3.
典例精析
【例6】已知一次函数y=-2x+4，回答下列问题：
（1）请在图19-27-1所示的直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）根据图象回答：当x__________时，y＞4.
＜0
解：（1）略.
思路点拨：（1）先分别求出直线与x轴、y轴的交点，然后再根据交点画出函数图象即可；（2）根据函数图象可直接得出结论.
举一反三
经过
6. 已知一次函数y=3x-3.
（1）请在图19-27-2所示的直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）直线y=3x-3__________点A （填“经过”或“不经过”）；
解：（1）略.
（3）当-1＜x＜2时，y的取值范围是________________.
-6＜y＜3
解：（1）略.
典例精析
【例7】在同一平面直角坐标系中：
（1）直线y=-2x+3向下平移3个单位长度得到直线__________；
（2）直线y=3x+1向上平移5个单位长度得到直线______________.
思路点拨：直接根据“上加下减”的平移规律求解即可.
y=-2x
y=3x+6
举一反三
7. 已知一次函数y=－ x+1通过平移后得到直线y=－ x+4，下列关于图形平移说法正确的是（ ）
A. 向左平移3个单位长度
B. 向右平移3个单位长度
C. 向上平移3个单位长度
D. 向下平移3个单位长度
C
典例精析
【例8】如图19-27-3，直线y=－ x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积.
解：令x=0，则y=3；
令y=0，则x=6.
∴点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）.
∴OA=6，OB=3.
∴S△AOB= OA·OB= ×6×3=9.
思路点拨：（1）分别令x=0，y=0求解即可；（2）根据三角形的面积公式计算即可.
举一反三
8. 已知一次函数y=2x-2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线与坐标轴所围成图形的面积.
解：（1）令x=0，则y=-2；
令y=0，则x=1.
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，-2）.
（2）直线与坐标轴所围成图形的面积为 ×1×2=1.
典例精析
【例9】如图19-27-4，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过A（1，1）和C（-2，m）两点.
（1）求m的值；
（2）设这条直线与y轴相交于点B，求△OBC的面积.
解：（1）∵直线y=kx+3经过点A（1，1），
∴1=k+3. 解得k=-2.
∴直线解析式为y=-2x+3.
把C（-2，m）代入y=-2x+3中，得m=－2×（－2）+3=7.
思路点拨：先根据点A的坐标求出直线的解析式，再把点C的坐标代入求解即可；（2）根据三角形的面积公式计算即可.
（2）令x=0，则y=3.
∴点B的坐标为（0，3）. ∴OB=3.
由（1）得点C的坐标为（-2，7）.
∴S△OCB= OB·|xC|= ×3×2=3.
举一反三
9. 如图19-27-5，已知直线y=kx-3经过点M，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点.
（1）求直线的解析式；
（2）求△OBM的面积.
解：（1）由图可知，直线y=kx-3经过点M（-2，1），
∴1=-2k-3.
解得k=-2.
∴直线的解析式为y=-2x-3.
（2）令x=0，则y=-3.
∴点B（0，-3）.
∴OB=3.
又∵点M的坐标为（-2，1），
∴S△OBM= OB·|xM|= ×3×2=3.
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第十九章 一次函数
本章知识梳理
第31课时 课题学习 选择方案
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 能根据所列函数的表达式的性质，选择合理的方案解决问题.
2. 进一步巩固一次函数的相关知识，初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识.
本课目标
知识重点
知识点：运用一次函数选择最佳方案
用数学方法选择方案一般可分为三步：
①构建函数模型，列出_______________；
②确定自变量的______________或是针对自变量的取值进行讨论；
③由函数的性质（或经过比较后）直接得出__________方案.
函数关系式
取值范围
最佳
对点范例
暑假里校长带领学校“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票的六折优惠.”若全票为240元.
（1）设学生数为x(人)，甲旅行社收费为y1（元），乙旅行社收费为y2（元），则y1=__________，y2=__________；
（2）当学生有__________人时，两个旅行社收取的费用一样.
120x+240
144x+144
4
课堂演练
典例精析
【例1】甲、乙两家水果商店，平时以同样的价格出售品质相同的樱桃. 春节期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，甲商店的樱桃价格为60元/kg；乙商店的樱桃价格为65元/kg，若一次购买2 kg以上，超过2 kg部分的樱桃价格打八折.
