(共19张PPT)
第五章 分式与分式方程
第34课时 分式的乘除法
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
分子相乘的积
分母相乘的积
颠倒位置
8b
乘方
课堂导练
知识点1 分式的乘法
【例1】计算：(1) ； (2)
思路点拨：根据分式的乘法运算法则计算即可求出答案.
1. 计算：
知识点2 分式的除法
思路点拨：根据分式的除法法则进行计算即可得出答案.
知识点3 分式的乘方
思路点拨：根据分式的乘方、乘法法则进行计算即可得出答案.
知识点4 创新题
思路点拨：直接利用最简分式的定义分析计算得出答案.
谢 谢
泰
4.已知分式A=
a2-4.a2-4a十4
a-1
a-1
(1)化简这个分式：
(2)若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件的a
的值.
(2)A=+名是整数，a也是整数，
a一2
..a
a=1时，
a=3时，
A=5
a=4时，
=3.
a=6时，A=2;
a=一2时，A=0
答：所有符合条件的a的值为0,1,3,4,6，一2.(共16张PPT)
第五章 分式与分式方程
第37课时 分式的加减法(三)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
根据分式的________________及运算法则，对分式进行混合运算及化简求值.
基本性质
计算：
课堂导练
知识点1 分式的混合运算（1）
【例1】化简：
解：原式
思路点拨：先算小括号里面的，然后算小括号外面的.
1. 化简：
知识点2 分式的混合运算（2）
思路点拨：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分，得到最简结果，代入计算即可求出值.
知识点3 创新题
3. 已知P＝
(1)化简P；
(2)若a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数，求P的值.
谢 谢
泰
4
(2)原式=
2(a-2)
(a+2)(a-2)(a+2)(a-2)
a+2
(a+2)(a-2)
4+2a-4-a-2
(a+2)(a-2)
a-2
(a+2)(a-2)
1
a+2
1
X
二
1-x1-x
1-
X
1-X-1-x
二
1-X
2x
二
x-1
解：原式=儿w41a+
a*7
(a+1)(a-1)
(a+1)2
1
a-1
二
十
a+1a+1
u
三
a
+1
解：原式
(a十1)(a-2)+a+2
a2一4
a2一4
a2一a一2十a十2
当a=v2时，原式
2
解：原式
2
。(m+3)(m-3)
m-+3
n-3
m十3)(m一3)
2
m十3)(m一3)
1-+3
3)
1=一3,0,3时，原式没有意义，舍去：
当m=1时，原式=一19=一
10
解：(1)m≠n,
..P=
1m-1m2+n2-2
17
(2)°(m,n)在一次函数y=x一V2的图象上，
n
.a+2.1
解：(1）P=(a+2)(a-2)`a(a-3)a-2
1
=(a-2)(a-3)a-2
1+a-3
=(a-2)(a-3)
a-2
=(a-2)(a-3)
1
-3(共18张PPT)
第五章 分式与分式方程
第33课时 认 识 分 式(二)
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名师导学
02
课堂导练
名师导学
同一个不等于零的整式
不变
B. 把一个分式的分子和分母的________________约去，这种变形称为分式的________________.
公因式
约分
C. 分子和分母没有________________的分式,称为________________________.
公因式
最简分式
3. 下列分式是最简分式的是( )
A. B.
C. D.
C
课堂导练
知识点1 分式的基本性质
【例1】利用分式的基本性质填空：
6a2
a－2
2x2
思路点拨：根据分式的基本性质，找出分子或分母同乘或除的式子即可.
1. 填出下列等式中未知的分子与分母：
2b
1
2m－2n
知识点2 分式的约分
思路点拨：(1)先找到分子、分母的公因式，再约分即可得；(2)先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可得.
【例3】下列分式是最简分式的是( )
知识点3 最简分式
D
思路点拨：根据最简分式的定义(分式的分子和分母除1以外，没有其他的公因式，这样的分式叫做最简分式)逐个判断即可.
3. 下列分式是最简分式的是( )
D
知识点4 创新题
D
思路点拨：直接利用最简分式的定义分析得出答案.
