2021-2022学年北师大版数学八年级下册6.1平行四边形的性质课时练习（word版 含答案）

平行四边形的性质
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（　　）
A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2）
2．如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（　　）
A．80° B．81° C．82° D．83°
3．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，为（ ）
A．136° B．144° C．108° D．114°
4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，4），将线段AB水平向右平移5个单位，则在此平移过程中，线段AB扫过的区域的面积为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
5．如图，在中，，延长CB到E，使得，若，，则AE长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，与一组对边垂直，点沿从运动到，连接，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，右下图是点运动时随变化的关系图象，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，若，，则EF的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
8．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=2.5，那么四边形EFCD的周长是（ ）
A．9 B．10.5 C．12 D．14
10．如图，在中，对角线AC的重直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若的周长为4，则的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
11．如图，在平行四边形中，于E，于F，若，平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．36 D．60
12．在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，F为直角梯形ABCD边AB的中点，将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF，DE所在的直线对折，点B，C恰好与点G重合，点D，G，F在同一直线上，若四边形BCDF为平行四边形，且，则四边形BEGF的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在 ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，则AD的长为 _____．
14．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0），B（0，4），若以点 A，B，O，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 C 的坐标是_____．
15．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若BD=10，AC=6，则CD的长是______．
16．如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的度数是_____________
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，点是的中点，点是线段上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为______．
三、解答题
18．如图，在中，，垂足分别为E，F，且．
求证：．
19．如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O．若 AB＝3，AD＝5，OC=2．
求证：AC⊥CD．
20．如图所示，已知点，在的对角线上，且．求证：．
21．如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．
(1)求证：≌；
(2)当，，时，求AF的长；
(3)在（2）的条件下，连接BE，求的面积．
22．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．
(1)求证：BC＝CD+ED；
(2)若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，点A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），
∴AD=BC=3+1=4，
故点D的坐标为（1+4，2），即（5，2）
故选：D．
2．B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝180°－∠B＝180°－72°＝108°，
∵AB＝BE，
∴，
∵AE＝EC，
∴，
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACE＝108°－27°＝81°,
故选：B.
3．D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD = ∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠，
∴∠BAC=∠ACD=∠，
∴∠B = 180°-∠2-∠BAC= 180°- 44°- 22°= 114°.
故选D．
4．C
解：如图所示，由平移的性质可得AC=5，线段AB扫过的区域的面积即为平行四边形ABDC的面积，
∴，
故选C．
5．D
解：∵，，，
∴CD=，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=3，
∵=5，
∴CE=EB+BC=8，
∴在Rt△AEC中，AE=．
故选择：D．
6．A
解：过A作AF⊥CD交CD的延长线于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，∠DAB=，CD=AD=2a，
∴∠ADF=∠C=45°，AD=BD=，
∴AF=DF=，
∴AE=y=，
由图象得，当x=a时，y=，
∴，
解得a=1（负值舍去）；
∴CD=2，AF=1，
∴的面积为，
故选：A．
7．A
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴∠DFC=∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC=3，
同理可证：AE=AB=3，
∴AF=DE
∵AD=4，
∴AF=4-3=1，
∴EF=4-1-1=2．
故选：A．
8．D
解：∵AC=2，，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC=1，，
∵，
∴AB2+AO2=BO2，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，，
，
，
∴，
故选：D．
9．D
解：根据平行四边形的性质，得
AO=OC，∠EAO=∠FCO，又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OF=OE=2.5，CF=AE，
根据平行四边形的对边相等，得
CD=AB=4，AD=BC=5，
故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD
=OE+OF+AE+ED+CD
=2.5+2.5+5+4=14．
故选：D．
10．D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵EF垂直平分AC.
∴.
∴的周长为，
∴的周长为，
故选：D．
11．A
解：∵平行四边形ABCD的周长为40，
∴BC＋CD＝20，
设BC为x，
∵SABCD＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝（20 x）×6，解得x＝12，
∴ABCD的面积为12×4＝48，
故选：A．
12．A
解：由折叠性质得BE=GE=CE，BF=GF，CD=DG，
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴CD=BF，DF=BC，
∵AF=BF，
∴AF=BF=FG=DG，
∴2AF=DF，
在中，DF2-AF2=AD2，即4AF2-AF2=62，
∴AF=，
∴BF=，
∴S BCDF＝BF AD＝，
∵DG=FG，
∴S△EDG=S△EFG，
由折叠性质知S△CDE=S△EDG=S△RFG=S△BEF，
∴S四边形BEGF＝S BCDF＝．
故选：A．
13．7
解：∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°，
∴,
∵∠B=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,
∴BE=AE=3,
∴BC=BE+CE=7，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=7，
故答案为：7．
14． ####
解：如图，
∵以点 A，B，O，C 为顶点的四边形是平行四边形，
①四边形是平行四边形，
∴，，
∴；
②四边形是平行四边形，
∴，，
∴；
③四边形是平行四边形，
∴，，
∴；
综上所述，的坐标为 或或 ，
故答案为： 或或 ．
15．4
解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=10，AC=6，
∴，
∵AB⊥AC，即，
∴
∴CD=AB=4．
故答案为：4．
16．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB＋∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB＋∠ACB＝3∠CAB＝180° ∠ABC＝180° 108°，
∴∠BAC＝24°，
故答案为：24°．
17．（2，0）或（7，0）或（8，0）
解：∵，，，
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC=10，AD//BC，
∴D（10，4）
∵点E是AD的中点，
∴E（5，4），DE=AE=，
情形一：过点E作EF⊥x轴于点F，
则EF=4，F（5，0）
当PE=DE=5时，由勾股定理得，，
∴或，
∴点P的坐标为（2，0）或（8，0）；
情形二：过点D作DG⊥x轴于点F，
则OG=AD=10，DG=4
当PD=DE=5时，由勾股定理得，，
∴OP=OG-GP=10-3=7，
∴点P的坐标为（7，0），
综上，点P的坐标为（2，0）或（7，0）或（8，0）
18．证明见解析
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB=AD．
19．证明见解析
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．见详解．
证明：在中，AD=CB，，
，
，
，即DE=BF，
，
，
．
21．(1)见解析 (2)4 (3)3
(1)
证明：是边CD的中点
四边形ABCD是平行四边形
在与中
(2)
解：四边形ABCD是平行四边形
，AD=BC=2.5
在直角中，
(3)
解：如图：连接BE
是的边EF上的高
22．(1)证明过程见解析 (2)6
(1)
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC， AB=CD ，BC=AD=AE+ED，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
∴BC=AB+ED；
(2)
解：过点F作FG⊥BC，那么
∵BE是∠ABC的角平分线，AB⊥AC，AF=3，
∴GF =AF=3，AB=BG
又∵AC＝8，
∴FC=AC=AF=8-3=5，
在Rt中，GC===4，
由（1）知，AE=AB，设AE=AB=BG=x，
在Rt中， AB2+AC2=BC2，
即x2+82=(x+4)2，
解得：x=6，
即AE的长为6．
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