（1）设购买樱桃x kg，y甲，y乙（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付款金额，求y甲，y乙关于x的函数解析式；
（2）春节期间，如何选择甲、乙两家商店购买樱桃更省钱？
解：（1）由题意，得y甲=60x.
y乙=
（2）①当0≤x≤2时，60x＜65x，即y甲＜y乙；
②当x＞2时，
令y甲＜y乙，得60x＜52x+26. 解得x＜3.25；
令y甲=y乙，得60x=52x+26. 解得x=3.25；
令y甲＞y乙，得60x＞52x+26. 解得x＞3.25.
综上所述，当x＜3.25时，到甲商店购买樱桃更省钱；
当x=3.25时，到甲、乙两家商店购买樱桃花费相同；
当x＞3.25时，到乙商店购买樱桃更省钱.
65x（x≤2），
52x+26（x＞2）.
思路点拨：（1）根据题意给出的等量关系求出即可；（2）根据（1）所得解析式进行讨论即可.
举一反三
1. 4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动. 方案一：享受当天购书标价八折的普通优惠；方案二：在普通优惠的基础上再打七五折，但需要缴纳50元权益卡费用. 设标价总额为x元，方案一、方案二应支付金额分别为y1，y2元.
（1）分别就两种方案，求y关于x的函数解析式；
（2）“世界读书日”这一天，如何选择哪种方案购书更省钱？
解：（1）由题意，得y1=0.8x，
y2=0.8x×0.75+50=0.6x+50.
（2）当y1＞y2，即0.8x＞0.6x+50时，得x＞250；
当y1=y2，即0.8x=0.6x+50时，得x=250；
当y1＜y2，即0.8x＜0.6x+50时，得x＜250.
综上所述，当x＜250时，选择方案一更省钱；
当x=250时，两种方案支付金额相同；
当x＞250时，选择方案二更省钱.
典例精析
【例2】儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用y与x的函数关系如图19-31-1所示. 根据图中信息，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，
y关于x的函数表达式，并求出点B坐标；
（2）若洋洋爸爸准备m元用于洋洋在该
游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？
解：（1）设y甲=k1x（k1≠0）.
将点（5，100）代入，得5k1=100.
解得k1=20.
∴y甲=20x.
设y乙=k2x+100（k2≠0）.
将点（20，300）代入，得20k2+100=300.
解得k2=10.
∴y乙=10x+100.
联立 解得
∴点B坐标为（10，200）.
y=20x，
y=10x+100.
x=10，
y=200.
（2）由图可知，当m＜200时，选择甲消费卡比较合算；当m=200时，选择两种消费卡费用一样；当m＞200时，选择乙消费卡比较合算.
思路点拨：（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式，联立方程组解答即可求出点B坐标；（2）根据点B坐标结合图象，分三种情况讨论即可.
举一反三
2. 某通信公司推出两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（min）与费用y（元）之间的函数关系如图19-31-2所示.
（1）有月租的收费方式是__________
（填“①”或“②”），月租费是
__________元;
（2）分别求出①、②两种收费方式中y与
自变量x之间的函数关系式；
（3）请你结合图象根据用户通话时间的多
少，给出经济实惠的选择建议.
①
30
解：（2）设收费方式①的函数关系式为y=k1x+30（k1≠0）.
将点（500，80）代入，得80=500k1+30.
解得k1=0.1.
∴收费方式①的函数关系式为y=0.1x+30.
设收费方式②的函数关系式为y=k2x（k2≠0）.
将点（500，100）代入，得100=500k2.
解得k2=0.2.
∴收费方式②的函数关系式为y=0.2x.
（3）联立
解得
∴两个函数的图象交点坐标为（300，60）.
故由图可知，当x＜300时，选择通话方式②实惠；当x=300时，选择通话方式①、②一样实惠；当x＞300时，选择通话方式①
实惠.
y=0.1x+30，
y=0.2x.
x=300，
y=60.
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第十九章 一次函数
本章知识梳理
第28课时 一次函数（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 能利用待定系数法求一次函数解析式.
2. 体会一次函数与二元一次方程的关系.
本课目标
知识重点
知识点：用待定系数法求一次函数的解析式
先设出函数__________，再根据条件确定解析式中__________________ ，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.
解析式
未知的系数
对点范例
已知一次函数y=kx+3（k≠0）的图象经过点A（2，-1），则这个一次函数的表达式是（ ）
A. y=-2x+3 B. y= x+3
C. y=2x+3 D. y=x+3
A
课堂演练
典例精析
【例1】若正比例函数的图象经过点（-4，2），则它的解析式
为______________.
