选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-24 09:23:37 | ||
图片预览
文档简介
选择性必修第三册 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、单选题
1．数学中有回文数，如343，12521等．两位数的回文数有11，22，33，…，99，共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
2．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格 的染色方法种数为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
3．十八世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸连接起来．有人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完这七座桥，最后回到出发点．这就是著名的哥尼斯堡七桥问题（下简称七桥问题），很多人尝试解决这个问题，但绞尽脑汁，就是无法找到答案．直到1736年，29岁的欧拉以拉丁文正式发表了论文《关于位置几何问题的解法》，文中详细讨论了七桥问题并作了一些推广，该论文被认为是图论、拓扑学和网络科学的发端．图1是欧拉当年解决七桥问题的手绘图，图2是该问题相应的示意图，其中，，，四个点代表陆地，连接这些点的边就是桥．欧拉将七桥问题转化成一个几何问题——笔画问题．一笔画问题中，要求不遗漏地依次走完每一条边，允许重复走过某些结点，可以不回到出发点，但不允许重复走过任何一条边．在图3中，根据以上一笔画问题的规则，不同的走法总数为（ ）
A． B． C． D．
4．7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．480种 B．720种 C．960种 D．1200种
5．某同学从3本不同的哲学图书 4本不同的自然科学图书 2本不同的社会科学图书中任选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．24种 B．12种 C．9种 D．3种
6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（ ）
A． B． C． D．
7．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚.现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则不同的报名方案有（ ）
A．35 B．50 C．70 D．100
9．第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行.某电视台在19日至24日六天中共有7场直播(如下表所示)，张三打算选取其中的三场观看.则观看的任意两场直播中间至少间隔一天(如第一场19日观看直播则20日不能观看直播)的概率是（ ）
日期 19日 20日 21日 22日 23日 24日
时间 全天 全天 上午 下午 全天 全天 全天
内容 飞行比赛 击剑 射击 游泳 篮球 定向越野 障碍跑
A． B． C． D．
10．某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（ ）
A． B． C． D．
11．作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递的不同信息种数是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．6
12．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
A．420 B．960 C．1440 D．1560
二、填空题
13．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有______种.
14．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________；
15．将摆放在编号为五个位置上的件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为_________．（用数字作答）
16．今有2只红球、3只黄球，同色球不加以区分，将这5只球排成一列，有______种不同的方法（用数字作答）．
17．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为____________．
三、解答题
18．有6张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，将其排成3行2列，要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7，求不同的排法种数．
19．某电视台连续播放6个广告，其中有3个商业广告、2个宣传广告和1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？
20．已知集合，表示平面上的点，问：
（1）P可表示平面上多少个第二象限的点？
（2）P可表示多少个不在直线上的点？
21．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组合而成，且英文字母在前.其中英文字母可以是A，B，C，D，E，F这6个字母中的1个，数字可以是1，2，…，9这9个数字中的1个.问：共有多少种不同的编号？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
首先安排末（首）位，再考虑中间位置，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】
解：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8．如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以在三位数的回文数总偶数的个数是．
故选：A
2．D
根据题意，分情况讨论，求出每种情况对应的染色方法种数，即可得出结果．
【详解】
依题意，第一个格子必须为黑色，设格子从左到右的编号分别为1～6．
故①当1，3，5号格子为黑色时：有23＝8种；
②当1，3号为黑色且5号为白色时：若2号为黑色则有22＝4种，若2号为白色，则4号为黑色有2种，故此时共有4+2＝6种；
③当1号为黑色，3号为白色时：2号必为黑色，若4号为白色，则有1×1×1×1×1×2＝2种，若4号为黑色，则有1×1×1×1×2×2＝4种，故此时共有2+4＝6种；
综上，共有8+6+6＝20种．
故选：D．
本题主要考查排列组合，意在考查考生的化归与转化能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理．本题解题的关键在于对1，3，5号格子的颜色进行讨论求解.
3．D
根据欧拉找到的“一笔画”规律：凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）一定可以一笔画成.画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点.
【详解】
图中，和是偶点，和是奇点，根据欧拉找到的“一笔画”规律：凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）一定可以一笔画成.画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点.
以为起点时，有、、、、、六种画法
以为起点时，所有路线与以上情况相反即可，也有六种，故共有种画法
故选：D
4．C
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁．得到结果．
【详解】
解：由题意知，
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，
与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，
把形成的五个空选两个排列丙和丁，
根据分步计数原理知共有A44A22A52＝960种．
故选：C．
5．C
利用分类加法计数原理直接求出答案即可.