0或－4
谢 谢(共7张PPT)
单元复习课
专题四 模 型 拓 展
易错考点
谢 谢
泰
模型：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示
成“部分分式”
【例】将分式表示成部分分式
解：
1-3x
M
x2-1
x+1
x-1
将等式右边通分，得M一)+N+)
M+N)x+N一)
依题意，得M十V=一3，
解得
(N-M
1-3x
x21
x+1
解：
5x一4
将等式右边通分，得
x一1)2x-1)
x十1
M2x-1)+Nx+1)
2M+N)x一M+N)
x+1)2x-1)
x一1)2x1)
依题意，得
M+N
解得
LM-N
则
5一4
3
x一1)2x一1）
2x一1
解：（②）设分式
4x—3
2x+1)(x-2)
2x+1
将等式的右边通分，得MC)+N2x+)
(m+2n)x-2M+N
(2x+1)x-2）
2x十1)
由
4x一3
M+2N)x一2M+N
得
2x+1)x—2）
2x+1)x2）
M十2N=4,
解得
-2M+N=-3
所以
4x—3
2x+1)x-2
2x+1(共14张PPT)
第五章 分式与分式方程
第40课时 分 式 方 程(三)
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01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
分式方程的应用：
(1)审：审清题意,找出相等关系和数量关系；
(2)设：根据所找的数量关系设出未知数；
(3)列：根据所找的相等关系和数量关系列出分式方程；
(4)解：解这个分式方程；
(5)检：对所解的分式方程进行合理性检验；
(6)答：写出答案.
某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋给兴趣小组使用，其中购买象棋用了210元，购买围棋用了378元，已知每副围棋比每副象棋贵8元. 求每副围棋和象棋各是多少元.
课堂导练
【例1】甲、乙两地相距360 km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2 h. 根据以上信息，你能求出原来的平均车速吗？
知识点1 列分式方程解应用题（1）
思路点拨：关键描述语为“从甲地到乙地的时间缩短了2 h”；等量关系为原来行驶时间－开通后的行驶时间＝2.
1. 八年级(1)班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120 km. 一部分学生乘慢车先行，出发0.5 h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区. 已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度.
【例2】某车间加工1 300个零件后，采用了新工艺，工效提升了30%，这样加工同样多的零件就少用10 h.采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？
知识点2 列分式方程解应用题（2）
思路点拨：设采用新工艺前每小时加工x个零件，那么采用新工艺后每小时加工1.3x个零件.根据时间＝零件数÷每小时加工零件数，由等量关系：加工同样多的零件1 300个少用10 h，可列方程求解.
2. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为3 000 m的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务.实际每天铺设多长管道？
3. 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上(不包括300支)，可以按批发价付款，购买300支以下(包括300支)只能按零售价付款. 李老师来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需要120元.
(1)这个八年级的学生总数在什么范围内？
(2)若按批发价购买6支与按零售价购买5支的付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
知识点3 创新题
解：(1)设这个学校八年级学生有x人.
由题意，得x≤300且x＋60＞300.
所以240＜x≤300.
谢 谢(共18张PPT)
第五章 分式与分式方程
第36课时 分式的加减法(二)
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01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
A. 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的________________.
为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的________________.
通分
共同分母
1. 分别将下列各组分式通分：
(1) (2)
解：(1)
通分
同分母
同分母分式的加减法
课堂导练
知识点1 异分母分式的加减法（1）
【例1】计算：(1)
(2)
思路点拨：利用异分母分式加减法的法则进行计算即可.
1. 计算：
【例2】计算：
知识点2 异分母分式的加减法（2）
解：(1)原式
解：(2)原式
思路点拨：先通分，再把分子相加减即可.
2. 计算：
知识点3 创新题
思路点拨：先把等式右边的式子相加，再与左边相比较即可得出A的值.