思路点拨：利用待定系数法求解即可.
y=－ x
举一反三
1. 如图19-28-1，正比例函数图象经过点A，则该函数的解析式为__________.
y=2x
典例精析
【例2】已知一次函数的图象经过点（4，6）和（1，3）.
（1）求此一次函数的表达式；
（2）若点（a，5）在函数图象上，求a的值.
解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）.
∵y=kx+b的图象过点（4，6）与（1，3），
∴ 解得
∴一次函数解析式为y=x+2.
4k+b＝6，
k+b＝3.
k＝1，
b＝2.
（2）∵点（a，5）在该函数的图象上，
∴a+2=5.
解得a=3.
思路点拨：（1）利用待定系数法求解即可；（2）把点（a，5）代入一次函数的解析式，解方程即可.
举一反三
2. 已知直线l的图象如图19-28-2所示.
（1）求直线l的函数表达式；
（2）求证：OC=OD.
（1）解：由图象，得A（-3，-1），B（1，3）.
设直线l的函数表达式为y=kx+b（k≠0）.
∵y=kx+b的图象过点A（-3，-1）与B（1，3），
∴ 解得
∴直线l的函数表达式为y=x+2.
-3k+b=-1，
k+b=3.
k=1，
b=2.
（2）证明：在y=x+2中，令y=0，则x=-2；令x=0，则y=2.
∴C（-2，0），D（0，2）.
∴OC=2，OD=2.
∴OC=OD.
典例精析
【例3】已知直线y=kx+b的平行于直线y=2x，且经过点（0，3），求该直线的解析式.
思路点拨：先根据直线平行可得k的值，再将点（0，3）代入求出b的值，即可得到直线的解析式.
解：∵直线y=kx+b平行于直线y=2x，
∴k=2.
将点（0，3）代入y=2x+b，得b=3.
∴该直线的解析式为y=2x+3.
举一反三
3. 求经过（-2，4）且与一次函数y= x+3的图象平行的直线的解析式.
解：设该直线的解析式为y=kx+b（k≠0）.
∵直线与y= x+3的图象平行，∴k= .
将点（-2，4）代入y= x+b，得
4= ×（－2）+b. 解得b=5.
∴该直线的解析式为y= x+5.
典例精析
【例4】已知y与x-2成正比例，且当x=3时，y=2.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y=-2时，求自变量x的值.
解：（1）设y=k（x-2）（k≠0）.
将x=3，y=2代入，得2=（3-2）k.
解得k=2.
∴y与x之间的函数关系式为y=2x-4.
（2）当y=-2时，得-2=2x-4.
解得x=1.
思路点拨：（1）利用待定系数法求解即可；（2）将y=-2代入关系式计算即可.
举一反三
4. 已知y-1与x+2成正比例，且当x=-1时，y=3.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（2m+1，-1）是该函数图象上的一点，求m的值.
解：（1）设y-1=k（x+2）（k≠0）.
把x=-1，y=3代入，得3-1=（-1+2）k.
解得k=2.
∴y与x之间的函数关系式为y=2（x+2）+1=2x+5.
（2）把点（2m+1，-1）代入y=2x+5，得
-1=2（2m+1）+5.
解得m=-2.
典例精析
【例5】如图19-28-3，过点A(0,3)的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B.求该一次函数的解析式.
解：把x＝1代入y＝2x，得y＝2.
∴B（1，2）.
设该一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）.
∵该函数的图象过点A（0,3）与点B（1,2），
∴ 解得
∴该一次函数的解析式为y＝-x+3.
b=3，
k+b=2.
k=-1,
b=3.
思路点拨：先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可.
举一反三
5. 如图19-28-4，在平面直角坐标系中，
一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A
（-2，0），与y轴交于点B，且与正比例
函数y＝2x的图象的交于点C（m，4），求
m的值及一次函数y=kx+b的表达式.
解：∵点C（m，4）在正比例函数y＝2x的图象上，
∴4＝2m. 解得m=2.
∴点C坐标为（2，4）.
∵一次函数 y=kx+b经过点A（-2，0）与C（2，4），
∴ 解得
∴一次函数的表达式为y＝x+2.
0=－2k+b，
4=2k+b.
k=1，
b=2.
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第十九章 一次函数
本章知识梳理
第29课时 一次函数与方程(组)、不等式（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据函数图象写出一元一次方程的解或写出一元一次不等式的解集.