【详解】
解：由分类加法计数原理知，不同的选法种数为.
故选：C.
6．C
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9. 各选一个数，求出所有的选法，求出其和能被5整除的选法种数，根据古典概型的概率计算公式，即得答案.
【详解】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.
各选一个数，共有种选法.
其和能被5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7，共4种选法，
选取的两数之和能被5整除的概率.
故选：C.
本题考查古典概型和计数原理，属于基础题.
7．A
求出所有涂色方法数为，再求出在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同的方法数，可先从中间一个三角形涂色，然后再涂其他三个三角形．
【详解】
5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为，
有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为，
所以所求概率为．
故选：A．
8．B
根据要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，可将6名同学分为和两类，通过分步乘法计数原理，分别求出每一类组合有多少种，再由分类加法计数原理可得答案.
【详解】
由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则组合为：和两类，
（1）若为“”组合，将6名同学分为两组，一组2人，另一组4人，有种分组方式；将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种；
（2）若为“”组合将6名同学分为两组，一组3人，另一组也为3人，有种分组方式，将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种；
由分类加法计数原理，则不同的报名方式有种；
故选：B.
9．B
先求出场直播中任意选取三场的种数，再计算选取的三场任意两场直播中间至少间隔一天的种数，利用概率除法公式即可求解.
【详解】
从场直播中任意选取三场有种，
三场任意两场直播中间至少间隔一天有四类：
选取日，有种，
选取日，有种，
选取日，有1种，
选取日，有1种，
所以选取的三场任意两场直播中间至少间隔一天的有种，
所以概率为，
故选：B
关键点点睛：本体的关键是准确求出场直播中任意选取三场的种数，以及选取的三场任意两场直播中间至少间隔一天的种数，理解分类加法与分步乘法的区别.
10．D
不相邻问题用插空法，先排好小吃类店铺，然后将饮料类店铺进行插空即可.
【详解】
先将6个小吃类店铺进行全排列，有种排法，再从这6个小吃类店铺形成的7个空中选3个进行排列，有种排法，故排出的摊位规划总个数为．
故选：D
11．D
由分步乘法原理求传递的不同信息种数.
【详解】
根据每行中紫色小方格的位置，可分三步：第一步，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况；第二步，在第二行的3个方格中，要求每列有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况；第三步，在第三行，只有1种情况，则一共可以传递的信息种数是，
故选：D．
12．D
根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．
【详解】
解：分4步进行分析：
①，对于区域，有6种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种；
故选：D
13．210
分3个中任意2个都不相邻，由9盏亮灯的10个空隙中插入3个，有两个相邻时，把2个相邻的捆绑在一起，由9盏亮灯的10个空隙中插入2个，然后利用分类计数原理求解.
【详解】
当3个中任意2个都不相邻时，把此问题当作一个排队模型在9盏亮灯的10个空隙中插入3个不亮的灯有＝120种.
当有两个相邻时，把2个相邻的捆绑在一起，和上面的做法一样，9盏亮灯的10个空隙中插入2个有，
共有120+90＝210种.
故答案为：210
14．243
根据题意，分析出每位同学有3种选择，进而由分步乘法计数原理可得答案.
【详解】
根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法，
所以5名同学共有种选择方法.
故答案为：.
15．45
先选出件，放回原来的位置，有5种，再将剩下的四件都不在原来位置.
【详解】
根据题意，分步进行分析：
（1）将件不同商品中选出件，放回原来的位置，有种情况，假设编号为的位置不变，
（2）剩下四件都不在原来位置，即编号为的四件商品都不在原来位置，
编号为的商品有种放法，假设其放在了号商品原来的位置，则号商品有种放法，
剩下编号为3，4的两件商品只有种放法，
则其余四件商品的放法有种，
故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有种，
故答案为：45．
16．10
由分步计数原理可分两步完成，第一步：在5个不同位置中选2个位置排红球， 第二步：在剩下的3个不同位置排黄球，再运算即可得解.
【详解】
分两步完成，
第一步：在5个不同位置中选2个位置排红球，共种排法，
第二步：在剩下的3个不同位置排黄球，共种排法，
故将这5只球排成一列，有种不同的方法,
故答案为：10.