谢 谢
泰
2
(2)
2
X
-4
(x+2)(x-2)2(x+2)(x-2)》
X
X
x(x+2)
2x-42(x-2)2(x+2)(x-2)
2a
a+2
(a+2)(a-2)(a+2)(a-2)
2a-a-2
(a+2)(a-2)
a-2
(u+2)(a-2〉
a
+2
m
(m+n)-(m-n)+2mn
三
(m+n)(m-n)
(m-n)2
(m+n)(m-n)
m-n
三
m n
12
m+3
解：(1)原式=(m+3)(m-3)(m+3)(m-3)
12-m-3
=(m+3)(m-3)
9-m
(m+3)(m-3)
9-m
m2-9
x+2
(2)原式=
3(x-2)
(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)
2x
(x+2)(x-2)
3x-6-x-2+2x
(x+2)(x-2)
4(x-2)
=(x+2)(x-2)
4
x+2
解：右边
解得A=一6.
2A-11=1
A的值为一6
A(x-2)+11(x-1)
(x-1)(x-2)》
(A+11)x-(2A+11)
二
(x-1)(x-2)
解：4十
x十1
x一1
A(x-1)+B(x+1)
(x+1)x-1)
X一3
(x+1)(x-1)
+切z+书一Ax一8，即可6R-二
解得
=2,
。°.A的值为2，B的值为
1(共14张PPT)
第五章 分式与分式方程
第38课时 分 式 方 程(一)
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01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
________________中含有未知数的方程叫做分式方程.
分母
B
课堂导练
知识点1 分式方程的概念
①④
B
【例2】有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12 000 kg和14 000 kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1 500 kg. 如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，请列出关于x的分式方程.
知识点2 列分式方程
思路点拨：关键语句是“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为第一块试验田的面积＝第二块试验田的面积.
2. 某运输公司需要装一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，6 h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1 h完成了后一半任务. 如果设单独采用机械装运x h可以完成后一半任务，那么x满足怎样的方程？
知识点3 创新题
20
思路点拨：如果设小林每分钟跳x下，那么小群每分钟跳(x＋20)下. 题中有等量关系：小林跳90下所用的时间＝小群跳120下所用的时间，据此可列出方程.
若甲、乙两队合作4天
谢 谢(共16张PPT)
第五章 分式与分式方程
第35课时 分式的加减法(一)
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01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
不变
相加减
1
课堂导练
知识点1 同分母分式的加减法（1）
思路点拨：根据同分母相加减，分母不变，分子相加减即可求出答案.
知识点2 同分母分式的加减法（2）
思路点拨：先将分母b－2a/y－2x化为－2a－b/2x－y的同分母形式，然后根据同分母相加减，分母不变，分子相加减即可求出答案.
(2)原式
知识点3 创新题
思路点拨：先将所给的分式利用阅读材料中的方法进行拆分，然后按照x和原分式均为整数可求得x的值.
3. 我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质等等. 小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式. 对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式.
如：
③
谢 谢
泰
(2)原式=x-y
x十y
2x一y
2x-y
x-2y十x十y
2x-y
2x-y
2x一
解：(1)原式
n2
4m2
2m-n
2m一n
n2.-4m2
2m-n
n-2m)（n+2m)
2m-n
(n42m)
2m.
3x
x-y 7
7y
三
x-4y x-4y x-4y
3x-(x-y)-7y
二
x-4y
3x-x+y-7y
二
x-4y
2x-6y
二
-4y
【例3】阅读材料：分离整数法就是将分式拆分成一个整式
与一个分式（分子为整数）的和的形式，
如：
解答问题：已知x为整数，且分式3x为整数，则x的值为
多少？
解：
3x一4
3x-2)十2
3
x一2
x-2
为整数，且x为整数
一
2的值为1或一1或2或一2.
°.x的值为3或1或4或0.
(1)在
这些分式中，属于
真分式的是
(填序号)
②)将假分式”
化成整式与真分式的和的形式：
③)若假分式经
的值是整数，求整数x的值
3)由(2)，得
4x+5
2x-1
2十
.假分式
经识
的值是整数，
是整数
2x一1
。.2x一1=士1或2x一1=士7.
。x=1或0或4或一3.(共20张PPT)
第五章 分式与分式方程
第32课时 认 识 分 式(一)
目录
01
思维导图
02
名师导学
03
课堂导练
本章知识梳理
名师导学
整式
分式
B
B. 分式有意义、无意义、分式的值为零的条件：
（1）分式有意义的条件是分式的_______________;
（2）分式无意义的条件是分式的_______________;
（3）分式的值为零的条件是分式的_______________,且____________________.
