选择性必修第二册4.2等差数列 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第二册4.2等差数列 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 907.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-24 09:15:07 | ||
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文档简介
选择性必修第二册 4.2 等差数列 同步练习
一、单选题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
3．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
4．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）
A． B． C．2021 D．
5．已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3， ，x9满足方程组，则d的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
7．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A．15天 B．16天 C．17天 D．18天
8．已知等差数列中，，为数列的前项和，则（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
9．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（ ）
A． B． C． D．
10．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板（ ）
A．1539块 B．1863块
C．3402块 D．3339块
11．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
12．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放，个坛子，一共堆了层，则酒坛的总数．现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为（ ）
A．55 B．165 C．220 D．286
13．已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ）
A．84 B．72 C．75 D．56
14．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．20 D．21
二、填空题
16．已知数列前n项和满足，，则数列的前2021项和为________.
17．已知数列中，，，则______．
18．设是等差数列的前项和，若，则=__________.
三、解答题
19．设数列的前项和为，对于任意的都有，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
20．已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
21．某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？
22．已知数列的前n项和为，，______．指出，，…，中哪一项最大，并说明理由．从①，，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
运用等差数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】
设等差数列{an}的公差为d，
∵，显然，
∴，
故选：A
2．B
首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】
由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
3．B
女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.
【详解】
设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，
且，故公差，
故，
故选：B.
4．A
通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.
【详解】
令，得.
又因为，所以.
由，得，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，所以.
故选：A.
本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意的运用.
5．C
把方程组中的都用和表示，求得的表达式，根据方程组从整体分析可知：当，，时，取最小值．
【详解】
解：把方程组中的都用和表示得：
，
把代入得：
，根据分母结构特点及可知：当，，时，
取最小值为．
故选：C．
关键点点睛：本题解题的关键是根据方程组从整体分析得：当，，时，取最小值．
6．C
第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】
设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】
本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
7．A
由题可得每天收到的捐款形成等差数列，利用等差数列的前n项和即可求出.
【详解】
设他们每天收到的捐款形成数列，
则由题可得是首项为10，公差为10的等差数列，
，解得（舍去）或，
所以这次募捐活动一共进行的天数为15天.
故选：A.
8．B
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解.
【详解】
解：等差数列中，，
∴，
即，
所以，
则，
故选：B.
9．A
由题意转化为等差数列，由等差数列的通项公式列出方程求解即可.
【详解】
由题设知在等差数列中，，.
所以，，解得，
故选：A
10．C
首先，根据题意转化为已知等差数列的公差求，再求的值.
【详解】
由题意可知，从上到下，从内到外，每环的扇面形石板数构成以9为首项，9为公差的等差数列，设为，设上层有环，则上层扇面形石板总数为，中层扇面形石板总数为，下层扇面形石板总数为，三层扇面形石板总数为，因为是等差数列，所以构成等差数列，公差为，因为下层比中层多729块，所以，解得：，所以.
故选：C
11．B
将等差数列前项和公式，改写成关于的二次函数，根据二次函数图像的对称性列出关于的方程即可求解.
【详解】
，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，
得，解得.
故选：B.
12．C
根据题目中已给模型类比和联想，得出第一层、第二层、第三层、……、第十层的酒坛数，然后即可求解．
【详解】
每一层酒坛按照正三角形排列，从上往下数，最上面一层的酒坛数为1，
第二层的酒坛数为，第三层的酒坛数为，
第四层的酒坛数为，…，由此规律，
最下面一层的酒坛数为，
所以酒坛的总数为．
故选：C.
13．C
利用等差数列的性质进行求解.
【详解】
由等差数列的性质，得
，
所以.
故选：C.
14．D
根据题意求出数列的首项和公差，再求出，可得出是单调递增数列，即可判断.
【详解】
设等差数列的公差为，，，
，解得，，
，
，可得是单调递增数列，
所以在，，，中，最大的为．
故选：D.
15．C
由题结合等差数列的性质可得，，即可判断当时，的最大值.
【详解】
由等差数列的性质，知，又，∴和异号．
∵数列的前项和有最大值，∴数列是递减的等差数列，∴，，
，，
∴当时的最大值为20．
故选：C.
