选择性必修第二册5.3导数在研究函数中的应用 （Word版含解析）

选择性必修第二册 5.3导数在研究函数中的应用
一、单选题
1．函数在上的最大值与最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
2．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数在上的最大值为2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若存在点，使得直线与两曲线和都相切，当实数取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
6．设函数的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k=g(t)的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．函数在上的最小值为（ ）
A． B．-1 C．0 D．
8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．函数在上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定
10．已知函数在上有两个零点，则a的取值范是（ ）
A． B．
C． D．
11．设为实数，函数，且是偶函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B．，
C． D．
12．已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．函数在处有极值，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
14．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是
A． B． C． D．
15．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．已知函数(x∈[-2，2])，f(x)的最小值为1，则m=____.
17．若函数的单调递增区间是，，则实数的取值范围是______.
18．写出一个定义在上且使得命题“若，则1为函数的极值点”为假命题的函数__________．
三、解答题
19．已知函数.
(1)若函数的图象在点处的切线与轴垂直，求实数的值及函数在区间上的单调区间；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
20．已知函数.
(1)设函数，讨论在区间上的单调性；
(2)若存在两个极值点，（ ）（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），且，证明：.
21．已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
22．已知函数.
(1)当时，求函数在时的最大值和最小值；
(2)若函数在区间存在极小值，求a的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
利用导数法求解.
【详解】
解：因为函数，
所以，
令，得，
当或时，，当时，，
又，
所以在上的最大值与最小值分别为，
故选：A
2．A
推导出函数为偶函数，结合已知条件可得出，，，利用导数可知函数在上为减函数，由此可得出、、的大小关系.
【详解】
因为函数的图象关于轴对称，则，
故，
，
又因为，都有，所以，，
所以，，
，，
因为当时，，，
当且仅当时，等号成立，且不恒为零，故函数在上为减函数，
因为，则，故.
故选：A.
3．D
构造函数，由，结合已知条件知的区间单调性，进而得到在上恒负，在上恒正，即可求解函数不等式的解集.
【详解】
，
在为减函数，而，
∴在上，；在上，；而，
∴在上，又函数为奇函数，
∴在上，
不等式等价于或，
∴.
故选：D.
思路点睛：
（1）构造，由已知条件知在为单调递减且.
（2）由在、的符号及，得到在上恒负.
（3）由奇偶性判断在定义域上的符号.
（4）由函数不等式求解集即可.
4．D
求得导函数的解析式，根据导函数在区间(0,2)内的正负的不同情况,分类讨论研究函数的单调性和最大值，从而求得实数的取值范围.
【详解】
解:由函数的解析式可得:，
当≤0时,即时，在内恒成立，函数在区间上单调递增,而,不合题意;
当≥2，即时,在内恒成立，函数导函数在区间[0, 2]上单调递减,而f(0)=2 ,满足题意;
当，即时，在区间上, 函数单调递减,在区间 上, 函数单调递增，满足题意时有 ,即: , 解得 ,此时 ,
综上可得,实数的取值范围是[4 , +∞) .
故选: D.
本题考查利用导数研究函数的最值，关键是分类讨论思想的运用.
5．A
先分别求出函数在点的切线方程，再根据题意可得出，构造函数，求出的最小值即可求出，从而得到.
【详解】
，
，
又，
过点切线方程为：，①
又，
，即，又，
因此过点的切线方程为：，②
由题意知①②都为直线,
，
，
令，，
令，，
和时，单调递减，且时，恒成立，
时，单调递增，
时，，
，
则，
.
故选：.
本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.
6．A
求出的导函数得函数g(t)，再判断g(t)的奇偶性及在上的函数值和极值点位置即可判断作答.
【详解】
由求导得：，
于是得，显然，即函数k=g(t)是偶函数，C选项不满足；
当时，，且有，则B选项不满足；
当时，，由得，从而得g(t)在上的极小值点，选项D不满足，
所以函数k=g(t)的图象大致为选项A.
故选：A
7．B
求导后求得函数的单调性，利用单调性求得函数的最小值.
【详解】
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
故答案为：B.
8．D
根据在上单调速增，由在上恒成立求解.
【详解】
因为函数在上单调速增，
所以在上恒成立，
即所以在上恒成立，
因为，
所以，经检验等号成立，
所以实数a的取值范围是，
故选：D
方法点睛：若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
9．A
利用导数直接判断函数的单调性.
【详解】
∵，∴在上恒成立，
∴在上是增函数．
故选：A
10．C
根据解析式可得，原题转化为求在上有一个零点，当时，求导可得的单调性，分析不符合题意；当时，令，解得，分别讨论、和三种情况下的单调性，结合题意，即可求得a的范围.