17．72
根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．
【详解】
分4步进行分析：
①，对于区域，有4种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种；
故答案为：72
18．384（种）
等于7的数字可分成三组：，，，第一行的排法种数为种，第二行的排法种数为种，第三行有2种排法，由分步乘法计数原理即得解
【详解】
将1，2，3，4，5，6中数字之和等于7的两个数字分成一组，
记，，．
第一步，排第一行的两个数字，先从，，三组中选取两组，有3种选法，再从这两组中各选取一个数，有种选法，最后将这两个数排在第一行，有2种排法，故第一行的排法种数为．
第二步，排第二行的两个数字，先从，，中第一步未选到的那一组中选取一个数，有2种选法，再从第一步选取的两组中剩余的两个数中选取一个数，有2种选法，最后将这两个数排在第二行，有2种排法，故第二行的排法种数为．
第三步，将余下的两个数排在第三行，有2种排法．
由分步乘法计数原理，知不同的排法共有（种）．
19．108种
结合分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.
【详解】
用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序，则完成这件事有3类方法．
第1类，宣传广告与公益广告的播放顺序是2，4，6．分6步完成这件事，共有种不同的播放方式；
第2类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1，4，6．分6步完成这件事，共有种不同的播放方式；
第3类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3，6．同样分6步完成这件事，共有种不同的播放方式，
由分类加法计数原理，得6个广告不同的播放方式共有种．
20．（1）6（个）；（2）30（个）．
(1)由分步乘法原理求第二象限的点的个数，(2)依次确定横坐标和纵坐标的可能取法，由分步乘法原理求不在直线上的点的个数.
【详解】
（1）因为P表示平面上第二象限的点，故可分两步：
第一步，确定a，a必须小于0，则有3种不同的情况；
第二步，确定b，b必须大于0，则有2种不同的情况；
根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有（个）．
（2）因为P表示不在直线上的点，故可分两步：
第一步，确定a，有6种不同的情况；
第二步，确定b，有5种不同的情况．
根据分步乘法计数原理，不在直线上的点共有（个）．
21．54
利用分步相乘计数原理即可得解.
【详解】
根据题意，完成编号分两步完成：
第1步，从6个英文字母中选1个，有6种方法；
第2步，从9个数字中选1个，有9种方法；
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为.
所以共有54种不同的编号.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．数学中有回文数，如343，12521等．两位数的回文数有11，22，33，…，99，共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
2．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格 的染色方法种数为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
3．十八世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸连接起来．有人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完这七座桥，最后回到出发点．这就是著名的哥尼斯堡七桥问题（下简称七桥问题），很多人尝试解决这个问题，但绞尽脑汁，就是无法找到答案．直到1736年，29岁的欧拉以拉丁文正式发表了论文《关于位置几何问题的解法》，文中详细讨论了七桥问题并作了一些推广，该论文被认为是图论、拓扑学和网络科学的发端．图1是欧拉当年解决七桥问题的手绘图，图2是该问题相应的示意图，其中，，，四个点代表陆地，连接这些点的边就是桥．欧拉将七桥问题转化成一个几何问题——笔画问题．一笔画问题中，要求不遗漏地依次走完每一条边，允许重复走过某些结点，可以不回到出发点，但不允许重复走过任何一条边．在图3中，根据以上一笔画问题的规则，不同的走法总数为（ ）
A． B． C． D．
4．7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．480种 B．720种 C．960种 D．1200种
5．某同学从3本不同的哲学图书 4本不同的自然科学图书 2本不同的社会科学图书中任选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．24种 B．12种 C．9种 D．3种
6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（ ）
A． B． C． D．
7．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚.现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则不同的报名方案有（ ）
A．35 B．50 C．70 D．100
9．第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行.某电视台在19日至24日六天中共有7场直播(如下表所示)，张三打算选取其中的三场观看.则观看的任意两场直播中间至少间隔一天(如第一场19日观看直播则20日不能观看直播)的概率是（ ）
日期 19日 20日 21日 22日 23日 24日
时间 全天 全天 上午 下午 全天 全天 全天
内容 飞行比赛 击剑 射击 游泳 篮球 定向越野 障碍跑
A． B． C． D．
10．某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（ ）
A． B． C． D．
11．作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递的不同信息种数是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．6
12．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
A．420 B．960 C．1440 D．1560
二、填空题
13．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有______种.