16．
根据题中条件，由，求出，再由裂项相消的方法，即可求出结果．
【详解】
因为数列前项和满足，
当时，；
当时，满足上式，
所以；
因此，
所以数列的前2021项和为
.
故答案为：.
17．
由已知递推关系变形凑出一个等差数列的形式，然后利用等差数列通项公式求解．
【详解】
∵，∴，
∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴．
故答案为：．
本题考查由数列的递推公式求通项公式，考查等差数列的通项公式．解题关键是构造一个新数列是等差数列．
18．
利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质将化简，即可求解.
【详解】
由等差数列的前项和公式可得：，
故答案为：.
19．(1)
(2)
（1）先由得到数列的公差，再由得到首项，写出通项公式即可；
（2）先求出，再按照并项求和以及等差数列求和公式即可求解.
(1)
由得数列是等差数列，其公差，
由得，
即，解得，
所以；
(2)
，，
所以，
.
20．（1）证明见解析 ；（2） ．
（1）根据数列和与通项关系整理化简即可求证；
（2）先求通项再求得，结合等差求和公式即可求解．
【详解】
（1）由，得．
当时，，
整理得．
因为，
所以，即数列为等差数列．
（2）因为，
所以，解得．
所以，
所以．
因为，所以为等差数列．
又，所以．
21．第二种方式获奖者收益更多．
从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求和，比较即可得结果.
【详解】
从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，即，，
所以共获奖金元，
由于，故第二种方式获奖者收益更多．
22．选择见解析；最大；理由见解析．
当时，由已知条件可得，化简可得，则是以为首项，为公差的等差数列，从而可得，再由，可求出，则为公差为2的等差数列，若选①，由，，可得，从而可求得最大，若选②，由，可得，从而可求得答案
【详解】
因为，
所以当时，，
即，即，即．
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，成立，
当时，，
满足，所以，，
故，所以为等差数列．
若选①，因为，，则，可得，
，可得，所以，
所以，，故最大．
若选②，因为，
所以，解得，
故，故，，故最大．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
3．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
4．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）
A． B． C．2021 D．
5．已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3， ，x9满足方程组，则d的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
7．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A．15天 B．16天 C．17天 D．18天
8．已知等差数列中，，为数列的前项和，则（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
9．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（ ）
A． B． C． D．
10．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板（ ）
A．1539块 B．1863块
C．3402块 D．3339块
11．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
12．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放，个坛子，一共堆了层，则酒坛的总数．现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为（ ）
A．55 B．165 C．220 D．286
13．已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ）
A．84 B．72 C．75 D．56
14．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．20 D．21
二、填空题
16．已知数列前n项和满足，，则数列的前2021项和为________.
17．已知数列中，，，则______．
18．设是等差数列的前项和，若，则=__________.
三、解答题
19．设数列的前项和为，对于任意的都有，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
20．已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
21．某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？
22．已知数列的前n项和为，，______．指出，，…，中哪一项最大，并说明理由．从①，，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
运用等差数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】
设等差数列{an}的公差为d，
∵，显然，
∴，
故选：A
2．B
首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】
由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
3．B
女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.
【详解】
设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，
且，故公差，
故，
故选：B.
4．A
通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.
【详解】
令，得.
又因为，所以.
由，得，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，所以.
故选：A.
本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意的运用.
5．C
把方程组中的都用和表示，求得的表达式，根据方程组从整体分析可知：当，，时，取最小值．
【详解】
解：把方程组中的都用和表示得：
，
把代入得：
，根据分母结构特点及可知：当，，时，
取最小值为．
故选：C．
关键点点睛：本题解题的关键是根据方程组从整体分析得：当，，时，取最小值．
6．C
第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】
设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】
本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
7．A
由题可得每天收到的捐款形成等差数列，利用等差数列的前n项和即可求出.
【详解】
设他们每天收到的捐款形成数列，
则由题可得是首项为10，公差为10的等差数列，
，解得（舍去）或，
所以这次募捐活动一共进行的天数为15天.
故选：A.
8．B
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解.