【详解】
由题意得：，，
所以原题转化为求在上有一个零点，
，
当时，，则在上单调递减，且，不符合题意，
当时，令，解得，
当，即时，，此时在上单调递减，且，不符合题意，
当，即时，，此时在上单调递增，且，不符合题意，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上有一个零点，
所以，解得，所以.
综上：a的取值范是
故选：C
解题的关键是当时，进行分段讨论，结合函数的单调性及零点的定义，分析求解，考查分析理解，分段讨论的思想，属中档题.
11．B
先利用定义算出，在求导算出单调区间.
【详解】
因为，所以，
因为是偶函数，所以对恒成立，
即，即，
所以，所以，令，解得或，
所以的单调递增区间为，．
故选：B．
12．B
由题意可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性及极值，又时，；当时，，作出函数的图像，利用数形结合思想即可求解.
【详解】
由题意，得，
设，求导
令，解得
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故当时，函数取得极大值，且
又时，；当时，，故；
作出函数大致图像，如图所示：
又，
因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，
由图可知：，即
故选：B.
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
13．D
求出函数的导函数,根据极值点处的导数为零,即可求得ab的长.
【详解】
,由,可得.
故选:D.
本题考查利用导数研究函数的极值问题,属基础题,主要根据极值点的必要条件求解即可.
14．D
分别求出两个函数的导函数，设出切点，求得切线的斜率，进而求得切线方程，通过对比系数得出等量关系式，也即原命题的等价命题，结合导数求得正实数的取值范围.
【详解】
的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，，所以，所以.所以正实数的取值范围是.
故选：D
本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
15．A
求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可.
【详解】
由题意可知，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，且当时，.
故选：A.
16．1
利用导数求出函数f(x)在[-2，2]上的最小值即可计算作答.
【详解】
由求导得：，
因x∈[-2，2]，则当时，，当时，，
于是得f(x)在上单调递减，在上单调递增，
因此，当x=0时，，
所以m=1.
故答案为：1
17．
求导，为二次函数，结合单调递增区间是，，即得解
【详解】
，令，得，
由函数的单调递增区间是，，
得导函数的图象是开口向上的抛物线，所以.
故答案为：
18．答案不唯一)
根据题意，得且在处不存在变号零点，写出符合的函数解析式即可.
【详解】
由题意，且在处不存在变号零点，例如，则，所以，且，符合题意.
故答案为：答案不唯一)
19．(1)，单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
（1）求导，根据求出，从而根据导函数的正负求解函数单调区间；（2）结合第一问，对进行分类讨论，求出实数的取值范围.
(1)
函数，
则，由题意得：，所以.
所以.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在上的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
.
①若，由（1）知，当时，，单调递增；
②若，当时，，，
则，单调递增；
③若，，则存在，使得当时，
，单调递减，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
20．(1)答案见解析
(2)证明见解析
（1）由题意得，然后对其求导，再分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，
（2）由（1）结合零点存在性定理可得在和上各有一个零点，且是的两个极值点，再将极值点代入导函数中化简结合已知可得，，从而将要证的结论转化为证，令，再次转化为利用导数求的最小值大于零即可
(1)
由，得，则
，
当时，在上单调递增；
当时，令.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
综上，当时，的增区间为，无减区间
当时，的增区间为，减区间为
(2)
由（1）知若存在两个极值点，则，
且，
且注意到，
所以在和上各有一个零点，
且时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减.
所以是的两个极值点.
，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以
而，所以，
所以，要证，即要证
即要证：
因为，所以
所以，即要证：
即要证：
令，即要证：
即要证：
令
当时，，所以在上单调增
所以结论得证.
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将两个极值点代入导函数中化简后，将问题转化为证明成立，换元后构造函数，再利用导数证明，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
21．（1）；（2）3.
（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；
（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案
【详解】
（1）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是
（2）由题意知.因为，所以.
由，得，
所以的单调递减区间为，
又已知的单调递减区间为，
所以，
所以，即.
本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.
22．(1)最大值为9，最小值为；
(2).
（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定在的极值、端点值，比较它们的大小即可知最值.
（2）讨论参数a的符号，利用导数研究的单调性，结合已知区间的极值情况求参数a的范围即可.
(1)
由题，时，，则，
令，得或1，则时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增.
∴在时取极大值，在时取极小值，又，，
综上，在区间上取得的最大值为9，最小值为.
(2)
，且，
当时，单调递增，函数没有极值；
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，，单调递增.
∴在取得极大值，在取得极小值，则；
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，，单调递增.
∴在取得极大值，在取得极小值，由得：.
综上，函数在区间存在极小值时a的取值范围是.
答案第1页，共2页
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