2. 体验数形结合的思想，学会用函数的观点去认识问题.
本课目标
知识重点
知识点一：一次函数和一元一次方程
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的形式，所以一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为__________时，求______________的值；也相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴交点的__________的值.
0
自变量x
横坐标
对点范例
1. 若直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（-3，0），则关于x的方程kx+b＝0的解是__________.
x＝-3
知识重点
知识点二：一次函数与一元一次不等式
求一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的解，相当于一次函数y=ax+b的函数值y__________0或y__________0时，求自变量x的取值范围；也相当于这个函数图象在x轴__________或__________时，相应的自变量x的取值范围.
>
<
上方
下方
对点范例
2. 已知关于x的不等式ax＋1＞0（a≠0）的解集为x＜1，则直线y=ax＋1与x轴的交点坐标是（ ）
A. （0,1） B. （0，－1）
C. （－1,0） D. （1,0）
D
课堂演练
典例精析
【例1】已知一次函数y=ax+b的图象如图19-29-1所示，则
（1）方程ax+b=0的解为__________；
（2）方程ax+b=1的解为__________；
（3）方程ax+b=-1的解为__________.
思路点拨：根据一次函数与一元一次方程的关系解答即可.
x=2
x=4
x=0
举一反三
1. 已知一次函数y=kx+b的图象如图19-29-2所示，则
（1）方程kx+b=0的解为__________；
（2）方程kx+b=-3的解为__________；
（3）方程kx+b=-4的解为__________.
x=-2
x=-0.5
x=0
典例精析
【例2】已知一次函数y=kx+b的图象如图19-29-3所示，则
（1）当x__________时，y＞0；
（2）当x__________时，y＜0；
（3）不等式kx+b≥1的解集是__________；
（4）不等式kx+b≤1的解集是__________.
思路点拨：根据一次函数与一元一次不等式的关系解答即可.
＜2
＞2
x≤0
x≥0
举一反三
2. 已知一次函数y=kx+b的图象如图19-29-4所示，则
（1）当x__________时，y＞0；
（2）当x__________时，y≤-2；
（3）不等式kx+b≥4的解集是__________；
（4）不等式kx+b＜0的解集是__________.
＞1
≤0
x≥3
x＜1
典例精析
【例3】已知一次函数y=kx+b的图象经过点（3，5）与
（-4，-9）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求关于x的不等式kx+b≤5的解集.
解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点（3，5）与（-4，-9），
∴ 解得
∴这个一次函数的解析式为y=2x-1.
（2）由题意，得2x-1≤5. 解得x≤3.
∴不等式kx+b≤5的解集为x≤3.
3k+b=5，
－4k+b=－9.
k=2，
b=－1.
思路点拨：（1）用待定系数法求解即可；（2）直接解不等式
即可.
举一反三
3. 一次函数y=kx+b的图象如图19-29-5所示，求得关于x的方程kx+b=4的解.
解：把（0，1）和（2，3）代入y=kx+b，得
解得
∴该一次函数的解析式为y=x+1.
当y=4时，x+1=4，解得x=3.
∴方程kx+b=4的解为x=3.
b=1，
2k+b=3.
b=1，
k=1.
典例精析
【例4】在如图19-29-6所示的坐标系中，画出函数y=x+2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x+2=0的解是__________；
（2）不等式x+2＞1的解集是_________；
（3）若-2≤y≤2，则x的取值范围是_____________.
x=-2
x＞-1
-4≤x≤0
思路点拨：先画出函数图象，再根据函数图象解答即可.
画图略.
举一反三
4. 在如图19-29-7所示的坐标系中，画出函数y=－ x+2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程－ x+2=0的解是__________；
（2）不等式－ x+2≥2的解集是__________；
（3）若1＜y≤4，则x的取值范围是__________.
x=4
x≤0
-4≤x＜2
画图略.
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第十九章 一次函数
单元复习课
专题二 中考新动向
【考情讲述】
在近几年的广东中考试题中，单独考察一次函数的题目比较少，考察也相对比较简单. 一次函数的考察主要集中在与反比例函数、二次函数、几何图形等的综合题中，题型也以解答题为主，不过也有一些相对新颖的题型需要我们注意.