14．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________；
15．将摆放在编号为五个位置上的件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为_________．（用数字作答）
16．今有2只红球、3只黄球，同色球不加以区分，将这5只球排成一列，有______种不同的方法（用数字作答）．
17．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为____________．
三、解答题
18．有6张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，将其排成3行2列，要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7，求不同的排法种数．
19．某电视台连续播放6个广告，其中有3个商业广告、2个宣传广告和1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？
20．已知集合，表示平面上的点，问：
（1）P可表示平面上多少个第二象限的点？
（2）P可表示多少个不在直线上的点？
21．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组合而成，且英文字母在前.其中英文字母可以是A，B，C，D，E，F这6个字母中的1个，数字可以是1，2，…，9这9个数字中的1个.问：共有多少种不同的编号？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
首先安排末（首）位，再考虑中间位置，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】
解：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8．如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以在三位数的回文数总偶数的个数是．
故选：A
2．D
根据题意，分情况讨论，求出每种情况对应的染色方法种数，即可得出结果．
【详解】
依题意，第一个格子必须为黑色，设格子从左到右的编号分别为1～6．
故①当1，3，5号格子为黑色时：有23＝8种；
②当1，3号为黑色且5号为白色时：若2号为黑色则有22＝4种，若2号为白色，则4号为黑色有2种，故此时共有4+2＝6种；
③当1号为黑色，3号为白色时：2号必为黑色，若4号为白色，则有1×1×1×1×1×2＝2种，若4号为黑色，则有1×1×1×1×2×2＝4种，故此时共有2+4＝6种；
综上，共有8+6+6＝20种．
故选：D．
本题主要考查排列组合，意在考查考生的化归与转化能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理．本题解题的关键在于对1，3，5号格子的颜色进行讨论求解.
3．D
根据欧拉找到的“一笔画”规律：凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）一定可以一笔画成.画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点.
【详解】
图中，和是偶点，和是奇点，根据欧拉找到的“一笔画”规律：凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）一定可以一笔画成.画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点.
以为起点时，有、、、、、六种画法
以为起点时，所有路线与以上情况相反即可，也有六种，故共有种画法
故选：D
4．C
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁．得到结果．
【详解】
解：由题意知，
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，
与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，
把形成的五个空选两个排列丙和丁，
根据分步计数原理知共有A44A22A52＝960种．
故选：C．
5．C
利用分类加法计数原理直接求出答案即可.
【详解】
解：由分类加法计数原理知，不同的选法种数为.
故选：C.
6．C
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9. 各选一个数，求出所有的选法，求出其和能被5整除的选法种数，根据古典概型的概率计算公式，即得答案.
【详解】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.
各选一个数，共有种选法.
其和能被5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7，共4种选法，
选取的两数之和能被5整除的概率.
故选：C.
本题考查古典概型和计数原理，属于基础题.
7．A
求出所有涂色方法数为，再求出在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同的方法数，可先从中间一个三角形涂色，然后再涂其他三个三角形．
【详解】
5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为，
有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为，
所以所求概率为．
故选：A．
8．B
根据要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，可将6名同学分为和两类，通过分步乘法计数原理，分别求出每一类组合有多少种，再由分类加法计数原理可得答案.
【详解】
由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则组合为：和两类，
（1）若为“”组合，将6名同学分为两组，一组2人，另一组4人，有种分组方式；将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种；
（2）若为“”组合将6名同学分为两组，一组3人，另一组也为3人，有种分组方式，将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种；
由分类加法计数原理，则不同的报名方式有种；
故选：B.
9．B
先求出场直播中任意选取三场的种数，再计算选取的三场任意两场直播中间至少间隔一天的种数，利用概率除法公式即可求解.
【详解】
从场直播中任意选取三场有种，
三场任意两场直播中间至少间隔一天有四类：
选取日，有种，
选取日，有种，
选取日，有1种，
选取日，有1种，
所以选取的三场任意两场直播中间至少间隔一天的有种，
所以概率为，
故选：B
关键点点睛：本体的关键是准确求出场直播中任意选取三场的种数，以及选取的三场任意两场直播中间至少间隔一天的种数，理解分类加法与分步乘法的区别.
10．D
不相邻问题用插空法，先排好小吃类店铺，然后将饮料类店铺进行插空即可.
【详解】
先将6个小吃类店铺进行全排列，有种排法，再从这6个小吃类店铺形成的7个空中选3个进行排列，有种排法，故排出的摊位规划总个数为．
故选：D
11．D
由分步乘法原理求传递的不同信息种数.