分母不为零
分母为零
分子为零
分母不为零
x≠2
x＝－3
m＝－4
课堂导练
知识点1 分式的概念
①③
1. 从3，x，2x－1中任意选取两个不同的整式相除，共能组成____________________个不同的分式.
4
知识点2 分式有意义、无意义、分式的值为零的条件
解：∵当x＝2时，分式的值为零，
∴2－b＝0，且4＋a≠0，解得a≠－4,b＝2.
∵当x＝－2时，分式没有意义，
∴2×(－2)＋a＝0，a＝4.
∴a＋b＝6.
【例3】水果店购进一箱橘子需要m元，已知橘子与箱子的总重量为a kg，箱子的重量为b kg. 为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克多少元？
知识点3 列分式
思路点拨：先根据橘子与箱子的总重量为a kg，箱子的重量为b kg，求出橘子的重量，再根据购进一箱橘子需要m元，即可求出答案.
3. 某玩具厂要生产a只吉祥物“欢欢”，原计划每天生产b只，实际每天生产了(b＋c)只.
(1)该厂原计划多少天完成生产任务？
(2)该厂实际多少天完成了生产任务？
知识点4 创新题
思路点拨：直接利用分式无意义即分母为0，进而求出答案.
解：他的解法不正确.
由题意，得(x＋3)(x－3)≠0.
所以x＋3≠0且x－3≠0.
解得x≠－3且x≠3.
谢 谢(共29张PPT)
单元复习课
专题一 本章易错点例析
易错考点
过关巩固
B
易错考点
过关巩固
D
易错考点
【正解】由题意，得x2－9＝0，解得x＝±3.
当x＝3时，分母x2＋x－6＝6≠0，分式有意义；
当x＝－3时，分母x2＋x－6＝0，分式无意义.所以x＝3.
过关巩固
A
易错考点
四、分式的基本性质
【例4】下列变形正确的是_____________（填序号）.
【错解】④
【错解分析】分式的基本性质是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.根据分式的基本性质，要想让分式的值不变，分子与分母所做的变形必须是同种运算，即乘或除以，并且要保证所乘或除以的整式相同且不为0.
【正解】④⑤
过关巩固
4. 下列分式变形正确的是( )
B
B
易错考点
【错解分析】这是一个分式的四则混合运算问题，应按照先乘方再乘除，同级运算按从左到右的顺序进行这些原则来算. 错解先把后两项相乘，再和第一项相除，没有按照从左到右的顺序来算，导致出现错误.
【正解】原式
过关巩固
6. 计算：
易错考点
过关巩固
易错考点
【错解分析】分式方程无解一般有两种情况：一是去分母后得到的整式方程无解，从而原方程无解；二是去分母后得到的整式方程的解代入最简公分母后，最简公分母的值为0，从而原方程无解.
【正解】方程两边都乘(x－1)，得ax＋1－(x－1)＝0.
移项、合并同类项，得(a－1)x＝－2.
(1)当a＝1时，(a－1)x＝－2就是0x＝－2，
此时无解因此原方程无解.
过关巩固
谢 谢(共18张PPT)
第五章 分式与分式方程
第39课时 分 式 方 程(二)
目录
01
名师导学
02
课堂导练
名师导学
A. 使分式方程分母为0的未知数的值就是原分式方程的________________.
增根
A
B. 解分式方程的步骤：
(1)去分母；(产生增根的过程)
(2)去括号；
(3)移项；
(4)合并同类项；
(5)系数化为1；
(6)检验.
解：方程两边同时乘x(x－1)，去分母，得
2(x－1)＝3x.
去括号，得2x－2＝3x.
移项，得2x－3x＝2.
合并同类项，得－x＝2.
系数化为1，得x＝－2.
检验，将x＝－2代入x(x－1)，得
x(x－1)＝－2×(－3)＝6≠0.
∴原分式方程的解为x＝－2.
知识点1 分式方程的解法
解：方程两边都乘x(x＋1)，得6x＝x＋5.
