第2课时 函数的最大(小)值
学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点一 函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
思考 如图所示，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值．若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？
答案 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．
若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．
知识点二 求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．函数的最大值不一定是函数的极大值．( √ )
2．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( × )
3．有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( × )
4．函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．( √ )
一、不含参函数的最值问题
例1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
解 (1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，
所以f′(x)＝6x2－12
＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，
解得x＝－ 或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示．
x －2 (－2，－) － (－，) (，3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 8 ↗ 8 ↘ －8 ↗ 18
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
f()＝－8，f(－)＝8，
所以当x＝时，
f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，
f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，
又x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示．
x 0 (，2π) 2π
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 0 ↗ ＋ ↘ － ↗ π
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f ＝＋，
f ＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
反思感悟 求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．
(4)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
跟踪训练1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2－x－ln x，x∈[1,3]．
解 (1)函数f(x)＝的定义域为R.
f′(x)＝＝，
当f′(x)＝0时，x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.
x (－∞，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ ↘
∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，
在(2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝.
(2)f′(x)＝2x－1－＝＝，
∵x∈[1,3]，
∴f′(x)≥0在[1,3]上恒成立．
∴f(x)在[1,3]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝0，
当x＝3时，f(x)max＝f(3)＝6－ln 3.
二、含参函数的最值问题
例2 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
解 f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.
③当a<0时，f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
所以f(x)min＝f ＝a3.
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
当a<0时，f(x)的最小值为a3.
延伸探究
当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a,2a]上的最值．
解 f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令f′(x)＝0，得x1＝－
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在[a,2a]上单调递增．
因为f(－a)＝－a3，f ＝a3，f(a)＝－a3，
f(2a)＝2a3.
所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.
f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.
反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练2 已知a∈R，函数f(x)＝x2，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 f′(x)＝x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a.
令g(a)＝f(x)max，
①当2a ≤0，即a≤0时，
f(x)在[0,2]上单调递增，
从而g(a)＝f(x)max＝f(2)＝－4a.
②当2a≥2，即a≥1时，
f(x)在[0,2]上单调递减，
从而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.
③当0<2a<2，即0f(x)在 [0,2a]上单调递减，在[2a,2]上单调递增，
从而g(a)＝
综上所述，g(a)＝
三、由函数的最值求参数问题
例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，且当x变化时，
f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．
跟踪训练3 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．
解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗
∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；
当x＝1时，h(x)取极小值－4.
而h(2)＝3∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.
所以k的取值范围为(－∞，－3]．
四、导数在解决实际问题中的应用
例4 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解 ∵V(x)＝(x)2×(60－2x)×
＝x2×(60－2x)＝－2x3＋60x2(0∴V′(x)＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
∵当00；
当20∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．
∴底面边长为x＝20(cm)，
高为(30－x)＝10(cm)，
即高与底面边长的比值为.
反思感悟 解决最优问题应从以下几个方面入手
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域．
(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解 (1)由题设可知，隔热层厚度为x cm，
每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，
得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x (0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，
即＝6.解得x1＝5，x2＝－(舍去)．
当00，
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为
f(5)＝6×5＋＝70.
即当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元．
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
答案 D
解析 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
答案 C
解析 y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，
则函数在区间上单调递增，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最值，但无极值
B．有最值，也有极值
C．既无最值，也无极值
D．无最值，但有极值
答案 C
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
无最大值和最小值，也无极值．
4．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
答案 B
解析 设圆锥的高为h cm,0∴V圆锥＝π(202－h2)×h＝π(400－h2)h
∴V′＝π(400－3h2)，令V′＝0得h＝，
当h∈时，V′>0，当h∈时，V′<0，
故当h＝时，体积最大．
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为______， f(x)在[－2,2]上的最大值为________．
答案 3 3
解析 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0
f(x) －40＋a ↗ 极大值a ?↘ －8＋a
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.
1．知识清单：
(1)函数最值的定义．
(2)求函数最值的步骤．
(3)函数最值的应用．
2．方法归纳：方程思想、分类讨论．
3．常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系．
1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0 B．小于0 C．等于1 D．不确定
答案 A
解析 因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.
2.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
答案 A
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19
答案 C
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1 [－3,0]．
所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17.
4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元
答案 D
解析 设毛利润为L(P)．
则L(P)＝PQ－20Q
＝(8 300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，
所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.
令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
5．(多选)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的值可以为( )
A．0 B. C. D．1
答案 BC
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，
且f′(x)＝0有解，∴a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴06．若函数f(x)＝x3－3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m＝________，n＝________.