类型一：程序型
【例1】根据如图D19-2-1所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为4时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
A
1. 根据如图D19-2-2所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是-2，若输入x的值是-8，则输出y的值是（ ）
A. 5
B. 10
C. 19
D. 21
C
类型二：规律型
【例2】如图D19-2-3，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y=x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线于N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线l于点N3；…，按此作法进行下去，则点
M2 021的坐标为 ___________________.
（22 021，0）
2. 如图D19-2-4，已知直线l：y=x，过点A1（1，0）作x轴的垂线交直线l于点B1，以A1B1为边作正方形A1B1C1A2，过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2A3，…，按此规律进行，则点Cn的坐标为______________.
（2n，2n-1）
类型三：定义型
【例3】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′= 则称点Q为点P的“可控变点”.
（1）点（-3，4）的“可控变点”的坐标为__________；
（2）若点N（m，2）是函数y=x-1图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为__________________________.
y（x≥0)，
－y(x＜0)，
（-3，-4）
（3，2）或（-1，-2）
3. 对于给定的一次函数y=ax+b（a，b为常数，且a≠0），把形
如y= 的函数称为一次函数y=ax+b的“相依函
数”，已知一次函数y=x+1，若点P（-2，m）在这个一次函数的
“相依函数”图象上，则m的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
ax+b(x≥0)，
－ax－b(x＜0)
A
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第十九章 一次函数
本章知识梳理
第24课时 函数的图象（一）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 理解函数的图象的概念.
2. 掌握画函数图象的一般步骤,能画出一些简单的函数图象.
3. 能根据所给函数图象提取出有用的信息.
本课目标
知识重点
知识点一：函数图象的概念
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的__________________，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的__________.
横、纵坐标
图象
对点范例
1. 如图19-24-1是甲、乙两人从同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）在此变化过程中，
__________是自变量；
（2）甲出发后__________h
与乙相遇；
（3）甲比乙先走__________h；
（4）9 h甲在乙的__________（填“前面”“后面”或“相同位置”）.
t
6
3
后面
知识重点
知识点二：函数图象的画法
描点法画函数图象的一般步骤：
（1）__________：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
（2）__________：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
（3）__________：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
列表
描点
连线
对点范例
2. 已知函数y= x+1.
（1）自变量x的取值范围是______________；
（2）当x=0时，y=__________；
（3）点（__________，0）在此函数的图象上.
全体实数
1
-3
课堂演练
典例精析
【例1】一支蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩余的高度h（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系的图象是（ ）
D
思路点拨：随着时间的增多，蜡烛的高度就越来越小，且由于时间和高度都为正值，故函数图象只能在第一象限，即可得出答案.
举一反三
1. 小明从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与时间t（min）的大致图象是（ ）
C
典例精析
【例2】汽车的速度随时间变化的情况如图19-24-2：
（1）这辆汽车的最高时速
是__________km/h；
（2）汽车在行驶了________min
后停了下来，停了________min；
120
10
1
（3）汽车在第一次匀速行驶时共行驶了__________min，速度是__________km/h，在这一段时间内，它走了__________km.
思路点拨：（1）（2）结合图象中的数据，即可得到答案；（3）结合图象中的数据，得到汽车行驶的时间和速度，再根据“路程=速度×时间”，即可求出所走的路程.
4
90
6
举一反三
2. 某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑. 当小明出发时，朱老师已经距起点200 m了，他们距起点的距离s（m）与小明出发的时间t（s）之间的关系如图19-24-3所示（不完整）.根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是__________，因变量是__________；
（2）小明的速度为__________m/s，朱老师的速度为__________m/s；
（3）小明与朱老师相遇__________次，相遇时距起点的距离分别为______________________.
t
s
6
2
2
300 m和420 m
典例精析
x … -2 -1 0 1 2 …
y … …
【例3】在如图19-24-4所示的平面直角坐标系中，画出y=3x+1的函数图象.
（1）列表：
（2）描点：根据表中数据描出各点；
（3）连线：用平滑的曲线依次连接各点.
略.
思路点拨：根据描点法画函数图象的一般步骤进行解答即可.
举一反三
x … …
y … …
3. 在如图19-24-5所示的平面直角坐标系中，画出y= 的函数图象.
略.
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第十九章 一次函数
本章知识梳理
第25课时 函数的图象（二）
目录
01
本课目标
02
课堂演练
1. 了解函数的三种表示方法及其优缺点.
2. 能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系.
3. 能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论.
本课目标
知识重点
知识点：函数的表示方法
函数的表示方法共有__________种，分别是__________法、__________法和__________法.