移项、合并同类项，得5x＝5.
系数化为1，得x＝1.
检验：当x＝1时，x(x＋1)≠0.
所以x＝1是原方程的根.
课堂导练
思路点拨：方程两边都乘x(x＋1)，转化为整式方程，解整式方程即可，注意分式方程的结果要进行检验.
知识点2 解分式方程
解：方程两边都乘(x－2)，得1－x＝－1－2(x－2).
去括号，得1－x＝－1－2x＋4.
移项，得－x＋2x＝－1＋4－1.
合并同类项，得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0.
所以x＝2是增根，原方程无解.
思路点拨：将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验.
知识点3 创新题
解：(1)分式方程去分母，得4(x－1)＋3(x＋1)＝k.
由这个方程有增根，得到x＝1或x＝－1.
将x＝1代入整式方程，得k＝6.
将x＝－1代入整式方程，得k＝－8.
则k的值为6或－8.
思路点拨：(1)分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值；(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出k的范围即可.
解：去分母，得2－x－m＝2x－4.
(1)由分式方程有增根，得
x－2＝0，即x＝2.
把x＝2代入整式方程，得m＝0.
谢 谢(共12张PPT)
单元复习课
专题三 中考新题型(中考新动向)
易错考点
谢 谢
泰
解0（任-）
m2一n2
n
mn
(m十n)m-n)
mn
=√3(m+n)
2)°m+n-2V3=0,
o.m+n=2y3.
当m+n=2v3时，
A=√3(m+n)=V3×2√3=6.
B
C
30°
C
b
A
图D5-3-1
解：(1)
a2 +2ab b2
P
b(a+b)
(a+b)2
C
二
b
b(a+b)
b
+6+a-b
2a
2a
，即P=
b
b
b
(2)a,b是Rt△ABC的两条直角边，
日∠A=30
°.AB=2a.
又°B2=a2+b2,。.4a2=a2+b2.
.3a2=b2.
.b=a
2a
2y3
v3a
3
【考点二】一次函数与分式方程的综合应用
【例2】（创新题）已知一次函数y1=2x一1，y2=2
若
5x-1
求A,B的值.
(2x-1)(2-x)
y1
解：y1=2x一1，y2=2一x,
5x一1
〔2x一1)(2一x
5x一1
(2x一1)(2
2x一1
5x1
A(2-X
B2x一1)
1)2-x
2x-1)(2-x
2x-1)(2一x
2B-A)x十(2A-B)
2x-1)2-x
2B-A=5,
A
2A-B=-1.
解得
4-2x
8
解：y1=一x十1，y2=一3x十2，
(3x-2)x-1)
2
3A-8=-2,
解得A=一2.
2A+8=4.(共11张PPT)
单元复习课
专题二 中考重难点
易错考点
解：去分母，得x(x＋1)－(x2－1)＝2(x－1).
去括号，得x2＋x－x2＋1＝2x－2.
解得x＝3.经检验，x＝3是分式方程的解.
∴原方程的解是x＝3.
三、分式方程的应用
【例3】(2021扬州)为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天. 问原先每天生产多少万剂疫苗？
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1).
整理，得2x－2＝0.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0.
所以x＝1是增根，应舍去.
∴原方程无解.
3. (2021自贡)随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业. 现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等.两种无人机平均每小时分别运送多少件快件？
谢 谢
泰
解：原式=1十m二
1。
m一2n)2
3
3
3
则原式=一
0
解：设原先每天生产x万剂疫苗.由题意
240
220
得
0.5.解得x=40.
(1+20%)
经检验，x一40是原方程的解，且符合题意
答：原先每天生产40万剂疫苗
解：原式
-(-2)
(x一1)
2(x
=x23-2x+2
=x2—2x-1.
由x2一2x一3=0，得x2一2x=3.
原式-3一1=2.
解：设A型机平均每小时运送快件x件，则邮型机平均每小
时运送快递(x一20)件
00
根据题意，
得
解得x=70
经检验，x=70是原分式方程的根，且符合题意
。°.70一20=50.
答：A型机平均每小时运送快件70件，B型机平均每小时运
送快件50件.