答案 18 －2
解析 f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．
又因为x∈[0,1)时，f′(x)<0，x∈(1,3]时，f′(x)>0，
所以当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－2.
又f(0)＝0，f(3)＝18，所以m＝18，n＝－2.
7．设0答案
解析 y′＝＝.
因为0所以当0；
当0所以当x＝时，ymin＝.
8．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2，则a－b＝________，f(x)的解析式为________________．
答案 f(x)＝x3－2x2＋1
解析 f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝a，
当x∈[－1,0]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
当x∈(0,1]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)max＝f(0)＝b＝1，
因为f(－1)＝－a，f(1)＝2－a，
所以f(x)min＝f(－1)＝－a，
所以－a＝－2，即a＝，
所以a－b＝－1＝，
所以f(x)＝x3－2x2＋1.
9．求下列函数的最值：
(1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈；
(2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0,2]．
解 (1)f′(x)＝cos x－sin x.
令f′(x)＝0，即tan x＝1，
且x∈，
所以x＝.
又因为f ＝，
f ＝－1，f ＝1，
所以当x∈时，函数的最大值为f ＝，
最小值为f ＝－1.
(2)f′(x)＝－x，
令－x＝0，
化简为x2＋x－2＝0，
解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当1所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值．
又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，f(1)>f(2)．
所以f(0)＝0为函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在[0,2]上的最小值，
f(1)＝ln 2－为函数在[0,2]上的最大值．
10．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
解 f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.
若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
因为x∈[0,1]，
所以只考虑x＝的情况．
(1)若0<<1，即0x 0 (0，) (，1) 1
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a－1
(2)若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，
当0当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
11．已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
答案 A
解析 f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(0)＝1＋a.
若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.
12．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
①f(x)>0的解集是{x|0②f(－)是极小值，f()是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值．
A．①③ B．①②③ C．② D．①②
答案 D
解析 由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±，
当x<－或x>时，f′(x)<0，
当－0，
∴当x＝－时，f(x)取得极小值，
当x＝时，f(x)取得极大值，故②正确．
当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)<0，
且f()>0，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，
故③不正确．
13．函数f(x)＝(x∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________．
答案 2 －2
解析 f′(x)＝
＝＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
又f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，
∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
14.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________ m时，帐篷的体积最大．
答案 2
解析 设OO1＝x m，则1由题设可得正六棱锥底面边长为
＝.
于是底面正六边形的面积为
6··()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V(x)＝(8＋2x－x2)
＝(16＋12x－x3)．
则V′(x)＝(12－3x2)．
令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合题意，舍去)或x＝2.
当10，V(x)单调递增；
当2综上，当x＝2时，V(x)最大．
15．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(a>1)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为_________．
答案 4
解析 由题意得，f′(x)＝3ax2－3，当a>1时，令f′(x)＝3ax2－3＝0，解得x＝±，±∈
[－1,1]．
①当－10，f(x)单调递增；
②当－③当0，f(x)单调递增．
所以只需f ≥0，且f(－1)≥0即可，
由f ≥0，得a·3－3·＋1≥0，解得a≥4，
由f(－1)≥0，可得a≤4，综上可得a＝4.
16．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
解 函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)单调递增，
∴函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)≤0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾．
综上所述，a的值为.5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一 函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点二 函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)列表；
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
1．导数为0的点一定是极值点．( × )
2．函数的极大值一定大于极小值．( × )
3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．( × )
4．函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( √ )
一、求函数的极值
例1 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(2)f(x)＝x－aln x(a∈R)．
解 (1)f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
(2) f(x)＝x－aln x的定义域为(0，＋∞)，
由f′(x)＝1－＝，x>0，知
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
跟踪训练1 (1)求函数f(x)＝－2的极值．
解 函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
(2)已知函数f(x)＝x＋＋1，a∈R.求此函数的极值．
解 函数的定义域为{x|x≠0}，
f′(x)＝1－＝.
当a≤0时，显然f′(x)>0，这时函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值．
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－) － (－，0) (0，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗
由上表可知，当x＝－时，函数取得极大值f(－)＝－2＋1.
当x＝时，函数取得极小值f()＝2＋1.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝－处取得极大值－2＋1，在x＝处取得极小值2＋1.
二、由极值求参数的值或取值范围
例2 (1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.
答案 4 －11
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，
所以不符合题意，应舍去．
而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，
故a，b的值分别为4，－11.
(2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
解 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
反思感悟 已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
跟踪训练2 (1)若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a的值为( )
A. B. C．2 D.
答案 A
解析 因为f′(x)＝a－，所以f′＝0，
即a－＝0，解得a＝.
