海南省海口嘉积高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

海口嘉积高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学（B卷）
时量：120分钟 满分：150分
一、单选题（每小题5分，共8小题）
1．已知集合，则的真子集个数（ ）
A． B. C. D.
2．设复数满足 (为虚数的单位)，在复平面内对应的点为,则（ ）
A. B. C. D.
3．的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的第三项为（ ）
A．180 B．-180 C．180 D． -180
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．90种 C．150种 D．240种
6．已知实数，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是　　
A．3 B． C． D．
8．已知函数，满足，且函数无零点，则（ ）
A．不等式有解 B．方程有解
C．方程有解 D．不等式有解
二、多选题（每小题5分，共4小题，漏选得2分，错选或不选得0分）
9．函数，在一个周期内的图象如图所示，则　　
A．函数的解析式为
B．函数的一条对称轴方程是
C．函数的对称中心是，，
D．函数是偶函数
10.等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若， 则 D．若，则.
11．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
A．两两互斥 B．
C．与B是互相独立事件 D．
12．已知函数，下述结论正确的是（ ）
A．存在唯一极值点，且； B.存在实数，使得；
C.方程有且仅有两个实数根，且两根互为倒数
D.当时，函数与的图象有两个交点
三、填空题（每小题5分，共4小题）
13．命题的否定形式为___________.
14．若双曲线的离心率为，则实数=_________.
15．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为__________.
16．已知正三棱锥，Q为BC中点，，，则正三棱锥的外接球的半径为________；过Q的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为________．
四、解答题：（6个小题，共70份.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题10分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面，
，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18.（本题12分）设，数列的前项和为，已知，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项的和.
19.（本题12分）已知的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项.
20、(本题 12分)如图，某城市设立以城中心为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆相切的直道BC .已知通往一级公路的道路 AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是万元，其中为常数,设∠POA=θ，总造价为y万元.
(1)把表示成的函数，并求出定义域；
(2)当时，如何确定点的位置才能使得总造价最低
21、(本题 12分)已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若为函数的两个极值点，证明：.
22、(本题 12分)已知椭圆 的离心率为，椭圆E上的点与其右焦点F的最短距离为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若A, B, C为椭圆E上的3个动点，且△ABC的重心是，求证：△ABC的面积为定值，并求这个
定值.
海口嘉积高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学（B卷）参考答案
1.A
则的真子集为
2.B
因为.
A
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则最大,即.展开式的第三项为
4．D
已知，则
5、C
5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；
分为1，2，2时安排有;分为1，1，3时安排有
所以一共有.故选：C
6．B
∵，，
∴
当且仅当，即，时取等号.故选B
7、C
解：由题意可知，四边形是关于直线对称的图形，
故点在四边形的四条边上运动时，仅需考虑点在边，上的运动情况，
易知，所以，
①当点在边上运动时，
设则，
，
当时，取得最小值．
②当点在边上运动时，
设，则，
，
当时，取得最小值．
综上：的最小值是．故选：．
8、A
函数无零点，，
即恒成立
A. 不等式有解.恒成立，正确
B. 方程有解.恒成立，错误
C. 方程有解.设这与无零点矛盾，错误
D. 不等式有解.即，由题意：恒成立，错误
二、多选题（每小题5分，共4小题，漏选得2分，错选或不选得0分）
9.BD
解：由函数的图象知，，所以；
即，解得，所以，
由五点对应法，得，解得，所以，选项错误．
当时，，所以的一条对称轴方程是，选项正确．
令，，解得，，
所以的对称中心是，，，选项错误．
，
是定义域上的偶函数，所以选项正确．
故选：
10.BC
A错：；B对：对称轴为7；
C对：，又，；
D错：，但不能得出是否为负，因此不一定有．
故选：BC．
11.AB
对于A，由题意知不能同时发生，则两两互斥，故A正确；
对于B，由题意知，故B对；
对于C，
与B不是互相独立事件，则C错误；
对于D，由C选项可知D错误.故选：AB.
12． ACD
对进行求导可得：，显然为减函数，
，故存在，使得，
并且，，为增函数， ， ，为减函数，故为极大值点，所以A正确；所以，
可得：，因为，所以，故B错
若是的一解，即，
则，
故和都是的解，故C正确，
由，可得，令，，
令 ，因为，所以，
故为减函数，而，
所以当，，即，为增函数
，，即，为减函数，
所以，故当，有两个解，故D正确.
故选：ACD
三、填空题（每小题5分，共4小题）
13、
14、2
15、根据题意，“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，先排3个不同造型的“雪容融”，再将4个不同造型的“冰墩墩”依次安排在雪容融的空位中，有种排法，故答案为144.
16、
在正三棱锥中，取底面三角形ABC的外接圆的圆心E，则底面外接圆半径为r=AE=.
连接PE可得PE垂直面ABC,如图所示：棱锥高PE=，设外接圆O的半径为R，则,解得R=.由外接圆的半径可得球心在四棱锥的外部，过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积最大值为过球心的大圆，所以截面面积的最大值为，最小值为过Q且与QO垂直的截面，即以BC为直径的圆，面积为.
20.
20、
21.
21、
22.
22、