【详解】
解：等差数列中，，
∴，
即，
所以，
则，
故选：B.
9．A
由题意转化为等差数列，由等差数列的通项公式列出方程求解即可.
【详解】
由题设知在等差数列中，，.
所以，，解得，
故选：A
10．C
首先，根据题意转化为已知等差数列的公差求，再求的值.
【详解】
由题意可知，从上到下，从内到外，每环的扇面形石板数构成以9为首项，9为公差的等差数列，设为，设上层有环，则上层扇面形石板总数为，中层扇面形石板总数为，下层扇面形石板总数为，三层扇面形石板总数为，因为是等差数列，所以构成等差数列，公差为，因为下层比中层多729块，所以，解得：，所以.
故选：C
11．B
将等差数列前项和公式，改写成关于的二次函数，根据二次函数图像的对称性列出关于的方程即可求解.
【详解】
，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，
得，解得.
故选：B.
12．C
根据题目中已给模型类比和联想，得出第一层、第二层、第三层、……、第十层的酒坛数，然后即可求解．
【详解】
每一层酒坛按照正三角形排列，从上往下数，最上面一层的酒坛数为1，
第二层的酒坛数为，第三层的酒坛数为，
第四层的酒坛数为，…，由此规律，
最下面一层的酒坛数为，
所以酒坛的总数为．
故选：C.
13．C
利用等差数列的性质进行求解.
【详解】
由等差数列的性质，得
，
所以.
故选：C.
14．D
根据题意求出数列的首项和公差，再求出，可得出是单调递增数列，即可判断.
【详解】
设等差数列的公差为，，，
，解得，，
，
，可得是单调递增数列，
所以在，，，中，最大的为．
故选：D.
15．C
由题结合等差数列的性质可得，，即可判断当时，的最大值.
【详解】
由等差数列的性质，知，又，∴和异号．
∵数列的前项和有最大值，∴数列是递减的等差数列，∴，，
，，
∴当时的最大值为20．
故选：C.
16．
根据题中条件，由，求出，再由裂项相消的方法，即可求出结果．
【详解】
因为数列前项和满足，
当时，；
当时，满足上式，
所以；
因此，
所以数列的前2021项和为
.
故答案为：.
17．
由已知递推关系变形凑出一个等差数列的形式，然后利用等差数列通项公式求解．
【详解】
∵，∴，
∴数列是等差数列，公差为，又，
∴，∴．
故答案为：．
本题考查由数列的递推公式求通项公式，考查等差数列的通项公式．解题关键是构造一个新数列是等差数列．
18．
利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质将化简，即可求解.
【详解】
由等差数列的前项和公式可得：，
故答案为：.
19．(1)
(2)
（1）先由得到数列的公差，再由得到首项，写出通项公式即可；
（2）先求出，再按照并项求和以及等差数列求和公式即可求解.
(1)
由得数列是等差数列，其公差，
由得，
即，解得，
所以；
(2)
，，
所以，
.
20．（1）证明见解析 ；（2） ．
（1）根据数列和与通项关系整理化简即可求证；
（2）先求通项再求得，结合等差求和公式即可求解．
【详解】
（1）由，得．
当时，，
整理得．
因为，
所以，即数列为等差数列．
（2）因为，
所以，解得．
所以，
所以．
因为，所以为等差数列．
又，所以．
21．第二种方式获奖者收益更多．
从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求和，比较即可得结果.
【详解】
从月号到第二年的月号共天，每天领取奖金数是以为首项，以为公差的等差数列，即，，
所以共获奖金元，
由于，故第二种方式获奖者收益更多．
22．选择见解析；最大；理由见解析．
当时，由已知条件可得，化简可得，则是以为首项，为公差的等差数列，从而可得，再由，可求出，则为公差为2的等差数列，若选①，由，，可得，从而可求得最大，若选②，由，可得，从而可求得答案
【详解】
因为，
所以当时，，
即，即，即．
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，成立，
当时，，
满足，所以，，
故，所以为等差数列．
若选①，因为，，则，可得，
，可得，所以，
所以，，故最大．
若选②，因为，
所以，解得，
故，故，，故最大．
答案第1页，共2页
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