第七章复数 提升卷（Word版含解析）

必修二第七章复数（提升卷）
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）

1. 已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的点位于复平面内的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 已知复数 （是虚数单位），则的共轭复数( )
A. B. C. D.

3. 瑞士数学家欧拉在年得到复数的三角形式：＝，（为虚数单位），根据该式，计算的值为（ ）
A. B. C. D.

4. 已知复数满足（其中为虚数单位），则( )
A. B. C. D.

5. 已知复数满足(为虚数单位)，则为( )
A. B. C. D.

6. 已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）
A. B. C. D.

7. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

8. 已知复数（是虚数单位），则的共轭复数为( )
A. B. C. D.

9. 已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.

10. 若与互为共轭复数，则的值为( )
A.-2 B.2 C.-3 D.3

11. 复数满足，则
A. B. C. D.

12. 若复数为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 若复数满足，其中为虚数单位，则________.

14. 在复平面内有两点，，且点坐标为，，则点所对应的复数为________．

15. 在复平面内，复数与对应的向量分别是与，其中是原点，向量所对应的复数是________．

16. 已知复数，，则________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）

17.(10分) 已知复数，且为纯虚数．
求复数；
若，求复数以及模．

18.(12分) 已知复数，．
求；
若，且复数的虚部等于复数的实部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数．

19.(12分) 已知复数是纯虚数.
求的值；
若，求复数的模.

20.(12分) 已知复数满足，，其中，为虚数单位．
求；
若，求实数的取值范围．

21. （12分） 求证＝，并由此写出在复数范围内的个四次方根．

22.(12分) 已知是方程的一个根（、为实数）．
（1）求，的值；
（2）试说明也是方程的根吗？
参考答案与试题解析
必修二第七章复数（提升卷）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
D
【解答】
解：由，
得，
则复数对应的点的坐标为，位于复平面内的第四象限．
故选．
2.
【答案】
D
【解答】
解：∵ ，
∴ .
故选.
3.
【答案】
B
【解答】
由＝，
则＝＝，
4.
【答案】
A
【解答】
解：∵ ，
∴ ，
∴ .
故选．
5.
【答案】
B
【解答】
解：原式可化简为
；
即
.
.
故选.
6.
【答案】
C
【解答】
解：
由纯虚数的定义可得，故
故选
7.
【答案】
D
【解答】
∵ 复数，它在复平面内对应的点的坐标为，
8.
【答案】
A
【解答】
解：因为，，
所以，
所以的共轭复数为.
故选.
9.
【答案】
B
【解答】
解：由题得
，
则．
所以的虚部为．
故选．
10.
【答案】
A
【解答】
解：∵ ，
，
又与互为共轭复数，
∴ .
则.
故选.
11.
【答案】
D
【解答】
解：由
得，
则且，
解得，，
则，
故选：．
12.
【答案】
B
【解答】
解：因为为纯虚数，
所以，
解得，
所以，
所以.
故选.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
【解答】
解：已知，
则 ，
则 .
故答案为：.
14.
【答案】
【解答】
解：在复平面内有两点，，且点坐标为，，
由，可得，，
点所对应的复数：．
故答案为：
15.
【答案】
【解答】
解：，
而与对应的复数分别为与，
∴ 向量所对应的复数是，
故答案为：．
16.
【答案】
【解答】
解：，
故答案为：．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）
17.
【答案】
解：，
∵ 是纯虚数，
∴ ，且，
∴ ，∴ .
.
∴ .
【解答】
解：，
∵ 是纯虚数，
∴ ，且，
∴ ，∴ .
.
∴ .
18.
【答案】
解：．
，
可设，
因为，所以，
又复数在复平面内对应的点位于第三象限，
所以，即，
所以．
【解答】
解：．
，
可设，
因为，所以，
又复数在复平面内对应的点位于第三象限，
所以，即，
所以．
19.
【答案】
解： ，
是纯虚数，
，且，
.
∵ ，
.
【解答】
解： ，
是纯虚数，
，且，
.
∵ ，
.
20.
【答案】
解：由，
得，
∴ .
∵ ，
由，
得，
解得：．
【解答】
解：由，
得，
∴ .
∵ ，
由，
得，
解得：．
21.
【答案】
证明：右＝
＝
＝
＝
＝＝左，
所以等式成立；
由＝，得：＝；
令＝，，，；
解得，
或，
或，
或；
所以在复数范围内的个四次方根为
，或，或，或．
【解答】
证明：右＝
＝
＝
＝
＝＝左，
所以等式成立；
由＝，得：＝；
令＝，，，；
解得，
或，
或，
或；
所以在复数范围内的个四次方根为
，或，或，或．
22.
【答案】
解：（1）∵ 是方程的一个根，
∴ ，即，
∴ ，
解得
∴ ，的值为：，．
（2）方程为：，
把代入方程可得显然成立，
∴ 也是方程的根．
【解答】
解：（1）∵ 是方程的一个根，
∴ ，即，
∴ ，
解得
∴ ，的值为：，．
（2）方程为：，
把代入方程可得显然成立，
∴ 也是方程的根．
试卷第4页，总9页