(2)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1.
①若函数的极大值点是－1，求a的值；
②若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围．
解 ①f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得，f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，
经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值，故a＝－3.
②由题意得，方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，
设为x1，x2，则x1x2＝a<0，
故a的取值范围是(－∞，0)．
三、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
例3 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m.
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x 4 (4，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.由g(x)的图象与x轴有三个不同的交点，
得
解得－16∴实数m的取值范围为.
反思感悟 (1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．
跟踪训练3 若函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；
当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－.
且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，
结合图象知－1．(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( )
A．在(1,2)上函数f(x)单调递增
B．在(3,4)上函数f(x)单调递减
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
答案 ABC
解析 由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当2＜x＜4时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当4＜x＜5时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
∴x＝2是函数f(x)的极大值点，
x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．
2．(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
答案 AB
解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，
∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，
由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
答案 D
解析 令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.
当x＜－1时，f′(x)＜0；
当x＞－1时，f′(x)＞0.
故x＝－1为f(x)的极小值点．
4．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
答案 2
解析 由f′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝2时，f(x)取得极小值．
5．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＝___________，b＝________.
答案 2 －4
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意知即
解得经验证知符合题意．
1．知识清单：
(1)函数极值的定义．
(2)函数极值的判定及求法．
(3)函数极值的应用．
2．方法归纳：方程思想、分类讨论．
3．常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．
1．下列函数中存在极值的是( )
A．y＝ B．y＝x－ex
C．y＝2 D．y＝x3
答案 B
解析 对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.
在区间(－∞，0)上，y′>0；
在区间(0，＋∞)上，y′<0.
故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值．
2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
答案 D
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2当1当x>2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值．
3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( )
A．－e B．－1
C．1－e D．0
答案 B
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，
当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
4．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A．－4 B．－2 C．4 D．2
答案 D
解析 ∵f(x)＝x3－12x，
∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，
∴f(x)的极小值点为a＝2.
5．(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是( )
A．－4 B．－3 C．6 D．8
答案 AD
解析 由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.
6．f(x)＝的极小值为________．
答案 －
解析 f′(x)＝
＝.
令f′(x)<0，得x<－2或x>1；
令f′(x)>0，得－2所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，
在(－2,1)上单调递增，
所以f(x)极小值 ＝f(－2)＝－.
7．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________.
答案 －
解析 因为f′(x)＝＋2bx＋1，
由题意得
所以a＝－.
8．已知关于x的函数f(x)＝－x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处取得极值－，则b＝________，c＝________.
答案 －1 3
解析 f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由
解得或
若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，
此时f(x)没有极值；
若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，
当－30，当x>1时，f′(x)<0，
所以当x＝1时，f(x)有极大值－.
故b＝－1，c＝3即为所求．
9.设函数f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解 (1)f′(x)＝－＋(x>0)．
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值．
10．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
解 (1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ?↗
∴f(x)的极大值是f ＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f ＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
答案 C
解析 因为f(x)在x＝－2处取得极小值，
所以当x＜－2时，
f(x)单调递减，
即f′(x)＜0；
当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.
所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；
当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；
当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；
当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；
当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.
结合选项中的图象知选C.
12．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
答案 y＝－
解析 由题意知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，
代入函数解析式可得极值点的坐标为，
又极值点处的切线为平行于x轴的直线，
故方程为y＝－.
13．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
答案 [1,5)
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根．
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.
∴应满足∴
∴1≤a<5.
14．若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为________．
答案 (0,1)
解析 f′(x)＝3x2－3a.
当a≤0时，在区间 (0,1)上无极值．
当a>0时，令f′(x)>0，
解得x>或x<－.
令f′(x)<0，解得－若f(x)在(0,1)内有极小值，则0<<1.
解得015．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．小于或等于0
答案 B
解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根．
∴x0＋2＝－<0，即>0.
由题图知，f′(x)<0的解集为(x0,2)，∴3a>0，则b>0，
∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)>0.
16．设函数f(x)＝－(a＋1)x2＋4ax＋b，其中a，b∈R.
(1)若函数f(x)在x＝3处取得极小值，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)若函数f(x)在(－1,1)上只有一个极值点，求实数a的取值范围．
解 (1)因为f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a，
所以f′(3)＝9－6(a＋1)＋4a＝0，得a＝.
由f(3)＝×27－×9＋4××3＋b＝，
解得b＝－4.
(2)因为f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2a)(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝2a或x＝2.
当a>1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(2a，＋∞)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2a)，(2，＋∞)．
(3)由题意可得
即
化简得
解得－所以实数a的取值范围是.