三种函数表示方法的优缺点:
①__________法的优点是简单明了，但在求函数值时，往往需要复杂的计算才能得出;
②__________法形象直观地表达函数值随自变量的变化而变化的关系，但画出的图象是近似的，往往不够准确；
3
解析式
图象
列表
解析式
图象
③__________法能明显地显示出自变量与其对应的函数值，但往往不能一一列出，不容易反映函数与自变量之间变化关系的全貌.
列表
对点范例
1. 某院观众的座位按下列方式设置：
根据表格中两个变量之间的关系，则当x＝8时，y＝_________．
排数x 1 2 3 4 …
座位数y 30 33 36 39 …
51
2. 某水果店“五一”期间开展促销活动，卖出苹果质量x（kg）与售价y（元·kg-1）的关系如下表：
则售价y（元·kg-1）与质量x（kg）之间的关系式是__________．
数量x/kg 1 2 3 4 5 …
售价y/（元·kg-1） 9 15 21 27 33 …
y＝6x+3
课堂演练
典例精析
【例1】某市出租车计费的方法如图19-25-1所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象解答下列问题：
（1）该地出租车起步价是__________元；
（2）当x＞2时，用解析式法表示y与x之间的函数关系是__________________；
（3）若某乘客一次乘出租车的里程为18 km，则这位乘客需付出租车车费为__________元.
10
y=2x+6
42
思路点拨：（1）结合图中的数据解答即可；（2）先根据图中的数据求出出租车每公里的单价，再根据车费=起步价+超出部分费用可得函数关系式；（3）把数据代入（2）中的关系式解答即可.
举一反三
1. 一辆汽车行驶时的平均耗油量为0.15 L/km，如图19-25-2是油箱剩余油量y（L）关于加满油后已行驶的路程x（km）的变化情况：
（1）用解析式法表示y与x之间的函数
关系式为______________________，
自变量x的取值范围为______________；
（2）当汽车行驶200 km时，油箱内的
剩余油量为__________.
y=90-0.15x
0≤x≤600
60 L
典例精析
【例2】某商场新进了5台彩电，每台售价3 000元，试求出售出台数x（台）与新进彩电销售总额y（元）之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析式法表示出来.
解：列表法：
图象法：如答图19-25-1.
解析式法：y=3 000x（1≤x≤5，x取正整数）.
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
思路点拨：先利用列表法得出所有数据，再利用图象法画出图象，再结合题意列出解析式即可.
举一反三
2. 市场上土豆的价格是3.2元/kg，应付款y（元）是购买
土豆质量x（kg）的函数，请分别用解析式法和图象法表示
这个函数.
解：由题意，得y=3.2x.
∴用解析式法表示为y=3.2x（x≥0）.
用图象法表示如答图19-25-2.
典例精析
【例3】已知动点P以2 cm/s的速度沿图19-25-3①所示的边框从B→C→D→E→F→A的路径运动，记三角形ABP的面积为S（cm2），S与运动时间t（s）的关系如图19-25-3②所示. 若AB=6 cm，请回答下列问题：
（1）图19-25-3①中BC=__________cm，CD=__________cm，DE=__________cm；
（2）求图19-25-3②中m，n的值.
8
4
6
解：（2）∵S△ABC= AB·BC= ×6×8=24（cm2），∴m=S△ABC=24.
由图19-25-3①，得AB=CD+EF，AF=BC+DE.
∴n=（BC+CD+DE+EF+FA）÷2=（2BC+2DE+AB）÷2=（8×2+6×2+6）÷2=17.
∴m的值为24，n的值为17.
思路点拨：（1）根据“路程=速度×时间”，结合图象中的数据求解即可；（2）由图象可知，m的值就是△ABC面积，n的值就是运动的总时间，由此即可解决.
举一反三
3. 如图19-25-4①所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD=8 cm，BC=10 cm. 点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图19-25-4②所示.
（1）由图19-25-4②知，点E运动的时间为__________s，速度为__________cm/s，点E停止运动时与点C的距离为__________cm；
（2）求在点E的运动过程中，△ABE的面积y（cm2）与运动时间
x（s）之间的关系式；
（3）当点E停止运动后，求△ABE的面积.
3
3
1
解：（2）由题意，得y= BE·AD= ×3x×8=12x.
∴y=12x（0＜x≤3）.
（3）当x=3时，y=12×3=36.
∴当点E停止运动后，△ABE的面积为36 cm2.
谢 谢