【详解】
根据每行中紫色小方格的位置，可分三步：第一步，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况；第二步，在第二行的3个方格中，要求每列有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况；第三步，在第三行，只有1种情况，则一共可以传递的信息种数是，
故选：D．
12．D
根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．
【详解】
解：分4步进行分析：
①，对于区域，有6种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种；
故选：D
13．210
分3个中任意2个都不相邻，由9盏亮灯的10个空隙中插入3个，有两个相邻时，把2个相邻的捆绑在一起，由9盏亮灯的10个空隙中插入2个，然后利用分类计数原理求解.
【详解】
当3个中任意2个都不相邻时，把此问题当作一个排队模型在9盏亮灯的10个空隙中插入3个不亮的灯有＝120种.
当有两个相邻时，把2个相邻的捆绑在一起，和上面的做法一样，9盏亮灯的10个空隙中插入2个有，
共有120+90＝210种.
故答案为：210
14．243
根据题意，分析出每位同学有3种选择，进而由分步乘法计数原理可得答案.
【详解】
根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法，
所以5名同学共有种选择方法.
故答案为：.
15．45
先选出件，放回原来的位置，有5种，再将剩下的四件都不在原来位置.
【详解】
根据题意，分步进行分析：
（1）将件不同商品中选出件，放回原来的位置，有种情况，假设编号为的位置不变，
（2）剩下四件都不在原来位置，即编号为的四件商品都不在原来位置，
编号为的商品有种放法，假设其放在了号商品原来的位置，则号商品有种放法，
剩下编号为3，4的两件商品只有种放法，
则其余四件商品的放法有种，
故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有种，
故答案为：45．
16．10
由分步计数原理可分两步完成，第一步：在5个不同位置中选2个位置排红球， 第二步：在剩下的3个不同位置排黄球，再运算即可得解.
【详解】
分两步完成，
第一步：在5个不同位置中选2个位置排红球，共种排法，
第二步：在剩下的3个不同位置排黄球，共种排法，
故将这5只球排成一列，有种不同的方法,
故答案为：10.
17．72
根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．
【详解】
分4步进行分析：
①，对于区域，有4种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种；
故答案为：72
18．384（种）
等于7的数字可分成三组：，，，第一行的排法种数为种，第二行的排法种数为种，第三行有2种排法，由分步乘法计数原理即得解
【详解】
将1，2，3，4，5，6中数字之和等于7的两个数字分成一组，
记，，．
第一步，排第一行的两个数字，先从，，三组中选取两组，有3种选法，再从这两组中各选取一个数，有种选法，最后将这两个数排在第一行，有2种排法，故第一行的排法种数为．
第二步，排第二行的两个数字，先从，，中第一步未选到的那一组中选取一个数，有2种选法，再从第一步选取的两组中剩余的两个数中选取一个数，有2种选法，最后将这两个数排在第二行，有2种排法，故第二行的排法种数为．
第三步，将余下的两个数排在第三行，有2种排法．
由分步乘法计数原理，知不同的排法共有（种）．
19．108种
结合分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.
【详解】
用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序，则完成这件事有3类方法．
第1类，宣传广告与公益广告的播放顺序是2，4，6．分6步完成这件事，共有种不同的播放方式；
第2类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1，4，6．分6步完成这件事，共有种不同的播放方式；
第3类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3，6．同样分6步完成这件事，共有种不同的播放方式，
由分类加法计数原理，得6个广告不同的播放方式共有种．
20．（1）6（个）；（2）30（个）．
(1)由分步乘法原理求第二象限的点的个数，(2)依次确定横坐标和纵坐标的可能取法，由分步乘法原理求不在直线上的点的个数.
【详解】
（1）因为P表示平面上第二象限的点，故可分两步：
第一步，确定a，a必须小于0，则有3种不同的情况；
第二步，确定b，b必须大于0，则有2种不同的情况；
根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有（个）．
（2）因为P表示不在直线上的点，故可分两步：
第一步，确定a，有6种不同的情况；
第二步，确定b，有5种不同的情况．
根据分步乘法计数原理，不在直线上的点共有（个）．
21．54
利用分步相乘计数原理即可得解.
【详解】
根据题意，完成编号分两步完成：
第1步，从6个英文字母中选1个，有6种方法；
第2步，从9个数字中选1个，有9种方法；
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为.
所以共有54种不同的编号.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页