选择性必修第二册4.1数列的概念 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第二册 4.1数列的概念 同步练习
一、单选题
1．已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
2．如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前项，则这个数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．数列满足，，，，当T取最小值时，该数列的前2021项的和是（ ）
A．673 B．674 C．1347 D．1348
4．共有10项的数列的通项，则该数列中最大项 最小项的情况是
A．最大项为 最小项为 B．最大项为 最小项为
C．最大项为 最小项为 D．最大项为 最小项为
5．若数列的通项公式为，则（ ）
A．27 B．21 C．15 D．13
6．斐波那契数列满足，，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（ ）项.
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．已知数列中，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
8．若数列的通项公式是，则（ ）
A．45 B．65 C．69 D．
9．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）
A．13 B．16 C．31 D．64
10．将数列{3n-1}与{2n+1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的第10项为（ ）
A．210-1 B．210+1 C．220-1 D．220+1
11．已知数列满足，，若，当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列中，，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
二、填空题
13．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为_____．
14．已知数列满足，，则__________.
15．在数列中，，则___________.
16．意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：

大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为，其中，有以下几个命题：
①；
②；
③；
④．
其中正确命题的序号是________．
17．已知数列，…，则是该数列的第___________项.
三、解答题
18．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，.
（1）若等差数列满足，求，的通项公式；
（2）若___________，求数列的前项和.
在①；②；③这三个条件中任选一个补充到第（2）问中，并对其求解.
注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分.
19．已知某新型水稻产量的年增长率为．某粮食种植基地计划种植该品种水稻．已知该基地2020年储有该品种水稻的产量为15万吨．现计划从下一年（2021年）起，每年年初种植，年底从中分出固定的产量用于销售，15年后清空种植并更换种植品种．设年后该品种水稻的剩余产量为万吨．
(1)设每年用于销售的产量为万吨，请用和表示；
(2)求（用表示）．
20．已知数列{an}满足，a1+．
（1）求a1，a2的值
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证： n∈N*，＜1．
21．已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.
【详解】
当时，；
由，当时，，
两式相减，可得，
解得，当时，也符合该式，故．
所以
由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，
故选：D．
2．A
根据图象计算出、、、的值，进而可归纳得出数列的通项公式.
【详解】
设第幅图中着色的三角形个数为，
由图形可得，，，，
据此可归纳得出该数列的一个通项公式为.
故选：A.
本题考查利用观察法求数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.
3．D
就分类讨论，分析对应的周期数列是否存在，确认后利用周期性可求该数列的前2021项的和.
【详解】
若，则为常数列，故，此时，故舍去.
若，则，故，故或（舍）.
故，但，故舍去.
若，则，，，
若，则且，
整理得到，解得.
若，则且，
整理得到，无解.
又当时，有，，，，，
此时确为周期为3的周期数列.
该数列的前2021项的和为，
故选：D
思路点睛：对于周期数列的问题，一般可以利用特值法结合给定的周期计算参数的值，根据所得的值再检验是否为周期数列，也可以利用函数周期的推导方法进行推导其周期.
4．D
把化为，再根据单调性可得该数列的最大项和最小项.
【详解】
，
因为，故
当时，
当时，，
故即且对任意的恒成立.
当时，，
故即且对任意的恒成立.
所以数列中的最小项为，最大项为.
故选：D.
本题考查数列的最大项和最小项，注意根据数列的单调性来讨论，本题属于中档题.
5．A
根据数列的通项公式，代入可得选项.
【详解】
因为，所以，
故选：A.
本题考查由数列的通项公式求数列中的项，属于基础题.
6．C
由斐波那契数列的递推关系可得，应用累加法求，即可求目标式对应的项.
【详解】
由，则，又，
所以，，，…，，
则，故.
故选：C
7．C
首先根据及，依次写出，，，，可以发现，则数列是以4为周期的周期数列，进而可以得到的值.
【详解】
∵，，
∴，，，，
而，∴数列是以4为周期的周期数列，
∴.
故选：C.
8．B
由题意可得，从而可得，进而可得答案
【详解】
因为，
所以，
则 ，
故选：B．
此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题
9．C
根据已知的递推关系求，从而得到正确答案.
【详解】
，，
，，，，
，
所以解下6个环所需的最少移动次数为.
故选：C.
10．D
首先设，，令，得到，根据得到，，，……，再计算即可。
【详解】
设，，
令，，
则，解得。
又因为，所以，
即，，，……，
所以。
故选：D
11．C
将已知递推关系式变形可得，由此可知数列为等差数列，由等差数列通项公式可取得，进而得到；由可上下相消求得，结合解不等式可求得的最小值.
【详解】
由得：，
，
，即，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，
，
由得：，又，且，
的最小值为.
故选：C.
关键点点睛：本题考查数列中的不等式的求解问题，解题关键是能够根据已知的递推关系式，构造出全新的等差数列，利用等差数列通项公式求得通项后，即可确定.
12．D
根据题意，可知数列的通项公式，根据二次函数的性质可知，当或3时，取得最小值，从而得出答案.
【详解】
解：由题可知，，
由于，所以当或3时，取得最小值，
所以数列的最小项是第2项、第3项.
故选：D.
13．
由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】
根据图形，
因为都是直角三角形，
,
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
，
，故答案为.
本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.
14．
结合累加法及裂项相消法可得，根据已知条件即可求出通项公式.
【详解】
解：因为，所以，
则当时， ，将个式子相加可得
，因为，则，
当时，符合题意，所以.
故答案为: .
本题考查了数列通项公式的求解，考查了累加法，考查了裂项相消法，属于中档题.
15．
根据已知条件求得，用累乘法求得.
【详解】
依题意，，
即，
所以
.
故答案为：
累乘法求数列的通项公式，主要把握住.
16．①②③
根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
斐波那契数列从第项起，每一项都是前项的和，所以，①正确.
，②正确.
，
所以③正确.
当时，，，所以④错误.
故答案为：①②③
17．19
根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.
【详解】
数列中每一项被开方数分别为：3，7，11，15，…，因此这些被开方数是以3为首项，4为公差的等差数列，设该等差数列为，其通项公式为：，
设数列，…为，所以，
于是有，
故答案为：19
18．（1），；（2）答案见解析.
（1）利用等比数列的通项公式与求和公式求出和，得到数列的通项公式，再求出对应等差数列的前两项和公差，即可得数列的通项公式；（2）根据已知条件进行整理，得出数列的通项公式，进而利用裂项相消法即可求解.
【详解】
（1）设数列的公比为，则.
，
，解得：或，
又因为各项均为正数，
所以，
又，
，
代入得，，
，
则，，
设数列的公差为，
∴，
则.
（2）选择①：
，，
则，
.
选择②：
，，
则，
，
.
选择③：
由（1）知，
.
，
.
本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
19．(1)
(2)
（1）根据题意可得的递推关系，从而可求的通项公式.
（2）根据15年后清空种植并更换种植品种结合（1）的结果可得可求.
(1)
由题设可得，且，
故，
故，
故，
而符合该式，故.
(2)
由（1）可得，
因为15年后清空种植并更换种植品种，故，
所以，故.
20．（1）a1＝1．a2＝4；（2）；（3）证明见解析.
（1）直接利用递推关系式求出结果；
（2）a1+①，当n≥2时，②，两式相减即可求出数列的通项公式；
（3）根据题意＝，利用裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用求出结果．
【详解】
（1）数列{an}满足，a1+①．
当n＝1时，a1＝1．
当n＝2时，，解得a2＝4．
（2）当n≥2时，②，
①﹣②得：＝n，
所以（适合）．
故．
（3）根据题意＝，
所以＝1﹣＜1，
当n＝1时，．
且函数为增函数，
所以 n∈N*，＜1．
【点评】
本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，考查裂项相消法在数列求和中的应用，考查函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
21．（1）；（2）.
（1）利用求得的通项公式；
（2）利用错位相减求和法求得.
【详解】
（1）当时，；
当时，.
不适合.
综上所述，；
（2）由（1）可得.
当时，；
当时，，
得，
两式相减得
，
，满足，
因此，.
本小题主要考查已知求，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页